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FORMULE
Leggi uniformi nel tempo
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
Leggi additive rispetto al capitale
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
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ଶ
ଶ
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ଶ
ଵ
ଶ
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ଶ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
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ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଵ
ଶ
Regime dell’interesse semplice a tasso costante
) [
essendo 𝑀 = 𝐶 + 𝐼
]
Regime dell’interesse semplice a tasso variabile
(௦)
௦
௦ୀଵ
Regime della capitalizzazione composta annua a tasso costante
Regime della capitalizzazione composta annua a tasso variabile
(௦)
ೞ
௦ୀଵ
Regime della capitalizzazione composta annua con n NON intero
Convenzione esponenziale
బ
ା
బ
(1 + 𝑖)
Convenzione mista
బ
(1 + 𝑖𝑝)
Regime del C/C bancario
Problemi inversi
Interesse semplice 𝐶 =
ெ
ଵା௧
Convenzione esponenziale 𝐶 =
ெ
(ଵା)
Convenzione mista 𝐶 =
ெ
(ଵା)
బ (ଵା )
Interesse semplice 𝑡 = ቀ
ெ
ଵ
Convenzione esponenziale 𝑛 =
୪୬ ெି
୪୬(ଵା)
Convenzione mista equazione a 2 incognite
Interesse semplice 𝑖 = ቀ
ெ
ଵ
௧
C
S
x/
n anni y/
Convezione esponenziale 𝑖 = ቀ
ெ
భ
Convenzione mista 𝑛 ∈ (0,1) → 𝑖 = ቀ
ெ
ଵ
; 𝑛 ∈ (1,2) → eq. 2°grado; 𝑛 > 2 → eq > 2°grado
Tassi d’interesse equivalenti
Regime di interesse semplice 𝑖 = 𝑖భ
ೖ
Regime cap.comp.conv.esp. 1 + 𝑖 = ൬1 + 𝑖భ
ೖ
Tasso annuo convertibile k volte l’anno
()
ଵ
= 𝑘[(1 + 𝑖)
ଵ
− 1]
Limite fondamentale lim
→ାஶ
(
)
= ln
Regime della capitalizzazione continua
𝐶 impiegato 0 → 𝑡
Legge di formazione del montante 𝑀 ( ௦ାௗ௦
)
( ௦
)
( ௦
)
( ௦
)
( ௗ௦
)
ᇱ
(௦)
(௦)
(௦)
1° considerazione 𝜌
(௦)
ெ
ᇲ
(ೞ)
ெ
(ೞ)
2° considerazione 𝑀
(௧)
∫ ఘ
(ೞ)
ௗ௦
బ
3° considerazione 𝑀
(௧)
∫ ఘ (ೞ)
ௗ௦
బ = 𝐶 ∙ 𝑒
ఋ௧
()
4° considerazione 𝐶 ∙ 𝑒
∫
ఘ
(ೞ)
ௗ௦
బ → legge di capitalizzazione
∫ ఘ ( ೞ
)
ௗ௦
బ → fattore di capitalizzazione
(௦)
௧
→ fattore logaritmico di capitalizzazione ൫φ
(௧)
𝐶 impiegato 𝑡 ଵ
Legge di formazione del montante 𝑀 ௧ భ
(௦ାௗ௦)
௧ భ
(௦)
௧ భ
(௦)
( ௦
)
( ௗ௦
)
ᇱ
௧
భ (௦)
௧
భ (௦)
(௦)
(௦)
ெ
ᇲ
భ (ೞ)
ெ
భ (ೞ)
௧ భ
(௧)
∫ ఘ ( ೞ
)
ௗ௦
భ
௧
భ (௧)
(
మ
)
ି (
భ
)
Tasso medio
φ
( ௧ మ
)
− φ
( ௧ భ
)
ଶ
ଵ
Leggi di attualizzazione e di sconto
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
Regime dello sconto commerciale
Regime dello sconto composto (scadenze intere)
