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Questioni ulteriori
Descrizione del contratto finanziario
Un’opzione finanziaria è un contratto che attribuisce all’acquirente il diritto e non l’obbligo di comprare (opzione call ) o
di vendere (opzione put ) uno specifico bene finanziario (titoli, valuta, tassi di interesse) ad un prezzo prefissato entro
oppure ad una data futura determinata, a fronte del pagamento da parte del venditore, alla stipula dell’opzione, del
prezzo (detto premio dell’opzione).
L’opzione call attribuisce al detentore, dietro pagamento di un premio , il diritto di acquistare un certo bene (detto
sottostante) a, o entro, una data futura a un prezzo K determinato.
L’opzione put attribuisce al detentore, dietro pagamento di un premio , il diritto di vendere un certo bene (detto
sottostante) a, o entro, una data futura a un prezzo K determinato.
A seconda dell’istante di esercizio si distinguono:
Opzioni europee , se il diritto esercitabile solo alla scadenza;
Opzioni americane , se il diritto esercitabile in qualunque istante entro la scadenza.
Osservazione
Un contratto a termine ( Forward ) caratterizza lo scambio di obblighi reciproci tra le due parti. Un contratto di opzione
caratterizza lo scambio di una facoltà contro un obbligo (la facoltà è attribuita all’acquirente dell’opzione, l’obbligo del
venditore). Le opzioni sono considerate figure simboliche dell’innovazione finanziaria.
Analisi del valore a scadenza dell’opzione (pay-off)
Il valore a scadenza (pay off) di un’opzione call e di un’opzione put , scritte sull’azione con prezzo di mercato S,
con prezzo di esercizio K il tempo di esercizio ti sono espressi, rispettivamente dalle:
-acquisto a termine dell’azione S al prezzo K
Osservazione
Spesso, nei grafici relativi alle opzioni, è rappresentata la posizione netta: in caso di acquisto, ottenuta sottraendo al
pay off finale il prezzo d’acquisto dell’opzione; in caso di vendita, ottenuta sommando al pezzo finale il prezzo di
vendita. Ad esempio, per una posizione lunga su una call, il profitto netto (Profit&Loss) viene espresso come:
I diagrammi di pay off della posizione netta si costruiscono traslando verticalmente i corrispondenti diagrammi di play-
off del valore (verso il basso in caso di acquisto; verso l’alto in caso di vendita); rappresentano una valutazione
approssimata, che confronta tra loro importi esigibili ha date diverse; per una espressione corretta del profitto netto in T
bisognerebbe tener conto della capitalizzazione tra t e T del premio dell’opzione pagato in t.
- il pay off dell’opzione per l’acquirente di una call o di
una put assegno non negativo, diversamente dal pay off
di un contratto a termine
- il pay off di un acquisto a termine di S al prezzo a
termine K risulta:
Ct Pt
call (
ACQUISTO) Sr >^ R
j→
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ACQUISTO) (^) St < K
g→
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K -
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Poll
St
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Osservazione
Il valore intrinseco e(t) dell’opzione è definito come il ricavato ottenuto dall’esercizio in the qualora questo non sia
negativo. Per una call espresso da:
mentre per una put è:
Un’opzione call si dice in the money (oppure at the money , oppure out of the money ) in t se risulta
Un’opzione put si dice in the money (oppure at the money , oppure out of the money ) in t se risulta
Quindi un’opzione in the money è un’opzione con valore intrinseco positivo. Il valore intrinseco è stato proposto come
criterio di valorizzazione contabile delle opzioni.
Utilizzo di un’opzione
Un’opzione su azioni può essere utilizzata con finalità di speculazione o di copertura (del rischio di prezzo dell’azione
sottostante
Esempio (speculazione). Acquisto di un’opzione put su S, con prezzo di esercizio K e istante di esercizio T:
se perdita;
se profitto
→ nell’istante di valutazione si tratta di una scommessa sul ribasso del prezzo azionario oltre (profitto
“potenziale”).
Esempio (copertura). Copertura del rischio di ribasso del prezzo di un investimento nell’azione S con l’acquisto di
un’opzione put su S, con prezzo di esercizio K e istante di esercizio T (put protettiva).
→ il valore a scadenza (pay-off) della posizione complessiva risulta:
che corrisponde al pay-off di un investimento sull’azione S con valore minimo garantito a scadenza K.
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CON
MINIMO AZIONARIO
GARANTITO CON Mirim
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EE
Valore attuale della prestazione attesa
si considera il problema della valutazione, in t = 0, della prestazione futura dovuta dall’assicuratore (a seguito della
stipula del contratto di polizza); di questo problema si occcupa la matematica attuariale. In questo contesto, il valore
della prestazione assicurativa si definisce come valore attuale della prestazione attesa.
Si trattera`, dunque: di calcolare il valore atteso della prestazione; quindi, di attualizzarlo alla data di valutazione.
Per valutare, servono variabili tecniche di tipo demografico (vita o morte dell’assicurato), che caratterizzano la
cosiddetta base tecnica demografica e variabili di tipo finanziario, che caratterizzano la cosiddetta base tecnica
finanziaria.
Osservazione. In questa analisi introduttiva non si considerano le variabili cosiddette comportamentali, quali il riscatto o
la sospensione-aumento- riduzione del pagamento del premio da parte dell’assicurato.
La base tecnica demografica
la base tecnica demografica è costituita dalle probabilità tecniche, che servono a calcolare la prestazione attesa
dell’assicuratore; le probabilità tecniche sono ricavate a partire dalle cosiddette tavole di mortalità. Nella notazione
attuariale tradizionale si ha:
- probabilità di morte, della testa di eta` x, a k anni (ovvero la probabilità di morire tra l’età x e l’età x + k):
- probabilità, della testa di età x, di raggiungere l’età x + k (di vivere k anni):
- probabilità di morte, della testa di età x + k, nell’intervallo (k, k + h]:
- probabilità di morte differita, della testa di età x, nell’intevallo temporale (k,k+h], ossia di vita in k e di morte in (k,k+h]:
La base tecnica finanziaria
la base tecnica finanziaria è costituita dal tasso tecnico , i , che serve a attualizzare la prestazione attesa dell’assicuratore;
si puo` anche esprimere nel fattore annuo di sconto
La valutazione alla stipula della riserva matematica (al primo ordine)
date le probabilità di vita e di morte, e dato il tasso tecnico, si calcola al tempo 0 il valore della prestazione
dell’assicuratore, , del contratto assicurativo; questo valore, nella matematica attuariale, è detto riserva matematica (al
primo ordine) , che corrisponde al premio unico puro. Si ha:
- Polizza di capitalizzazione con scadenza tra m anni (ramo V)
- Polizza di capitale differito di durata m anni (ramo I)
- Polizza temporanea caso morte di durata m anni (ramo I)
- Polizza caso morte vita intera di durata m = ω − x (durata massima di vita)
- Polizza mista di durata m anni (ramo I)
Osservazione. Nella formalizzazione della riserva matematica, le probabi- lita` tecniche sono state espresse sia nella
notazione attuariale tradizionale sia nella forma di aspettativa della funzione indicatrice; ad esempio, nel caso
dell’evento , si ha:
✗ qx (^) ,
si pone
: (^19) ✗
= qx
kpx
1-
qx)^ (1-9×+1).. - (
1-
9.x-1k-
si pone
1px-pxhqx-ieklhqx-k.pl/h9x+hv--(1-i)-
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