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MATEMATICA GENERALE
Seconda prova parziale - A
13 dicembre 2021
Cognome: Nome:
Matricola UCSC:
La valutazione finale sar`a pari ad 8 punti + il punteggio ottenuto nelle domande a
scelta multipla.
- [2 punti] Data la funzione f (x) = e
− 2 x
- x, il suo integrale indefinito `e:
(A)
f (x)dx = e
− 2 x
x
2
(B)
f (x)dx = −
e
− 2 x
x
2
(C) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(D)
f (x)dx =
e
− 2 x
x
2
- [2 punti] La funzione integrale di f (x) = −
3 x
x^2 + 1
centrata nel punto 0 `e la
funzione F 0 (x) dove:
(A) F 0 (x) = −
ln(x
2
(B) F 0 (x) = −3 ln(x
2
(C) F 0 (x) = −
3 x
x
2
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
- [2 punti] Data la funzione f (x) =
3 se x ≤ 0
x + 3 se x > 0
, l’integrale
− 1
f (x) dx
vale:
(A)
(B) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(C)
(D) 6
- [2 punti] I vettori x =
, y =
k
− 1
(^) di R^3 , con k ∈ R:
(A) sono linearmente indipendenti per ogni valore di k
(B) sono linearmente dipendenti per ogni valore di k
(C) sono linearmente dipendenti solo per k = −
1 2
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
- [2 punti] Data la matrice A =
k 2 1
(^) con k ∈ R, il determinante di A `e:
(A) 0
(B) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(C) 2k
(D) − 2 k + 1
- [2 punti] La matrice A risulta invertibile per:
(A) k 6 = 0
(B) k = 0
(C) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(D) per nessun valore di k
- [2 punti] Si fissi k = 0 nella matrice A. Il sistema lineare Ax =
(^) ammette:
(A) nessuna soluzione poich´e il rango della matrice completa `e 3
(B) una e una sola soluzione poich´e il rango della matrice completa `e 3
(C) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(D) infinite soluzioni dipendenti da un parametro
- [2 punti] Si fissi ancora k = 0 nella matrice A. Sia C = A + B dove
B =
Allora
(A) Il determinante di C `e uguale a det A + det B
(B) Il determinante di B `e uguale a 0
(C) Il determinante di C `e uguale a -
(D) Il determinante di C `e uguale a 0
- [2 punti] I tre vettori colonne della matrice A sono linearmente indipendenti
se e solo se il rango di A `e
(A) r = 3;
(B) r = 2;
(C) nessuna delle altre affermazioni `e corretta;
(D) 0 < r < 3.
SOLUZIONI - A
1. (B)
(e
− 2 x
(−2) e
− 2 x dx +
xdx = −
e
− 2 x
x
2
- (D) F 0 (x) =
∫ (^) x
0
3 t
t^2 + 1
dt
∫ (^) x
0
2 t
t^2 + 1
dt
[
ln(t
2
]x
0
ln(x
2
3. (A)
− 1
f (x)dt =
− 1
3 dx +
0
(x + 3)dx =
- (C) Il rango della matrice B =
1 k
2 − 1
(^) `e 2 se e solo se
1 k
2 − 1
cio`e se e solo se k 6 = −
1 2
I due vettori sono quindi linearmente dipendenti solo per k = −
1 2
- (C) Il determinante della matrice A risulta 2k.
- (A) Una matrice quadrata
e invertibile se e solo se il suo determinantee
diverso da zero.
Da 2k 6 = 0 si ottiene k 6 = 0.
- (B) Essendo A una matrice quadrata il rango di A `e minore di 3 se e solo
se il determinante della matrice A e uguale a 0. Per k = 0, il rangoe 2 in
quanto
- (B) Poich´e A
e una matrice quadrata, se det A 6 = 0 il sistemae di Cramer
e ammette quindi una e una sola soluzione. Quindi il sistema determinato
per k 6 = 0.