Relazioni regimi di sconto-capitalizzazione
- Capitalizzazione composta – sconto composto
Ammortamento e Costituzione
Ammortamento
condizione di ammortamento ∑ 𝑅 ௦
௦
௦ୀଵ
rata generica 𝑅
௦
௦
௦
debito estinto 𝐵 ௭
௦
௭
௦ୀଵ
debito residuo 𝐷 ௭
௦
௦ୀ௭ାଵ
௦
௦ି௭
௦ୀ௭ାଵ
quota interessi 𝐼 ௦
௦ିଵ
௦ିଵ
condizione nel continuo ∫
(௦)
ି ఝ (ೞ)
௧
ammortamento francese 𝐴 = 𝑅𝑎
௭
ష
௭
௦
௦
௭
௭ିଵ
௭
షశభ
ammortamento italiano 𝐶 =
ଵ
(1 intero debito)
௭
௭
௭
ି௭
௭
௭ିଵ
௭
ଵ
௭ିଵ
ammortamento americano 𝐶 ଵ
ଶ
ିଵ
ଵ
ଶ
Costituzione
condizione di costituzione ∑ 𝑅 ௦
ି௦
௦ୀଵ
determinazione rata costante 𝑅 =
௦
valutazione fondo in 𝑧 𝐹 ௭
௦
௭ ௭ି௦
௦ୀଵ
caso rate costanti 𝐹 ௭
௭
௦
௦
capitalizzazione in 𝑛
௦
௭ ି௦
௦ୀଵ
(𝑖 invariato) /
௦
௭ ௭ି௦
௦ୀଵ
× 𝑢
ଵ
ି௭
ଵ
condizione nel continuo ∫
(௦)
ఝ
()
ି ఝ
(ೞ)
𝑑𝑠
௧
Valutazione dei prestiti
regime capitalizzazione composta 𝑉 (௧,
∗
)
௦
∗
ି (௧
ೞ
ି ௧ )
௧
ೞ
வ௧
regime capitalizzazione continua 𝑉 (௧,ఙ
∗
)
௦
ି ఙ
∗
(௧ ೞ
ି ௧ )
௧ ೞ
வ௧
scadenze annue 𝑉 (௧,
∗
)
௦
∗
ି (௦ି௧ )
௦ୀ௭ାଵ
(se 𝑡 compreso tra due interi si sostituisce con 𝑧 + 𝑝, se 𝑡 intero si indica 𝑉 ( ௭,
∗
)
nuda proprietà 𝐴 ௭,
∗
௦
௦ି௭
௦ୀ௭ାଵ
usufrutto 𝑈 ௭,
∗ = ∑ 𝐼
௦
௦ି௭
௦ୀ௭ାଵ
se 𝑖 = 𝑖
∗
௭,
∗ = 𝑉
௭,
௭
val. finanziaria rate da versare 𝑉 (௧ୀ௭ା)
ି௭
∗
ି (ଵି )
∗
ି [ି (௭ା)]
dietimo ∝ ()
corso secco 𝑆 (௧,
∗
)
corso tel quel ∝ ()
(௧,
∗
)
Cedole
Cedola = 𝐶𝑖
condizione di ammortamento 𝐴 = 𝐴𝑖 𝑎
ି
ି
titolo con cedole 𝐶
௫
ି
titolo senza cedole 𝐶
ି ௧
determinazione 𝑥 𝑛 = 1 → 𝑥 =
ା
బ
ଶ
= 0 (sol > 0)
బ
బ
ି ଵ
௦
ೣ
(௫)
Indici di valutazione
Duration 𝐷 (௧,
∗
)
∑ (௧
ೞ
ି ௧ )ோ
ೞ
(ଵା
∗
)
ష(
ೞ
ష)
ೞ
ಭ
∑ ோ
ೞ
(ଵା
∗
)
ష( ೞ
ష)
ೞ
ಭ
(௧,ఙ
∗
)
∑ (௧
ೞ
ି ௧ )ோ
ೞ
ష
∗
( ೞ
ష
)
ೞ
ಭ
∑ ோ
ೞ
ష
∗
( ೞ
ష)
ೞ
ಭ
variazione relativa → 𝜎
∗
∗
(,
∗
శ
∗
)
ି
(,
∗
)
(,
∗
)
(௧,ఙ
∗
)
× 𝑑𝜎
∗
∗
∗
( ,
∗
శ
∗
)
ି
( ,
∗
)
(,
∗
)
(௧,
∗
)
×
ௗఙ
∗
ଵା
∗
Struttura del mercato
fattore di capitalizzazione 𝑓 ( ,௧
)
(,௧)
௧
tassi spot 𝑖
(,௧)
భ
(,௧)
= ln ቀ
భ
tassi forward 𝑖
(௧,௧
భ
)
భ
భ
భ
భ
ష
(௧,௧ భ
)
= ln ቀ
భ
భ
భ
భ
ష
Mercato coerente
condizione 𝑓
(,௧
భ
)
(,௧)
× 𝑓
(௧,௧
భ
)
( ௧,௧ భ
)
ቀଵା బ (బ,
భ
)
ቁ
భ
ቀଵା
బ (బ,)
ቁ
భ
భ
ష
valore attuale 𝑉 ()
௦
(,௧
ೞ
)
ି௧
ೞ
௦ୀଵ
௦
ି ఙ
బ (బ, ೞ
)
×௧
ೞ
௦ୀଵ
duration 𝐷 ()
∑ ௧
ೞ
ோ
ೞ
ቀଵା
బ (బ, ೞ
)
ቁ
ష
ೞ
ೞసభ
(బ)
∑ ௧
ೞ
ோ
ೞ
ష
బ (బ, ೞ
)
×
ೞ
ೞసభ
(బ)
variazione relativa 𝑣𝑎𝑟. 𝑟𝑒𝑙 =
ቀ
బ,
బ (బ, ೞ
)
శ ቁ
ି (బ)
(బ)
()
× ℎ
Matematica attuariale
probabilità 𝑝 ଵ
௦ ௩௩
௦ ௦௦
valore medio 𝐸
[
]
ୀଵ
assicurazione caso morte (temporanea n)
௫ ଵ
ଶ
௫ ଵ/ଵ
ଷ
ଶ/ଵ ௫
௫ ିଵ /ଵ
௫
௫
௫
௫ା
௫
/
assicurazione mista semplice
௫
௫
/ / ௫
