Capitolo 4
Disequazioni lineari e fratte
Si dice Disequazione ua qualunque disuguaglianza (>, <, ,)tra espressioni algebriche. Risolvere la
disequazione significa determinare l’insieme dei valori per cui la disuguaglianza è verificata. In generale
valgono le regole delle equazioni per quanto riguarda spostare i termini e ricavare la x, con l’aggiunta
della regola del cambio del segno:
è vero che 4>2MA non è vero -4>2
Quindi, se si cambia il segno ad entrambi i membri della disequazione, bisogna anche cambiare il verso!
x5)x5
Rappresentazione delle soluzioni Per scrivere o rappresentare graficamente le soluzioni di
una disequazione sono spesso necessari intervalli di numeri reali. Un intervallo può essere di due
tipi: - illimitato se è costituito da tutti i numeri che precedono un certo numero (intervallo illimitato
inferiormente o a sinistra) o che lo seguono (intervallo illimitato superiormente o a destra); - limitato
se è formato da tutti i valori compresi fra due numeri.
Il numero o i numeri con i quali inizia o termina l’intervallo sono detti estremi. Rispetto a un estremo
un intervallo può essere aperto, se non comprende l’estremo, o chiuso, se lo comprende. Esaminiamo
alcuni esempi, fornendo tre tipi di rappresentazione. Con xindichiamo la variabile relativa ai valori
dell’intervallo. I simboli +1e1si leggono più infinito e meno infinito e si usano per indicare che
un intervallo è illimitato a destra o a sinistra, rispettivamente.
Intervallo limitato, aperto a sinistra, chiuso a destra 2<x5(2,5]
Intervallo illimitato, chiuso a sinistra x7 [7; +1)
Intervallo illimitato, aperto a destra. x<3 (1; 3)
Per svolgere le disequazioni lineari e/o fratte riducibili in membri di primo grado (che posso scom-
porre fino ad avere tutte parentesi di grado 1), bisogna arrivare a una forma tale da avere un un’unica
espressione a sinistra di cui si chiede se è maggiore e/o minore di 0. Dopodichè bisogna studiare il
segno dei fattori (prodotto grafico): cioè ogni termine va posto maggiore di zero e si studia il segno
complessivo dell’espressione (se l’ultimo passaggio della disequazione è ,> cerco prodotti positivi, se
èè,< cerco prodotti negativi).
Esempio 4.0.1.
(x2)(2x3) (x4)(x3)
2x27x+6x27x+ 12
x260
(xp6)(x+p6) 0
"xp60)xp6
x+p60)x
p6
p6p6
++
S:p6xp6
33
