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MATEMATICA GENERALE
Seconda prova parziale - C
13 dicembre 2021
Cognome: Nome:
Matricola UCSC:
La valutazione finale sar`a pari ad 8 punti + il punteggio ottenuto nelle domande a
scelta multipla.
- [2 punti] Data la funzione f (x) = e
−x
x, il suo integrale indefinito `e:
(A)
f (x)dx = e
−x
x
2
(B)
f (x)dx = − e
−x
x
2
(C) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(D)
f (x)dx = e
−x
x
2
- [2 punti] La funzione integrale di f (x) = −
x
2 x^2 + 1
centrata nel punto 0 `e la
funzione F 0 (x) dove:
(A) F 0 (x) = −
x
2 x
2
(B) F 0 (x) = −
ln(2x
2
(C) F 0 (x) = − ln(2x
2
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
- [2 punti] Data la funzione f (x) =
x − 2 se x ≤ 0
− 2 se x > 0
, l’integrale
− 1
f (x) dx
vale:
(A)
(B) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(C) −
(D) − 3
- [2 punti] I vettori x =
k
− 2
, y =
(^) di R^3 , con k ∈ R:
(A) sono linearmente indipendenti per ogni valore di k
(B) sono linearmente dipendenti solo per k = −
1 2
(C) sono linearmente dipendenti per k = − 2
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
- [2 punti] Data la matrice A =
1 − 1 k
(^) con k ∈ R, il determinante di A `e:
(A) 0
(B) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(C) 2k
(D) −k
- [2 punti] La matrice A risulta non invertibile (cio`e singolare) per:
(A) k = 0
(B) k 6 = 0
(C) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(D) per nessun valore di k
- [2 punti] Si fissi k = 0 nella matrice A. Il sistema lineare Ax =
(^) ammette:
(A) nessuna soluzione poich´e il rango della matrice completa `e 3
(B) una e una sola soluzione poich´e il rango della matrice completa `e 3
(C) infinite soluzioni dipendenti da un parametro
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
- [2 punti] Si fissi ancora k = −1 nella matrice A. Sia C = B − A dove
B =
Allora
(A) Il determinante di C `e uguale a det B - det A
(B) Il determinante di B `e uguale a 0
(C) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(D) Il determinante di C `e uguale a 7
- [2 punti] I tre vettori colonne della matrice A sono linearmente dipendenti se
e solo se il determinante di A `e
(A) 1
(B) 0
(C) 3
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
SOLUZIONI - C
1. (B)
(e
−x
x)dx = −
(− e
−x )dx +
xdx = −e
−x
x
2
- (B) F 0 (x) =
∫ (^) x
0
t
2 t
2
dt = −
∫ (^) x
0
4 t
2 t
2
dt =
[
ln(2t
2
]x
0
ln(2x
2
3. (B)
− 1
f (x)dt =
− 1
(x − 2)dx +
0
(−2)dx = −
- (C) Il rango della matrice B =
k 1
(^) `e 2 se e solo se
k 1
− 2 1
cio`e se e solo se k 6 = −2.
I due vettori sono quindi linearmente dipendenti solo per k = −2.
- (D) Il determinante della matrice A risulta −k.
- (A) Una matrice quadrata
e invertibile se e solo se il suo determinantee
diverso da zero. Quindi `e non invertibile per k = 0.
- (B) Essendo A una matrice quadrata il rango di A `e uguale a 3 se e solo
se il determinante della matrice A `e diverso da 0,ossia se k 6 = 0.
- (D) Poich´e A
e una matrice quadrata, se det A 6 = 0 il sistemae di Cramer
e ammette quindi una e una sola soluzione. Quindi il sistema determinato
per k 6 = 0.
- (B) Per k = −1, il determinante di A 1. Risolvendo il sistema con la
regola di Cramer si ha:
MATEMATICA GENERALE
Seconda prova parziale - D
13 dicembre 2021
Cognome: Nome:
Matricola UCSC:
La valutazione finale sar`a pari ad 8 punti + il punteggio ottenuto nelle domande a
scelta multipla.
- [2 punti] Data la funzione f (x) = e
−x
x, il suo integrale indefinito `e:
(A) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(B)
f (x)dx = e
−x
x
2
(C)
f (x)dx = e
−x
x
2
(D)
f (x)dx = − e
−x
x
2
- [2 punti] La funzione integrale di f (x) = −
x
2 x^2 + 1
centrata nel punto 0 `e la
funzione F 0 (x) dove:
(A) F 0 (x) = −
ln(2x
2
(B) F 0 (x) = − ln(2x
2
(C) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(D) F 0 (x) = −
x
2 x^2 + 1
- [2 punti] Data la funzione f (x) =
x − 2 se x ≤ 0
− 2 se x > 0
, l’integrale
− 1
f (x) dx
vale:
(A) −
(B)
(C) − 3
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
- [2 punti] I vettori x =
k
, y =
(^) di R^3 , con k ∈ R:
(A) sono linearmente indipendenti per ogni valore di k
(B) sono linearmente dipendenti per k = − 2
(C) sono linearmente dipendenti solo per k = −
1 2
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
- [2 punti] Data la matrice A =
1 − 1 k
(^) con k ∈ R, il determinante di A `e:
(A) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(B) −k
(C) 2k
(D) 0
- [2 punti] La matrice A risulta non invertibile (cio`e singolare) per:
(A) k 6 = 0
(B) per nessun valore di k
(C) k = 0
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
- [2 punti] Si fissi k = 0 nella matrice A. Il sistema lineare Ax =
(^) ammette:
(A) una e una sola soluzione poich´e il rango della matrice completa `e 3
(B) infinite soluzioni dipendenti da un parametro
(C) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(D) nessuna soluzione poich´e il rango della matrice completa `e 3
- [2 punti] Si fissi ancora k = −1 nella matrice A. Sia C = B − A dove
B =
Allora
(A) Il determinante di B `e uguale a 0
(B) Il determinante di C `e uguale a 7
(C) Il determinante di C `e uguale a det B - det A
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
- [2 punti] I tre vettori colonne della matrice A sono linearmente dipendenti se
e solo se il determinante di A `e
(A) 0
(B) 3
(C) 1
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
SOLUZIONI - D
1. (D)
(e
−x
x)dx = −
(− e
−x )dx +
xdx = −e
−x
x
2
- (A) F 0 (x) =
∫ (^) x
0
t
2 t
2
dt = −
∫ (^) x
0
4 t
2 t
2
dt =
[
ln(2t
2
]x
0
ln(2x
2
3. (D)
− 1
f (x)dt =
− 1
(x − 2)dx +
0
(−2)dx = −
- (B) Il rango della matrice B =
k 1
(^) `e 2 se e solo se
k 1
− 2 1
cio`e se e solo se k 6 = −2.
I due vettori sono quindi linearmente dipendenti solo per k = −2.
- (B) Il determinante della matrice A risulta −k.
- (C) Una matrice quadrata
e invertibile se e solo se il suo determinantee
diverso da zero. Quindi `e non invertibile per k = 0.
- (A) Essendo A una matrice quadrata il rango di A `e uguale a 3 se e solo
se il determinante della matrice A `e diverso da 0,ossia se k 6 = 0.
- (C) Poich´e A
e una matrice quadrata, se det A 6 = 0 il sistemae di Cramer
e ammette quindi una e una sola soluzione. Quindi il sistema determinato
per k 6 = 0.
- (C) Per k = −1, il determinante di A 1. Risolvendo il sistema con la
regola di Cramer si ha:
