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INDICE DEGLI ARGOMENTI
(MATEMATICA GENERALE)
LOGICA FORMALE:
- Logica formale
- Proposizione
- Algebra delle Proposizioni
- Connettivi logici e tabelle di verità (negazione, disgiunzione, congiunzione, implicazione, coimplicazione)
- Condizione necessaria e sufficiente
- Leggi (negazione, idempotenza, De Morgan)
- Proprietà (commutativa, associativa, distributiva)
- Contraddizione (contraddizione, tautologia)
- Regole (inferenza, catena, accettazione controinversa)
- Funzioni Proposizionali INSIEMI:
- Iniseme
- Modi di esprimere
- Sottoinsieme (proprio, improprio)
- Insieme delle parti
- Unione
- Intersezione
- Differenza
- Complementazione
- Differenza simmetrica PRODOTTO CARTESIANO:
- Prodotto cartesiano
- Partizione di un insieme
- Applicazione o funzione (domino, codominio, immagine, controimmagine)
- Grafico della funzione
- Proprietà (Suriettiva, Iniettiva, Biiettiva)
- Funzione reale di variabile reale
- Successione
- Cardinalità (Teorema Cantor-Bernstein-Schroeder)
- Funzione vettoriale
- Distanza
- Distanza Euclidea
- Intorno
- Punto di accumulazione
- Punto interno
- Punto esterno
- Punto di frontiera
- Insieme aperto
- Insieme chiuso
- Insieme compatto
- Insieme convesso INSIEMI NUMERICI:
- N Numeri Naturali
- Z Numeri Relativi
- Q Numeri Razionali
- R Numeri Reali
- C Numeri Complessi (modulo, coniugato, somma algebrica, prodotto)
- Teorema fondamentale dell’algebra
- Intervalli in R
- Maggiorante
- Minorante
- Limitato superiormente
- Limitato inferiormente
- Limitato
- Minimo
- Massimo
- Estremo superiore
- Estremo inferiore SUCCESSIONI (SERIE) DI FUNZIONI:
- Successioni di funzioni
- Tipologie di successioni (armonica, limitata, che verifica definitivamente una proprietà, monotone)
- Limiti di successioni (convergente, positivamente divergente, negativamente divergente, divergente in modulo) FUNZIONI:
o Proprietà o Binomio di Newton (coefficiente binomiale) LIMITI:
- Limite
- Caso infinito
- Limite destro
- Limite sinistro
- Teorema dell’unicità del limite
- Teorema limite finito
- Teorema del prodotto e divisione tra limiti
- Teorema della somma algebrica tra limiti
- Teorema della permanenza del segno
- Teorema del confronto
- Teorema dei due carabinieri o Dimostrazione
- Teorema sui limiti delle funzioni monotone
- Teorema di Cauchy
- Polinomi di limiti o Caso particolare
- Limite dei funzione continua o Teorema monotonia o Teorema compattezza o Teorema di Weiestrass o Teorema degli zeri o Teorema dei valori intermedi
- Discontinuità (1° specie)
- Discontinuità (2° specie)
- Discontinuità (3° specie)
- Asintoto orizzontale
- Asintoto verticale
- Asintoto obliquo
- Limite di funzione composta
- Forme indeterminate dei limiti
- Infinito
- Infinitesimo
- Ordine di infinito e di infinitesimo DERIVATE:
- Rapporto incrementale
- Derivata o Derivata destra o Derivata sinistra
- Teorema funzione continua o Continuità a destra di f o Continuità a sinistra di f o Punto angoloso o Cuspide
- Regole di derivazione: o Somma algebrica o Prodotto o Divisione o Funzione di funzione o Funzione invertibile o Derivata di costante (numero) o Derivata di x o Derivata di potenza
- Derivate successive
- Derivate polinomiali
- Classe di derivate
- Differenziale
- Polinomio di Taylor o Teorema Taylor-Peano o Teorema Taylor-Lagrange
- Teorema di Fermat o Dimostrazione
- Teorema di Rolle o Dimostrazione
- Teorema di Lagrange o Dimostrazione
- Teorema di Cauchy
- Regole di De l’Hopital
- Teorema Convessità o Punto di Flesso INTEGRALI:
- Integrale definito (Rienmann) o Integrale Lineare o Additività
- Versori
- Vettori ortonormali
- Autovalori e autovettori o Teorema
- Combinazione lineare convessa
- Insieme convesso
- Dipendenza e indipendenza lineare o Teorema 1 o Teorema 2
- Definizione di uno spazio (vettori generatori, rango, base) o Teorema 1 o Teorema 2
- Matrici
- Matrice o Matrice polare o Matrice quadrata o Matrici diagonali o Matrice nulla o Matrice a blocchi o Matrice simmetrica o Matrice identità
- Confronto di matrici
- Trasposizione di matrici
- Somma di matrici
- Prodotto scalare di matrici
- Prodotto di matrici
- Potenza di matrici
- Traccia di matrici
- Rango di matrici o Proprietà
- Trasformazioni per similitudine
- Forme quadratiche
- Matrici inverse o Proprietà delle matrici quadrate
- Applicazioni lineari o Teorema di rappresentazione dell’applicazione lineare
- Determinanti
- Determinanti o Minori o Minore complementare
o Complemento algebrico
- Calcolo di determinanti o Regola di Sarus o Teorema di Laplace
- Proprietà dei determinanti
- Sistemi lineari
- Sistemi lineari o Teorema Rouchè-Capelli
LOGICA FORMALE
La logica formale è la base per il processo deduttivo che ci permette di definire i teoremi. Non dipende da ipotesi ma si basa su dimostrazioni. La proposizione è un asserto a cui può essere dato un valore di verità (se vera, se falsa). È una espressione linguistica di cui si può stabilire certamente il "valore di verità", cioè si sa per certo se è vera o falsa (per esempio "4 è multiplo di 2" è una proposizione, perché sappiamo che è certamente vera, anche "5 è multiplo di 2" è una proposizione, perché sappiamo comunque che è certamente falsa, ma "Domani pioverà" non è una proposizione logica, perché non sappiamo se è vero o falso). Algebra delle proposizioni : unire più proposizioni tramite connettivi logici e vedere cosa succede espressi dalle tavole di verità.
Connettivi logici (fili) : è quell'operazione che instaura fra due proposizioni A e B una qualche
relazione che dia origine ad una terza proposizione C con un valore vero o falso, in base ai valori
delle due proposizioni fattori ed al carattere del connettivo utilizzato.
- NEGAZIONE: si intende un'operazione logica unitaria, che restituisce il valore di verità inverso di una proposizione. È indicata con il simbolo agisce però su un'unica proposizione.
- DISGIUNZIONE: a partire da due proposizioni A e B, si forma una nuova proposizione chiamata A o B (A vel B ) la quale è vera solo nel caso in cui almeno una delle due proposizioni è vera mentre è falsa quando tutte e due sono false. È indicata con il simbolo.
- CONGIUNZIONE: a partire da due proposizioni A e B, si forma una nuova proposizione chiamata A e B (A et B ) la quale è vera solo nel caso in cui, le due proposizioni sono vere, mentre è falsa in tutti gli altri possibili casi. È indicata con il simbolo.
- IMPLICAZIONE: a partire da due proposizioni A e B, si forma una nuova proposizione chiamata A implica B ( ) la quale è vera se e solo se è verificata la seguente
- DISTRIBUTIVA:
Contraddizione: è una frase sempre falsa e può essere:
- CONTRADDIZIONE: è un'affermazione che è sempre falsa per qualsiasi valore delle sue componenti (per esempio P = ¬P).
- TAUTOLOGIA: è un'affermazione vera per qualsiasi valore di verità degli elementi che la compongono. (per esempio, l'affermazione "Tutti i corvi sono neri, oppure c'è un corvo che non lo è", è una tautologia, perché è vera sia nel caso in cui i corvi siano neri, sia nel caso in cui non tutti lo siano). Regole:
- INFERENZA: è il processo con il quale da una proposizione accolta come vera, si passa a una proposizione la cui verità è considerata contenuta nella prima (se P implica Q è vera e P è vera allora Q è vera).
- CATENA: Se P implica Q è vera e se Q implica R è vera allora P implica R è vera
- ACCETTAZIONE CONTROINVERSA: P implica Q allora nonQ (negazione tesi) implica nonP (negazione ipotesi) Funzioni Proposizionali: il valore di verità di tutta l'espressione varia secondo i valori di verita' delle espressioni componenti. P(x) es: P(x) x>=1 esiste una x tale per cui x>= Q: Esiste x>=1 vero tutte le x: x>=1 Falso nonQ: Tutte le x: x<1 Falso
INSIEME
Un insieme è una collezione di oggetti che hanno caratteristiche comuni e si chiamano elementi. I nomi degli insiemi vanno scritti maiuscoli, quelli degli elementi. Modi di esprimere : M=(insieme degli x tali che x è un mammifero marino) F = {rosa, giglio, geranio}
A
a b c d e f g h i
Un sottoinsieme un insieme che è contenuto in un altro insieme al quale si riferisce, vale a dire che l'insieme B è un sottoinsieme di A se tutti gli elementi presenti in B sono anche presenti in A. L’insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme. Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme generico è " ⊆ ", mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è " ⊂ ".
- Sottoinsieme improprio: tutti gli elementi di A appartengono anche a B.
- Sottoinsieme proprio: almeno un elemento di A non è compreso nell'insieme B. Insieme delle parti : dato un insieme S non vuoto, l'insieme delle parti di S, scritto , è l'insieme di tutti i sottoinsiemi propri e impropri di S.
Unione : è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A o
all'insieme B o a entrambi. L'unione di due insiemi A e B si denota comunemente con " ". Quindi x è un elemento di se e solo se x è un elemento di almeno uno degli insiemi A e B, in simboli:
- Proprietà: AuA=A AuVuoto=A
Intersezione: è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia
all'insieme A che all'insieme B contemporaneamente. L'intersezione di due insiemi A e B si denota comunemente con " ". Quindi x è un elemento di se e solo se x è un elemento degli insiemi A e B contemporaneamente, in simboli:
- Proprietà: AnA=A AnVuoto=Vuoto Se AnB=vuoto A e B sono disgiunti
PRODOTTO CARTESIANO
Prodotto cartesiano : è l'insieme delle coppie ordinate (a,b) con a in A e b in B. Formalmente: Il prodotto cartesiano può essere esteso alla composizione di n insiemi considerando l'insieme delle n-uple ordinate: Se per esempio A = { a, b, c } e B = { e, f }, si può rappresentare il prodotto A × B come nella figura qui sotto (Se inverto BxA si invertono le assi cartesiane): Partizione di un insieme: una partizione di un insieme A è una divisione di A in sottoinsiemi, detti parti, che "coprono" A senza sovrapporsi. Più formalmente, una partizione di A è una collezione P di sottoinsiemi di A tali che: i sottoinsiemi non sono vuoti; l'unione di tutti i sottoinsiemi sia l'insieme A stesso; dati due elementi qualsiasi di A, questi sono disgiunti (intersezione vuota tra sottoinsiemi diversi). Applicazione (funzione): Dati due insiemi X e Y non vuoti, si dice applicazione da X in Y una relazione che associa ad ogni elemento di X uno e un solo elemento di Y.
- Definizione matematica: Dati gli insiemi X e Y non vuoti, si chiama applicazione da X in Y un sottoinsieme f del prodotto cartesiano tale che per ogni , esiste uno ed un solo elemento tale che.
- Dominio, Codominio, Immagine e Controimmagine: X è il dominio di f, Y è il codominio di f. Data una funzione f di dominio X e codominio Y, comunque scelto un elemento x del dominio(X) si chiama immagine di x il corrispondente elemento del codominio (Y), indicato con f(x). Analogamente, se y è un elemento del codominio (Y) che sia immagine di un elemento x del dominio (X), cioè se y=f(x), si dice che x è la controimmagine di y. Per estensione, l'insieme. Grafico della funzione : è un caso particolare di prodotto cartesiano: Data una funzione si chiama grafico di f il sottoinsieme del prodotto cartesiano dato da RxR=R^2 Ottengo il piano cartesiano x,y RxRxR=R^3 Ottengo il piano cartesiano x,y,z tridimensionale Rn^ Non ottengo un grafico ma una n-pla di oggetti Proprietà:
- Suriettiva: quando l'immagine coincide con il codominio, ovvero quando ogni elemento y del codominio è immagine di almeno un elemento x del dominio (il codominio di f esaurisce l’insieme Y). Formalmente, una funzione è suriettiva se .
- Iniettiva: se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, o equivalentemente se ad ogni elemento del codominio corrisponde al più un elemento distinto del dominio; se gli elementi di f sono diversi anche le f sono diverse; ogni elemento X ha un solo elemento Y; formalmente: è iniettiva se
minore o uguale della cardinalità di B"), dove A,B sono due insiemi qualunque, è: Esiste una funzione iniettiva da A in B. Mentre la definizione di | A | = | B | ("A e B sono equipotenti") è: Esiste una funzione bigettiva da A in B. Ciò detto, il teorema di Cantor-Bernstein-Shroeder può essere riformulato come segue: Se e , allora | A | = | B | Funzione vettoriale: è una funzione di variabile reale che assume valori nel prodotto cartesiano. Distanza: misura della "lontananza" tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. Una distanza (o metrica) su un insieme X è una qualsiasi funzione che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta di x,y,z in X: (simmetria tra x e y=tra y e x) (disuguaglianza triangolare) Distanza Euclidea: Per ogni intero naturale n si dispone di uno spazio euclideo ad n dimensioni. Intorno: Un intorno di un punto x è intuitivamente un insieme di punti "vicini" al punto x. Ogni intorno individua un insieme differente di vicini. Nel caso di uno spazio metrico (X,d) si possono considerare intorni caratterizzati da richieste sulla distanza. In particolare risulta utile considerare l'intorno sferico aperto di un punto x in X di raggio r > 0 definito come l'insieme: Punto di accumulazione: Dato l'insieme e (non interessa che x 0 appartenga ad A o meno), si dice che x 0 è punto di accumulazione per l'insieme A se e solo se in ogni intorno di x 0 esiste un elemento x diverso da x 0 ed appartenente ad A. In formule: Se X0 non è di accumulazione per A allora si dice isolato. Se esiste almenu un punto ne esistono infiniti. Se ha cardinalità finita non esiste nemmeno un punto di accumulazione. Punto interno: Dato il sottoinsieme A di Rn, x1 € Rn, x1 è interno ad A se esiste un intorno I(x1):I(x1)€A
Punto esterno: Dato il sottoinsieme A di Rn, x1 € Rn, x1 è esterno ad A se esiste un intorno I(x1):I(x1)nA=Vuoto Punto di frontiera: Se x1 non è né interno né esterno (tutti gli intorni di x1 contengono elementi di A ed elementi esterni ad A) Insieme aperto: Il sottoinsieme A€R è aperto se ogni suo punto è interno (a,b) con a<x<b esclusa la frontiera. Insieme chiuso: Il sottoinsieme A si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera. Insieme compatto : è un insieme chiuso (contiene la frontiera) e limitato (ha maggioranti e minoranti). o Teorema: se A è compatto, A ammette minimo e massimo. Insieme convesso: In uno spazio euclideo un insieme si dice convesso se, per ogni coppia di punti dell'insieme, il segmento AB che li congiunge è interamente contenuto nell'insieme.
INSIEMI NUMERICI
N= { 1 , 2 , 3 , 4.... .} NUMERI NATURALI (solo positivi, possibile somma e moltiplicazione) : ha elementi infiniti, è numerabile (si può contare, corrispondenza biunivoca), è discreto (dato che x N, x+1 N vi sono numeri successivi e tra x e x+1 non esiste nessun altro numero) ed è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione (queste sono effettivamente operazioni su N, cioè sempre eseguibili per qualsiasi a,b N). Z={ ..., - 3, - 2, - 1, 0, 1 , 2 , 3 , 4.... .} NUMERI INTERI RELATIVI (positivi e negativi interi, possibile sottrazone): N è un sottoinsieme proprio di Z, tutte le operazioni sono possibili, è discreto e numerabile (corrispondenza biunivoca), ha una corrispondenza biunivoca con N. Q={ ..., - 3/4,..., - 2,..., - 1,..., - 1/3,.., 0,...,1/2,...2/3,...1,...,3/2,...,2,...,15/7,...} NUMERI RAZIONALI (frazioni, possibile divisione): è numerabile e si possono fare tutte le operazioni, è denso (tra 1 e 2 possono esserci altri valori). Vx1,x2€Q:x1<x2Ex3€Q:x1<x3<x
- (-∞,∞) = R (tutta la retta reale)
- {a} (un punto)
- l'insieme vuoto I punti a e b sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi chiusa [] indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi aperta () indica che non vi appartiene. I primi quattro intervalli hanno lunghezza b - a, i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza zero. L'intervallo unitario è l'intervallo chiuso [0, 1]. Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo [a, b]. Maggiorante : un maggiorante di un insieme è qualsiasi elemento che è maggiore o uguale di tutti gli elementi dell'insieme ordinato. Sia un insieme ordinato e ; si dice che un elemento è un maggiorante di E se per ogni si ha. Si indica con M. Minorante: si definisce un minorante di un insieme E come un elemento tale che per ogni si ha. Si indica con m. Limitato superiormente: se E ammette almeno un maggiorante. Limitato inferiormente: se E ammette almeno un minorante. Limitato : è un insieme che possiede sia maggioranti che minoranti. Minimo: Supponiamo un ordine: se esiste un tale che allora si dice che m è l'elemento minimo di S. Massimo: si definisce elemento massimo di S un tale che Estremo superiore: di un sottoinsieme E contenuto in un insieme ordinato X è il più piccolo elemento dei maggioranti di E. In altre parole è il più piccolo elemento di X che è maggiore o uguale di ogni elemento di E. Sia un insieme totalmente ordinato,. Se esiste un elemento tale che:
- y è un maggiorante di E
- se z < y allora z non è un maggiorante di E In simboli e diciamo che E è limitato superiormente. Estremo inferiore : di E è definito come il più grande elemento dei minoranti di E, cioè il più grande elemento di X che è minore o uguale di ogni elemento di E. Se esiste un elemento tale che:
- x è un minorante di E
- se x < z allora z non è un minorante di E In simboli e diciamo che E è limitato inferiormente.
SUCCESSIONE DI FUNZIONI
Successione di funzioni : Si chiama successione una lista ordinata di numeri aventi un primo
elemento e formata da infiniti elementi (termini).Dato un insieme A di funzioni tra due
insiemi fissati N e R, una successione di funzioni è una applicazione dall'insieme dei numeri
naturali in A, che associa ad ogni numero naturale k una funzione ak. La successione è
usualmente indicata con uno dei due simboli seguenti: {a;k} con K€N Tipologie di successioni :
- Successione armonica (serie): In matematica, la serie armonica è la sommatoria infinita delle frazioni unitarie o, equivalentemente, dei reciproci dei numeri naturali: Converge con il numero “e” logaritmico naturale in quanto an=(1+1/n)^n.
- Successione limitata: an si dice limitata se {an} è limitato
- Successione che verifica definitivamente proprietà: una successione verifica una certa proprietà P se esiste un indice K* tale che qualunque K>K. Definitivamente significa che il dominio ha un numero n infinito di elementi se c’è un indice K per cui P è verificata e lo è anche per gli indici successivi. o Teorema: se ak è definitivamente limitata allora ak è limitata.
- Successioni monotone: Alcune successioni mostrano una ben precisa regolarità: all’aumentare dell’indice n, il termine della successione an raggiunge un valore più elevato dei precedenti. Una successione di numeri reali si dice: o Monotona strettamente crescente se ak<ak- 1 qualunque k€N o Monotona non crescente se ak>=0k+1 Qualunque k€N o Monotona strettamente decrescente se ak>ak+1 qualunque k€N o Monotona non decrescente se ak<=ak+1 qualunque k€N Limiti di Successioni: Un numero reale a è il limite di una successione di numeri reali {an} se la distanza fra i numeri an ed a è arbitrariamente piccola quando n è sufficientemente grande. La distanza fra an ed a è data dal valore assoluto | an − a |. In altre parole, a è il limite della successione se Per ogni ε > 0 esiste un numero naturale N tale che | an − a | < ε per ogni n > N.