- (D) Per k = 1, il determinante di A 2. Risolvendo il sistema con la regola
di Cramer si ha:
MATEMATICA GENERALE
Seconda prova parziale - B
13 dicembre 2021
Cognome: Nome:
Matricola UCSC:
La valutazione finale sar`a pari ad 8 punti + il punteggio ottenuto nelle domande a
scelta multipla.
- [2 punti] Data la funzione f (x) = e
− 2 x
- x, il suo integrale indefinito `e:
(A)
f (x)dx = −
e
− 2 x
x
2
(B) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(C)
f (x)dx = e
− 2 x
x
2
(D)
f (x)dx =
e
− 2 x
x
2
- [2 punti] La funzione integrale di f (x) = −
3 x
x^2 + 1
centrata nel punto 0 `e la
funzione F 0 (x) dove:
(A) F 0 (x) = −
3 x
x
2
(B) F 0 (x) = −3 ln(x
2
(C) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(D) F 0 (x) = −
ln(x
2
- [2 punti] Data la funzione f (x) =
3 se x ≤ 0
x + 3 se x > 0
, l’integrale
− 1
f (x) dx
vale:
(A) 6
(B) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(C)
(D)
- [2 punti] I vettori x =
, y =
k
(^) di R^3 , con k ∈ R:
(A) sono linearmente dipendenti per ogni valore di k
(B) sono linearmente dipendenti solo per k = −
1 2
(C) sono linearmente indipendenti per ogni valore di k
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
- [2 punti] Data la matrice A =
k 2 1
(^) con k ∈ R, il determinante di A `e:
(A) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(B) − 2 k + 1
(C) 2k
(D) 0
- [2 punti] La matrice A risulta invertibile per:
(A) k = 0
(B) k 6 = 0
(C) per nessun valore di k
(D) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
- [2 punti] Si fissi k = 0 nella matrice A. Il sistema lineare Ax =
(^) ammette:
(A) nessuna delle altre affermazioni `e corretta;
(B) una e una sola soluzione poich´e il rango della matrice completa `e 3.
(C) nessuna soluzione poich´e il rango della matrice completa `e 3;
(D) infinite soluzioni dipendenti da un parametro
- [2 punti] Si fissi ancora k = 0 nella matrice A. Sia C = A + B dove
B =
Allora
(A) Il determinante di C `e uguale a det A + det B
(B) Il determinante di B `e uguale a 0
(C) Il determinante di C `e uguale a 0
(D) Il determinante di C `e uguale a -
- [2 punti] I tre vettori colonne della matrice A sono linearmente indipendenti
se e solo se il rango di A `e
(A) r = 2
(B) nessuna delle altre affermazioni `e corretta
(C) 0 < r < 3
(D) r = 3
SOLUZIONI - B
1. (A)
(e
− 2 x
(−2) e
− 2 x dx +
xdx = −
e
− 2 x
x
2
- (C) F 0 (x) =
∫ (^) x
0
3 t
t^2 + 1
dt
∫ (^) x
0
2 t
t^2 + 1
dt
[
ln(t
2
]x
0
ln(x
2
3. (D)
− 1
f (x)dt =
− 1
3 dx +
0
(x + 3)dx =
- (B) Il rango della matrice B =
1 k
2 − 1
(^) `e 2 se e solo se
1 k
2 − 1
cio`e se e solo se k 6 = −
1 2
I due vettori sono quindi linearmente dipendenti solo per k = −
1 2
- (C) Il determinante della matrice A risulta 2k.
- (B) Una matrice quadrata
e invertibile se e solo se il suo determinantee
diverso da zero.
Da 2k 6 = 0 si ottiene k 6 = 0.
- (B) Essendo A una matrice quadrata il rango di A `e minore di 3 se e solo
se il determinante della matrice A e uguale a 0. Per k = 0, il rangoe 2 in
quanto
- (D) Poich´e A
e una matrice quadrata, se det A 6 = 0 il sistemae di Cramer
e ammette quindi una e una sola soluzione. Quindi il sistema determinato
per k 6 = 0.
- (C) Per k = 1, il determinante di A 2. Risolvendo il sistema con la regola
di Cramer si ha:
