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APPUNTI DI MATEMATICA GENERALE

Definizioni e teoremi

Ultima versione: 6 settembre 2025

Marzia De Donno e Laura Mariano

Indice

• 1 PRIMO MODULO
  • 1.1 Funzioni
  • 1.2 Limiti e continuit`a
  • 1.3 Calcolo differenziale e ottimizzazione in una variabile
  • 1.4 Calcolo differenziale e ottimizzazione in due variabili
• 2 SECONDO MODULO
  • 2.1 Calcolo integrale
  • 2.2 Algebra lineare

Definizione 1.4. (Minimo globale e locale) Sia f una funzione definita su un dominio D.

(i) Un punto x 0 ∈ D `e detto punto di minimo globale o assoluto se per ogni x ∈ D

f (x) ≥ f (x 0 ).

Il numero reale m = f (x 0 ) `e chiamato minimo globale o assoluto di f.

(ii) Un punto x 0 ∈ D `e detto punto di minimo locale o relativo se esiste un intorno I di x 0 tale che per ogni x ∈ I ∩ D

f (x) ≥ f (x 0 ).

Il numero reale M = f (x 0 ) `e chiamato minimo locale o relativo di f.

Definizione 1.5. (Convessita e concavita) Una funzione f e detta convessa se il se il suo epigrafico (insieme dei punti al di sopra del grafico)e convesso, cie per ogni coppia di punti dell’epigrafico, il segmento che li congiungee interamente contenuto nell’insieme stesso. Una funzione f e detta concava se la funzione −fe convessa.

1.2 Limiti e continuit`a

Definizione 1.6. (Continuita) Sia f una funzione definita in un intervallo I ⊆ R e x 0 ∈ I. Si dice che fe continua in x 0 se

xlim→x 0 f (x) = f (x 0 ).

Si dice che f e continua see continua in ogni punto del proprio dominio.

Definizione 1.7. (Confronto tra infinitesimi) Siano f e g due funzioni definite in un intorno di c ∈ R, tali che limx→c f (x) = limx→c g(x) = 0. Diciamo che:

1. f `e un infinitesimo di ordine superiore a g per x → c se

xlim→c

f (x) g(x)

2. f `e un infinitesimo di ordine inferiore a g per x → c se

xlim→c^ f^ (x) g(x)

3. f e g sono infinitesimi dello stesso ordine per x → c se

xlim→c

f (x) g(x)

= L 6 = 0;

Se limx→c f g^ ((xx)) non esiste, diciamo che f e g non sono confrontabili in x = c.

Definizione 1.8. (Confronto tra infiniti) Siano f e g due funzioni definite in un intorno di c ∈ R, tali che limx→c f (x) = limx→c g(x) = ∞. Diciamo che:

1. f `e un infinito di ordine superiore a g per x → c se

xlim→c

f (x) g(x)

2. f `e un infinito di ordine inferiore a g per x → c se

xlim→c^ f^ (x) g(x)

3. f e g sono infiniti dello stesso ordine per x → c se

xlim→c

f (x) g(x)

= L 6 = 0;

Se limx→c f g^ ((xx)) non esiste, diciamo che f e g non sono confrontabili in x = c.

Teorema 1.9. (Teorema di Weierstrass) Se f `e una funzione continua su un intervallo [a, b] (chiuso e limitato), f ammette almeno un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto in [a, b].

Teorema 1.15. (Test di convessit`a) Sia f una funzione differenziabile due volte in (a, b).

• se f ′′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ (a, b), f ′^ e crescente e fe convessa in (a, b);
• se f ′′(x) ≤ 0 per ogni x ∈ (a, b), f ′^ e decrescente e fe concava in (a, b).

Teorema 1.16. (Test della derivata seconda) Sia f una funzione differenziabile due volte in (a, b) e sia x 0 ∈ (a, b) tale che f ′(x 0 ) = 0.

• se f ′′(x 0 ) > 0, allora x 0 `e un punto di minimo locale forte;
• se f ′′(x 0 ) < 0, allora x 0 `e un punto di massimo locale forte.

1.4 Calcolo differenziale e ottimizzazione in due variabili

Definizione 1.17. (Curva di livello) Sia f una funzione definita su un dominio D ⊆ R^2. Si chiama curva di livello k l’insieme dei punti (x, y) ∈ D tali che f (x, y) = k, dove k ∈ R `e un valore assunto dalla funzione.

Definizione 1.18. (Massimo globale in R^2 ) Sia f una funzione definita su un dominio D ⊆ R^2. Un punto (x 0 , y 0 ) ∈ D e detto punto di massimo assoluto o globale se per ogni (x, y) ∈ D f (x, y) ≤ f (x 0 , y 0 ). Il numero reale M = f (x 0 , y 0 )e chiamato massimo globale o assoluto di f.

Definizione 1.19. (Minimo globale in R^2 ) Sia f una funzione definita su un dominio D ⊆ R^2. Un punto (x 0 , y 0 ) ∈ D e detto punto di minimo assoluto o globale se per ogni (x, y) ∈ D f (x, y) ≥ f (x 0 , y 0 ). Il numero reale m = f (x 0 , y 0 )e chiamato minimo globale o assoluto di f.

Teorema 1.20. (Teorema di Schwartz) Sia f una funzione definita su un dominio D ⊆ R^2 e sia (x 0 , y 0 ) ∈ D. Se f ha derivate seconde continue in (x 0 , y 0 ),

f (^) xy′′ (x 0 , y 0 ) = f (^) yx′′(x 0 , y 0 ).

Teorema 1.21. (Condizione necessaria per un estremo locale in R^2 ) Sia f una funzione definita su un dominio D ⊆ R^2 , che ammette derivate parziali in un punto (x 0 , y 0 ) ∈ D. Se (x 0 , y 0 ) `e un punto di estremo locale, allora f (^) x′(x 0 , y 0 ) = f (^) y′ (x 0 , y 0 ) = 0.

Teorema 1.22. (Condizione sufficiente per un estremo locale in R^2 ) Sia f una funzione definita su un dominio D ⊆ R^2 , che ammette derivate parziali prime e seconde continue e si definisca l’hessiano

H(x, y) = f (^) xx′′(x, y) f (^) yy′′ (x, y) −

[

f (^) xy′′ (x, y)

] 2

Se (x 0 , y 0 ) `e un punto stazionario; allora:

• se H(x 0 , y 0 ) > 0 e f (^) xx′′(x 0 , y 0 ) > 0, allora (x 0 , y 0 ) `e punto di minimo locale;
• se H(x 0 , y 0 ) > 0 e f (^) xx′′(x 0 , y 0 ) < 0, allora (x 0 , y 0 ) `e punto di massimo locale
• se H(x 0 , y 0 ) < 0, allora (x 0 , y 0 ) `e un punto di sella.

Definizione 1.23. (Lagrangiana) Data la funzione obiettivo f (x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = b, con f, g funzioni definite su un dominio D ⊆ R^2 e b ∈ R, si chiama funzione lagrangiana la funzione in 3 variabili (λ, x, y) definita da

L(λ, x, y) = f (x, y) + λ (b − g(x, y)).

Il parametro λ `e detto moltiplicatore di Lagrange.

2 SECONDO MODULO

2.1 Calcolo integrale

Definizione 2.1. (Primitiva) Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R. Si dice primitiva di f su I una funzione F : I → R che sia derivabile e tale che F ′(x) = f (x) ∀x ∈ I.

Definizione 2.2. (Integrale indefinito) Sia I ⊆ R un intervallo. Sia f : I → R e sia F (x) una sua primitiva su I. L’integrale indefinito di f `e l’insieme delle sue primitive, e si indica ∫ f (x) dx = F (x) + c, c ∈ R.

Teorema 2.3. (Integrazione per parti per integrale indefinito) Siano f, g : I ⊆ R → R, differenziabili su I; allora ∫ f (x)g′(x) dx = f (x)g(x) −

f ′(x)g(x) dx.

Definizione 2.4. (Somma di Riemann) Sia f una funzione limitata su [a, b]. Si suddivida [a, b] in n sottointervalli [xi, xi+1] di uguale ampiezza ∆xi = (b − a)/n tramite i punti x 0 , x 1 ,... , xn tali che x 0 = a < x 1 < · · · < xn = b. Sia ti (i = 0,... , n − 1) un punto arbitrario del sotto-intervallo [xi, xi+1] e siano f (ti) e Ai = f (ti) · ∆xi rispettivamente il valore della funzione in tale punto e l’area del corrispondente rettangolo. Si definisce somma di Riemann la somma delle aree degli n rettangoli di base [xi, xi+1] e altezza f (ti), ossia

Sn =

n∑− 1

i=

Ai =

n∑− 1

i=

f (ti) · ∆xi =

n∑− 1

i=

f (ti) · (b^ −^ a) n

Definizione 2.5. (Integrale definito secondo Riemann) L’integrale definito secondo Riemann di una funzione f limitata su [a, b] ∫ (^) b

a

f (x) dx

e il limite per n → +∞ della somma di Riemann, se tale limite esiste,e finito e non dipende da ti.

Teorema 2.6. (Condizioni sufficienti per l’integrabilit`a secondo Riemann)

(i) Una funzione f continua su [a, b], `e ivi integrabile.

(ii) Una funzione f monotona su [a, b], anche con una infinita numerabile di punti di discontinuita, `e ivi integrabile.

(iii) Una funzione f limitata su [a, b] con un numero finito di punti di discontinuita,e ivi integrabile.

Definizione 2.7. (Funzione integrale) Sia f una funzione integrabile secondo Riemann su [a, b], e sia c ∈ [a, b]. La funzione

Fc(x) =

∫ (^) x

c

f (t) dt

si dice funzione integrale di f , centrata in c.

Teorema 2.8. (Primo teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia f integrabile su [a, b] e F (x) una sua primitiva. Allora ∫ (^) b

a

f (x) dx = F (b) − F (a).

Teorema 2.9. (Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia f una funzione integrabile su [a, b] e sia c ∈ [a, b]. Allora la sua funzione integrale centrata in c, Fc(x) =

∫ (^) x c f^ (t)^ dt^ e continua. Inoltre, se fe continua in [a, b], allora la funzione integrale Fc(x) =

∫ (^) x

c

f (t) dt e una sua primitiva (cioe F (^) c′(x) = f (x)).

Definizione 2.14. (Matrice, matrice quadrata, matrice simmetrica)

1. Una matrice A (m × n) e una tabella di m · n numeri reali, detti elementi della matrice, dove me il numero delle righe, n `e il numero delle colonne.
2. Una matrice si dice quadrata se m = n, ossia se il numero delle righe `e uguale al numero delle colonne.
3. Una matrice quadrata si dice simmetrica se essa ha uguali gli elementi sim- metrici rispetto alla diagonale principale, ossia la diagonale con elementi il cui indice riga e colonna sono uguali

Definizione 2.15. (Matrice inversa) Data una matrice quadrata A di ordine n , la matrice inversa di A, se esiste, `e la matrice B(n × n) tale che

A · B = B · A = In

ossia tale che il loro prodotto risulti commutativo e uguale alla matrice identit`a di ordine n.

Definizione 2.16. (Matrice singolare) Una matrice (quadrata) non invertibile `e detta singolare.

Teorema 2.17. (Unicita della matrice inversa) Se una matrice quadrata ammette inversa, essae unica.

Definizione 2.18. (Determinante di una matrice quadrata) Il determinante di una matrice quadrata e la somma dei prodotti degli elementi di una sua riga o colonna per i rispettivi complementi algebrici, dove il complemento algebrico di un elemento aije il numero che si ottiene moltiplicando (−1)i+j^ per il determinante della sottomatrice che si ottiene sopprimendo la riga i − esima e la colonna j − esima.

Teorema 2.19. (Teorema di Binet) Il determinante del prodotto di matrici quadrate `e il prodotto dei loro determinanti

Teorema 2.20. (Condizione necessaria e sufficiente per la dipendenza li- neare di vettori) Il determinante di una matrice quadrata `e uguale a zero se e solo se i suoi vettori riga e/o colonna sono linearmente dipendenti

Teorema 2.21. (Condizione necessaria e sufficiente per l’invertibilita di una matrice quadrata) Una matrice quadrata di ordine ne invertibile se e solo se il suo determinante `e diverso da zero

Definizione 2.22. (Rango) Data una matrice A (m × n), il rango di A `e il massimo numero di vettori righe o colonna linearmente indipendenti

Teorema 2.23. (Teorema di Cramer) Dato un sistema lineare Ax = b di n equazioni con n incognite, se il determinante di A (matrice dei coefficienti) `e diverso da zero allora il sistema ha una e una sola soluzione data da x = A−^1 b.

Teorema 2.24. (Teorema di Rouche-Capelli) Un sistema lineare Ax = b con m equazioni e n incognite ammette soluzione se e solo se il rango della matrice dei coefficientie uguale al rango della matrice completa, ossia della matrice che si ottiene aggiungendo alla matrice A il vettore dei termini noti b.