Matematica finanziaria formule, Dispense di Matematica Finanziaria

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CORSO di MATEMATICA

FINANZIARIA

OGGETTO DELLA MATEMATICA FINANZIARIA

• (^) Oggetto della Matematica finanziaria:
  • (^) Formalizzazione dello scambio tra importi monetari disponibili in epoche diverse
  • (^) Calcoli connessi alla valutazione degli impegni relativi ad operazioni riguardanti

un insieme di movimenti monetari

• (^) Ambiente di lavoro
  • (^) Deterministico
  • (^) Stocastico (aleatorio)
• (^) Condizioni di certezza (ambiente deterministico)
• (^) Capitale – ammontare esprimibile in moneta
• (^) Prestazione finanziaria (somma datata)
• Regole di comportamento economico:
  • (^) Possesso di un capitale è vantaggioso
  • Disponibilità di un capitale altrui ha un prezzo
  • (^) Tra due prestazioni finanziarie
    • (^) ad una stessa epoca è preferita quella con importo maggiore
    • (^) con lo stesso importo
      • (^) >0 è preferita quella con la scadenza minore
      • <0 è preferita quella con la scadenza maggiore

Principio di equivalenza finanziaria 7-

• (^) Introducendo il comportamento individuale si ottiene la

confrontabilità completa. Si procede in due fasi

• (^) I fase – determinazione delle zone di non dominanza rispetto ad un

punto

• II fase – costruzione della linea di indifferenza individuata dal punto di

partenza

• (^) Costruzione della curva di indifferenza (linea di indifferenza

individuata da ( X,A )

• • (^) A capitale impiegato, B montante, I interesse

(operazione di prestito)

• A capitale a scadenza, B valore attuale, D sconto

(operazione di sconto)

• (^) Principio di equivalenza finanziaria
  • (^) Incasso oggi oppure Incasso posticipato con Incasso di interessi
  • (^) Esborso oggi oppure con Esborso posticipato con Pagamento di interessi

( X A , ) » ( Y B , )

X < Y , I = B - A

X > Y , D = A - B

ASPETTO DIMENSIONALE 8-

• (^) Grandezze fondamentali
  • (^) Importo monetario (misura della transazione con unità utilizzata)
  • (^) Tempo (periodo temporale durata e/o differimento )
• (^) Grandezze derivate
  • (^) Flusso (importo/tempo) reddito monetario (stipendio)=importo

monetario che matura nell’unità di tempo

• (^) Tasso (importo/importo) numero puro (interesse/capitale)
• (^) Intensità (importo/[importo*tempo]) tempo occorrente alla formazione di

un importo che consegue da un altro importo

LEGGI A DUE VARIABILI 15-

• (^) Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili
• (^) Fattore di montante
• (^) Fattore di sconto
  • (^) Riflessività
  • (^) Simmetria
• (^) Leggi coniugate
• (^) con numero puro
• (^) Fattore di scambio
  • (^) Esemplificazione geometrica
  • (^) Relazioni con le funzioni implicite (Th Dini)

m T T ( , ') × a T ( ', T ) =1, " T £ T '

z X Y ( , ) > 0, " ( X Y , ) z X Y ( , )

GRANDEZZE DERIVATE 17-

• (^) Grandezze derivate iniziali
  • (^) Di capitalizzazione
    • (^) Fattore di montante
    • (^) Tasso di interesse periodale
    • (^) Intensità di interesse periodale
  • Di attualizzazione
    • (^) Fattore di sconto
    • Tasso di sconto periodale
    • (^) Intensità di sconto periodale
• (^) Grandezze derivate di proseguimento
  • (^) Di capitalizzazione
    • (^) Fattore di montante r(X;Y,Z)=m(X,Z)/m(X,Y)
    • Tasso di interesse periodale
    • Intensità di interesse periodale
    • (^) r(Y;Y,Z)
  • (^) Di attualizzazione
    • (^) Fattore di sconto
    • (^) Tasso di sconto periodale
    • Intensità di sconto periodale

( , )

( ; , )

( , )

Z

Y

K (^) m X Z

r X Y Z

K m X Y

 

SCINDIBILITA’ I 20-

• (^) Definizione di scindibilità debole rispetto alla legge di montante
• (^) Invarianza del risultato rispetto alle interruzioni
• (^) Relazione col montante di proseguimento
• (^) Definizione di scindibilità debole rispetto alla legge di sconto
• (^) Relazione con lo sconto di proseguimento
• Definizione di scindibilità forte
  • (^) A mezzo della relazione di indifferenza
  • (^) A mezzo dei fattori di scambio
• (^) Una legge di scambio è fortemente scindibile se e solo se la relazione

di indifferenza è una relazione di equivalenza Z=X simm, Z=Y rifl

• (^) Proprietà della relazione di equivalenza e sue conseguenze (classi di

equivalenza)

SCINDIBILITA’ II 23-

• (^) Relazioni tra scindibilità forte e scindibilità debole
• (^) Classi di equivalenza tra le prestazioni finanziarie
  • (^) Valore finanziario intrinseco
• (^) Ordinamento totale sull’insieme delle classi di equivalenza
• Una legge debolmente scindibile implica l’indipendenza dall’epoca di impiego
• (^) Una legge è debolmente scindibile se e solo se l’intensità di interesse (di sconto) è indipendente dall’epoca iniziale.
• (^) Una legge z ( X , Y ): z ( X , Y ) z ( Y,X )=1 è fortemente scindibile se e solo se
• Suff. Intensità istantanea
• (^) non vale la simmetria
• (^) Fattori di scambio scindibili:

1 2 1 2

( )

( ) : ( , ) ; ( ) ( )

( )

h Y

h T z X Y T T h T h T

h X

$ = < Þ £

1 2

h T ( ), h ( T )

( )

( , )

Y

X

d

z X Y e

d h h ò

=

r X Y Z ( ; , ) = r Y Y Z ( ; , ) = m Y Z ( , )

FATTORI TASSI INTENSITA’ 30

fattore iniziale ( ) ( )

tasso iniziale ( ) 1 1 ( )

intensità iniziale

fattore di proseguimento

tasso di proseguimento 1 1

intensità di proseguimento

u t v t

u t v t

u t v t

t t

u t h v t h

u t v t

u t h v t h

u t v t

intensità istantanea ( ) ( )

u t h u t v t v t h

hu t h v t

u t v t

t t

u t v t

d q

PROPRIETA’ FATTORI DI SCAMBIO UNIFORMI

• (^) Scindibilità per leggi uniformi
• (^) regimi esponenziali di interesse e di

sconto

• (^) I regimi esponenziali di interesse e di sconto sono gli unici ad essere

uniformi e scindibili

• (^) Le leggi di scambio esponenziali, e solo esse, corrispondono a

relazioni di indifferenza che sono equivalenze uniformi nel tempo e

omogenee rispetto agli importi

0 0

( ) ( )

t t

z dz z dz

u t e v t e

d - q

ò ò

u t v t ( ) ( ) = 1 Û d ( ) t = q ( ), t " ³ t 0

t t

u t e v t e

d - q

REGIMI E LEGGI UNIFORMI 37-

• (^) Regimi finanziari uniformi leggi finanziarie uniformi
• (^) Tassi periodali equivalenti di interesse (sconto) stessa legge

finanziaria

• (^) Intensità equivalenti
• (^) Tassi periodali uno di interesse ed uno di sconto equivalenti
• (^) Leggi coniugate

1 1

i d

d i

i d

= =

REGIME INTERESSE SEMPLICE POSTICIPATO

• Proporzionalità interesse sia al tempo che al capitale I=Cit
• (^) Tasso annuo di interesse (posticipato)
• (^) Montante
• (^) Fattore di montante
• (^) Tasso periodale di interesse
• (^) Intensità periodale di interesse
• Tassi equivalenti in regime di interesse semplice
• (^) Intensità variabile
• (^) Intensità istantanea
• (^) Interesse calcolato sui giorni

M = C + I , M = C (1 + it )

( )

1

1 (1 )

n

s

s

s

M C i t C i t

=

æ ö

ç ÷ = + ÷= + ç ÷ ç (^) ÷ è ø

å

g Cg

I C i

T T i

t

i

it

d =

' "

' " t t

i t = i t = i

REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE 43-

• (^) Sconto commerciale
• (^) Fattore di sconto
• (^) Tasso periodale di sconto
• (^) Intensità periodale di sconto
• (^) Tassi di sconto periodali equivalenti
• (^) Intensità istantanea

D = Mdt , C = M (1 - Dt )

1 t

v = - dt

t

d = d t ×

t

t

d

d

t

r = =

' "

' "

t t

d d

d

t t

= =

'

1 '

t

d

d t

q =

REGIME DELL’INTERESSE SEMPLICE

ANTICIPATO 45-

• (^) Fattore di montante
• (^) Tasso periodale di interesse
• (^) Intensità periodale di interesse
• (^) Intensità istantanea

1

1

t

u

dt

=

1

t

dt

i

dt

=

1

t

d

j

dt

=

1

t

d

dt

d =