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Matematica finanziaria, Dispense di Matematica Finanziaria

Università degli Studi di Firenze (UNIFI)Matematica Finanziaria

Matematica finanziaria. Spiegata in modo essenziale e esaustiva

Tipologia: Dispense

2023/2024

Caricato il 23/02/2026

arianna-vannini-2
arianna-vannini-2 🇮🇹

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MATEMATICA FINANZIARIA
Non si possono addizionare, sottrarre o confrontare tra loro valori differiti nel tempo, se prima non
si rendono omogenei, cioè se non si riferiscono allo stesso momento."
Lo scopo della matematica finanziaria sarà di rendere omogenei valori differiti nel tempo, cioè
riferirli allo stesso momento al fine di addizionarli, sottrarli o confrontarli."
Supponiamo di avere 10.000 euro oggi. Cosa possiamo farne?"
1. Seppellirli in giardino."
2. Metterli in banca ad un saggio di interesse del 3%."
3. Investirli in azioni che hanno ottenuto nel passato un rendimento medio del 10%"
annuo."
4. Spenderli tutti."
Confrontiamo il risultato di queste alternative dopo 5 anni."
1. Se abbiamo seppellito i soldi in giardino dopo 5 anni abbiamo sempre 10.000 euro."
2. Se gli abbiamo messi in banca abbiamo 11.592 euro."
3. Se gli abbiamo investiti in azioni e se il rendimento è stato pari a quanto ottenuto"
nel passato abbiamo 16.105 euro."
4. Se gli abbiamo spesi, abbiamo comunque beni per un valore di 10.000 euro."
L’interesse è il compenso che si paga (o si riceve) per l’uso di una somma di denaro per un certo
periodo di tempo, se prendi in prestito denaro, paghi interesse, se presti o depositi denaro ricevi
interesse. "
Esempio: se prendi 1000 euro in prestito per un anno e alla fine restituisci 1.050 euro i 50 euro
sono l’interesse. "
Il saggio di interesse è la percentuale che esprime quando interesse viene applicato in rapporto
al capitale e al tempo. "
Formula base: interesse=capitalle x saggio di interesse x tempo"
Esempio: capitale 1000 euro, saggio di interesse 5% annuo, tempo 1 anni. Interesse= 50. "
Caratteristiche dell’investimento: "
•Ammontare del capitale: è la somma di denaro iniziale che l’investitore decide di impiegare,
può variare da pochi euro a milioni. Determina: il tipo di strumenti accessibili (alcuni richiedono
capitali minimi), l’entità dei rendimenti (più capitale=potenzialmente più guadagni), l’esposizione
al rischio. Esempio: investire 1000 euro in azione rispetto a 10.000 in un fondo immobiliare
comporta strategie e rischi molto diversi. "
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Scarica Matematica finanziaria e più Dispense in PDF di Matematica Finanziaria solo su Docsity!

MATEMATICA FINANZIARIA

Non si possono addizionare, sottrarre o confrontare tra loro valori differiti nel tempo, se prima non si rendono omogenei, cioè se non si riferiscono allo stesso momento. Lo scopo della matematica finanziaria sarà di rendere omogenei valori differiti nel tempo, cioè riferirli allo stesso momento al fine di addizionarli, sottrarli o confrontarli. Supponiamo di avere 10.000 euro oggi. Cosa possiamo farne?

  1. Seppellirli in giardino.
  2. Metterli in banca ad un saggio di interesse del 3%.
  3. Investirli in azioni che hanno ottenuto nel passato un rendimento medio del 10% annuo.
  4. Spenderli tutti. Confrontiamo il risultato di queste alternative dopo 5 anni.
  5. Se abbiamo seppellito i soldi in giardino dopo 5 anni abbiamo sempre 10.000 euro.
  6. Se gli abbiamo messi in banca abbiamo 11.592 euro.
  7. Se gli abbiamo investiti in azioni e se il rendimento è stato pari a quanto ottenuto nel passato abbiamo 16.105 euro.
  8. Se gli abbiamo spesi, abbiamo comunque beni per un valore di 10.000 euro. L’ interesse è il compenso che si paga (o si riceve) per l’uso di una somma di denaro per un certo periodo di tempo, se prendi in prestito denaro, paghi interesse, se presti o depositi denaro ricevi interesse. Esempio: se prendi 1000 euro in prestito per un anno e alla fine restituisci 1.050 euro i 50 euro sono l’interesse. Il saggio di interesse è la percentuale che esprime quando interesse viene applicato in rapporto al capitale e al tempo. Formula base: interesse=capitalle x saggio di interesse x tempo Esempio: capitale 1000 euro, saggio di interesse 5% annuo, tempo 1 anni. Interesse= 50. Caratteristiche dell’investimento:
  • Ammontare del capitale: è la somma di denaro iniziale che l’investitore decide di impiegare, può variare da pochi euro a milioni. Determina: il tipo di strumenti accessibili (alcuni richiedono capitali minimi), l’entità dei rendimenti (più capitale=potenzialmente più guadagni), l’esposizione al rischio. Esempio: investire 1000 euro in azione rispetto a 10.000 in un fondo immobiliare comporta strategie e rischi molto diversi.
  • Durata dell’investimento: è il tempo previsto in cui il capitale rimane investito prima di essere recuperato, si distingue in breve, medio e lungo termine. La durata influenza: la scelta dello strumento finanziario, il rendimento, l’esposizione al rischio nel tempo.
  • Rischio: è la possibilità che il rendimento atteso non si realizzi o che si perda parte del capitale investito, ogni investimento comporta un certo livelo di rischio anche se minimo. Tipi di rischio: rischio di mercato (fluttuazioni di prezzo), rischio di credito (insolvenza dell’emittente), rischio di cambio (se in valuta estera), rischio politico (instabilità, regolamentazioni). Spesso c’è una relazione diretta tra rischio e rendiment: più rischi=più possibilità di guadagno, ma anche di perdita.
  • (^) Incertezza: è collegata al rischio, ma riguarda ciò che non può essere previsto o calcolato con precisione, mentre il rischio è misurabile (es: probabilità di perdita del 10%), l’incertezza è più qualitativa. Esempi: cambiamenti improvvisi nelle politiche economiche, crisi internazionali impreviste, pandemia, disastri naturali. In pratica il rischio si può gestire o mitigare con diversificazione, assicurazione… mentre l’incertezza si può solo accettare o tentare di prevedere con analisi di scenario. Definiamo i seguenti simboli:
  • VA = Valore Attuale, cioè il valore dei soldi oggi
  • VF = Valore Futuro, cioè il valore che avranno i soldi in un certo momento nel futuro.
  • r = tasso di interesse. Torniamo al nostro investimento di 10.000 euro e supponiamo di aver messo i soldi su un conto corrente. Ciò significa che isoldi renderanno ogni anno una certa cifra che si andrà a sommare al capitale iniziale. Lavorando anno per anno vediamo che cosa accade. Fine del primo anno Al termine del primo anno abbiamo ottenuto come interessi in 3% dei nostri 10.000 euro, cioè 300 euro. Questo è calcolato in base alla seguente formula: 10.000x(0,03)= Gli interessi, se non vengono spesi, si sommano al capitale iniziale. 10.000 + 300 = 10.300. Fine del secondo anno Al termine del secondo anno otteniamo il 3% di 10.300 euro, cioè 309 euro: 10.300x(0,03) = 309 Il capitale diviene 10.300 + 309 = 10.609. Fine del terzo anno Al termine del terzo anno otteniamo il 3% di 10.609 euro, cioè 318 euro: 10.609(0,03) = 318 Il capitale diviene 10.609 + 318 = 10.927. Fine del quarto anno Al termine del quarto anno otteniamo il 3% di 10.927 euro, cioè 328 euro: 10.927(0,03) = 328

La zona in cui può realizzare l’impianto è però soggetta a incendi. Sulla base degli eventi passati è possibile stimare una probabilità di perdere completamente il capitale investito pari al 5%. Considerando questo elemento di rischio, il risultato economico dell’investimento diviene un valore probabilistico. Il valore atteso dell’investimento è calcolabile secondo la seguente formula: E(VF) =VF x (1− p) Con E(VF) valore atteso finale dell’investimento, VF valore finale dell’investimento e p probabilità di perdere completamente il capitale. Considerando i fattori di rischio, l’imprenditore effettuerà l’investimento solamente se il valore atteso dell’investimento gli permetterà di ottenere un incremento del capitale uguale o superiore al saggio di preferenza intertemporale. Nel caso in esame: Sulla base di tali valori è possibile calcolare il saggio di interesse corretto sulla base del fattore di rischio come segue: r=790/5000=15,8% INTERESSE SEMPLICE E COMPOSTO: L’ interesse semplice si calcolo solo sul capitale iniziale, cioè l’importo investito o prestato all’inizio, per tutta la durata dell’investimento o del prestito. É un interesse costante ogni anno, non cambia nel tempo. Si definisce montante finale=capitale iniziale + interessi e quindi M=Co + I sostituendo la formula dell’interesse semplice I= M-Co e quindi: M = Co+ Co x r x n Dove: I = interesse Co = capitale iniziale r = tasso di interesse n = arco temporale dell’investimento

Si usa la formula dell’interesse semplice quando ti viene chiesto di calcolare solo l’interesse maturato, cioè quanto quadagnerai o pagherai in più rispetto al capitale iniziale. Si usa l’altra formula quando viene chiesto di calcolare il montante finale cioè quanto avrai in totale (capitale iniziale+interessi). Esempio: Capitale: Tasso: 5% annuo Tempo: 3 anni I: 1000x0,05x3= Il totale alla fine ammonta a 1.150 euro, lo posso calcolare sia semplicemente con M=Co+I oppure con la formula M= Co x (1+r x n). L’ interesse composto si calcolo non solo sul capitale iniziale ma anche sugli interessi già maturati in periodi precedenti, si parla anche di “interessi sugli interessi”. con q= 1+r q si chiama fattore di capitalizzazione Per ottenere I io ho che: ESERCIZI INTERESSE SEMPLICE:

  1. Un imprenditore forestale decide di investire gli introiti della vendita di legname a un tasso del 4%. Il capitale investito ammonta a 10.000€. A quanto corrisponderanno gli interessi dopo un anno?
  2. Un imprenditore forestale decide di investire gli introiti della vendita di legname a un tasso del 4%. Il capitale investito ammonta a 10.000€. Quale sarà l’ammontare di capitale dopo 90 giorni?

COEFFICIENTE DI POSTICIPAZIONE E ANTICIPAZIONE:

  • Per l’inetersse semplice gli interessi maturano solo sul capitale iniziale, non sugli interessi precedenti.
  • (^) Coefficiente di posticipazione: (1+r x n), serve a spostare un capitale presente nel futuro (capitalizzare). Ad esempio se investi 1000 euro al 5% per 3 anni = 1000 x (1+ 0,05 x 3)= euro.
  • (^) Coefficiente di anticipazione: 1/ (1+r x n), serve a riportare un capitale futuro al presente (attualizzare). Ad esempio se tra 3 anni ricevi 1150 euro con r= 5%, oggi valgono =1150/(1+0, x 3)= 1000 euro.
  • Nell’interesse composto gli interessi maturano anche sugli interessi, cioè si capitalizzano ogni periodo.
  • (^) Coefficiente di posticipazione: q^n che è uguale a (1+r)^n, sposta un capitale nel futuro con capitalizzazine composta, ad esempio 1000 euro al 5% per 3 anni= 1000 x (1+ 0,05 x 3)= 1157,63 euro.
  • (^) Coefficiente di anticipazione: 1/q^n = 1/ (1+r)^n, riporta un capitale futuro al presente, ad esempio se tra 3 anni ricevi 1157,63 euro, oggi valgon= 1157,63/(1+0,05)^3=1000 euro. SERIE DI PAGAMENTO: Nel campo della matematica finanziaria, una serie di pagamento è una successione di pagamenti periodici (rate, rendite, cedole…), può trattarsi di entrate o uscite di denaro distribuite nel tempo. I principali concetti prima di parlare delle varie serie di pagamento sono i seguenti:
  • Q oppure 1+r è il fattore di capitalizzazione, r è il tasso di interesse per periodo.
  • VF: valore futuro della serie, quanto varranno i pagamenti alla fine del periodo.
  • VA: valore attuale della serie, quanto valgono oggi i pagamenti futuri.
  • A o P: pagamento periodico o annuale costante.
  • N: numero di periodi.

Un’annuità è una serie di pagamenti annuali uguali e distanziati di un anno, si dividono in :

  • Annualità posticipata limitata: i pagamenti avvengono alla fine di ogni anno per un tot di anni.
  • (^) Annualità posticipata illimitata: i pagamenti avvengono alla fine di ogni anno per sempre, in questo caso tanto che n tende a infinito, la formula del valore attuale conervgee a VA=A/r. Non esiste la formula del valore futuro perchè la rendita non finisce mai, il valore futuro si definisce alla fine dell’ultimo pagamento, ma qui non c’è un ultimo periodo. In altre parole nel caso limitatio puoi dire “alla fine dei 10 anni, quanto avrò accumulato” (il valore futuro ha senso), nel caso illimitato invece il tempo tende all’infinito e quindi VF tende anch’esso all’infinito (diverge e quindi non è definito).
  • Annualità anticipata limitata: i pagamenti avvengono all’inizio di ogni anno per un tot di anni.
  • (^) Annualità anticipata illimitata: i pagamento avvengono ogni anni per sempre, anche in questo caso quindi abbiamo solo il valore attuale e non il valore futur che tende all’infinito. Le serie periodiche , sono simili alle annualità ma con periodicità diversa dall’anno (mensile, trimestrale…), le formule sono analoghe ma si sostituisce il tasso r con il tasso per periodo (ad esempio mensile), e il numero di periodi n con il numero totale di periodi (ad esempio 12 mesi x anni). Le formule diventano:
  • Periodicità posticipata limitata: i pagamenti avvengono alla fine di un periodo per una durata limitata.

La formula della quota di reintegra è l’inversa di quella del valore futuro dell’annualità posticipata: VF= a x q^n - 1 /r Isolando a: a= VF x r/ q^n - 1 Mentre la formula della quota di ammortamento è l’inversa di quella del valore attuale dell’annualità posticipata: Isolando a: La quota di reintegra ha come principale applicazione ricostruire un capitale che si logora nel tempo. In pratica la quota di reintegra è la somma periodica (annuale ad esempio) che devi accantonare ogni anno per ricostituire il capitale necessario a sostiuire un bene al termine della sua vita utile. In parole semplici un bene (macchinario, veicolo…) si deprezza con il tempo, tu accantoni ogni anno una somma Qr che, con gli interessi maturati, ti permetterà di avere alla fine della durata economica il capitale necessario per comprarne uno nuovo. Abbiamo due tipi di quote di reintegra in questo senso:

  • (^) Quota di reintegra finanziaria: è una rendita posticipata dove versi ogni anno Qr per de anni, tiene conto degli interessi composti, perchè le somme accantonate producono interesse. Esempio: Un macchinario costa Vt=50.000 euro

Ha un valore residuo Vr=5.000 euro Vita economica de=10 anni E tasso di interesse r=5% Qr= (50.000-5.000) x 0,05/ (1+0,05)^10-1=3.577,5 quindi devi accantonare 3.577,5 euro per 10 anni, alla fine avrai 45.000 euro cioè la differenza tra valore iniziale e residuo.

  • Quota di reintegra aritmetica o lineare: è un metodo semplificato che non considera gli interessi, in partica dividi il valore da reintegrare per la durata del bene (quota costante ogni anno), è anche detta quota di deprezzamento perchè rappresenta quanto perdi di valore ogni anno. Esempio: Con gli stessi dati di prima: Qr= 50.000-5.000/10=4.5000 euro. Ogni anno accantoni 4.500 euro ma senza interessi. Accantonare significa mettere da parte una somma di denaro ogni anno con uno scopo preciso, in questo caso ricostituire in capitale, non si considera che producano interessi anche questi stessi. ESERCIZI QUOTE:
  1. Un imprenditore agrario decide di effettuare un investimento per l’acquisto di macchinari. Accende pertanto un mutuo di 80.000€ da estinguere in 20 annualità al tasso del 5%. Quale sarà la quota annua che deve versare?
  2. Il titolare di un’impresa acquista una trattrice dal costo di 35.000€. Supponendo un valore residuo di 4.000€ ed un ciclo di vita pari a 15 anni, calcolare la cifra che il titolare deve accantonare annualmente per riacquistare il macchinario a fine ciclo (tasso di interesse: 4,5%).

LE PERIODICITÀ:

Le periodicità si riferiscono a pagamenti che accadono regolarmente ad intervalli di n anni; caso molto frequente in economia forestale dove ricavi e costi avvengono con cicli pluriennali. In matematica, a livello intuitivo, per funzione periodica si intende una funzione che assume valori che si ripetono esattamente a intervalli regolari. Nelle formule abbiamo nt dove n è il numero totale di anni e t il numero di turni. ESERCIZI:

  1. Una sughereta ha un reddito derivante dalla vendita di sughero (decorticato ogni 11 anni) pari a 14.000€. Lo stesso soprassuolo viene affittato per il pascolo con un introito annuo di 500€. Si determini il valore dell’accumulazione finale dei redditi per 10 turni di decortica ad un tasso di interesse del 5%.
  1. Un bosco ceduo di cerro esteso 4 ha con turno di 25 anni, produce un reddito a fine turno di 125.000€/ha. Il proprietario deve sostenere delle spese annue di gestione pari a 210€. Si opera inltre all’anno 0 (attualità), sulla superficie con operazioni di tramarratura per una spesa pari a 2000€/ha per facilitare il ricaccio delle ceppaie. Calcolare il valore (capitale) del bosco (r:4%) (TURNI INFINITI).
  2. Un’area boscata con finalità didattica viene visitata mediamente da 900 turisti/anno. Il prezzo di ingresso che i turisti si dichiarano disposti a pagare è pari a 5€. Le spese di manutenzione sono di 3.000€ ogni due anni. Stimare il valore del bosco con un tasso d’interesse del 3%.
  3. Un’amministrazione comunale realizza un’opera di ingegneria naturalistica per la sistemazione idraulico-forestale e la salvaguardia di un versante. Il costo iniziale dell’investimento è pari a 100.000€ con dei costi di manutenzione di 3.500€ ogni 5 anni. In base ai danni avvenuti in passato e alla frequenza degli stessi, si prevede che l’opera permetterà di risparmiare 10.000€/ anno. Calcolare il valore attuale del progetto in funzione dei danni evitati (tasso del 4%).