Scarica MATEMATICA GENERALE UNIMC FORMULE e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!
FUNZIONE LIMITATA → UNA F:A ⊂ R^2 → R SI DICE LIMITATA SE IL SUO INSIEME IMMAGINE E UN INSIEME
LIMITATO INFERIORMENTE E SUPERIORMENTE
UN INSIEME A ⊂ R^2 SI DICE LIMITATO SE ∃ UN INTORNO DELL’ORIGINE CHE LO CONTIENE
INTORNO DI UN PUNTO SE P 0 (X 0 ,Y 0 ) ∊ R^2 E r >0 ALLORA I(P 0 ,r)= { (X,Y) ∊ R^2 : − ^ + − (^) ^ < r} LIM F(P)=L → F:A ⊂ R^2 → R E P 0 PTO. DI ACCUMULAZIONE PER A SE ∀ ℰ >0 ∃ ᵹ>0 TALE CHE ∀ R ∊ I(P 0 ,ᵹ )∩ P → P 0 D-(P 0 ) SI HA │ F(X,Y)-L│< ℰ CURVE DI LIV. → SIGNIFICA CERCARE I PUNTI DEL PIANO DOVE LA FUNZIONE ASSUME GLI STESSI VALORI GRAFICO DI UNA FUNZIONE → SIA F:A ⊂ R^2 → R E’ L’INSIEME g={(X,Y,Z)∊ R^3 : (X,Y ∊ A)} Z=F(X,Y) E QUINDI UNA SUPERFICIE NELLO SPAZIO (X,Y,Z) TEOREMA DI SCHIWARZ → F:A ⊂ R^2 → R SE F AMMETTE DERIVATE PARZIALI SECONDE MISTE IN UN INTORNO DI P 0 =(X 0 ,Y 0 )∊ A ALLORA FXY(X,Y) e FYX(X,Y) SONO CONTINUE IN P 0 QUINDI FXY(X,Y) = FYX(X,Y) DIFFERENZIALE → F:A ⊂ R^2 → R SI DICE DIFFERENZIABILE IN P 0 (X 0 ,Y 0 ) ∊ A SE ∃ a 1 E a 2 ∊ R: LIM F(X,Y) – F(X 0 ,Y 0 )- {a 1 (X-X 0 )+a 2 (Y-Y 0 )} / − ^ + − (^) X → X Y → Y GEOMETRICAMENTE → SE F E DIFFERENZIABILE IN P 0 IL GRAFICO DELLA FUNZIONE E BEN APPROSSIMATO DA PIANO TANGENTE AL VALORE DELLA FUNZIONE IN UN INTORNO DI P 0 SE LA FUNZIONE E DIFFERENZIABILE → E ANCHE DERIVABILE PARZIALMENTE MA NON VICEVERSA PERCHE LA DIFFERENZIABILITA CONSIDERA IL COMPORTAMENTO DELLA FUNZIONE IN TUTTO L’INTORNO DEL PUNTO MENTRE LA DERIVABILITA CONSIDERA SULO ALCUNI PUNTI PRIVILEGIATI CHE SI TROVANO SULLE DUE RETTE PRIVILEGIATE CHE SONO PARALLELE ALL’ASSE X E ALL’ASSE Y. UNA FUNZIONE DIFFERENZIABILE E QUINDI ANCHE CONTINUA MA NON VICEVERSA DERIVATA PARZIALE → F:A ⊂ R^2 → R E P 0 (X 0 ,Y 0 ) ∊ A E PTO. DI ACCUMULAZIONE PER A, F SI DICE DERIVABILE PARZIALMENTE RISPETTO AD X IN P 0 (X 0 ,Y 0 ) SE ∃ ED E FINITO IL LIM f(X,Y 0 ) – f(X 0 ,Y 0 ) / X-X 0 → Fx(X 0 ,Y 0 ) X → X GEOMETRICAMENTE → SE IL LIMITE ∃ ED È FINITO RAPPRESENTA IL COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA RETTA TANGENTE ALLA CURVA NEL PUNTO P 0 (X 0 ,Y 0 ) SE F E DERIVABILE PARZIALMENTE → NON È PER FORZA CONTINUA PERCHÉ LA DERIVABILITA CONSIDERA SULO ALCUNI PUNTI PRIVILEGIATI CHE SI TROVANO SULLE DUE RETTE PRIVILEGIATE CHE SONO PARALLELE ALL’ASSE X E ALL’ASSE Y. FORMA QUADRATICA → SONO POLINOMI OMOGENI DI 2° GRADO NELLE VARIABILI X 1 ,X 2 ,Xa DEFINITA POSITIVA → ∀ X ≠ 0 q(X)> DEFINITA NEGATIVA → ∀ X ≠ 0 q(X) < 0 SEMIDEFINITA POSITIVA → q(X) ≥ 0 ∀ X ED ∃ X=0 : q(X)= SEMIDEFINITA NEGATIVA → q(X) ≤ 0 ∀ X ED ∃ X=0 : q(X)= INDEFINITA → ∃ X ∊ Rn^ ED ∃ Y ∊ Rn^ : q(X)>0 E q(Y)< ESEMPIO DI FORMA QUADRATICA INDEFINITA → q(X)= 3X 12 +2X 22 -X 1 X 2 ESEMPIO FORMA QUADRATICA SEMIDEFINITA POSITIVA → q(X)= X 12 +X 22 -2X 1 X 2 MATRICI → SONO UNA TABELLA DI MN NUMERI (M,N>1) DEL TIPO A= a1,1 a1,2 DETTA MATRICE CON M RIGHE E N COLONNE E SI INDICA CON Aj,i a2,1 a2, UNA MATRICE SI DICE QUADRATICA → SE COMPOSTA DA NN UNA MATRICE SI DICE SIMMETRICA → SE ai;j = aj;i AD OGNI MATRICE SI PUO ASSOCIARE UN DETERMINANTE MINORE DI ORDINE “P” → UN MINORE DEL 1°ORDINE SI OTTIENE PRENDENDO GLI ELEMENTI COMUNI ALLA 1°RIGA E 1°COLONNA → UN MINORE DEL 2°ORDINE SI OTTIENE PRENDENDO GLI ELEMENTI COMUNI ALLA 1°E 2°COLONNA E 1°E 2°RIGA MINORE PRINCI. DI GUIDA → E UN MINORE PRINCIPALE COSTITUITO DALLE PRIME K RIGHE E K COLONNE
MINORE PRINC. DI ORDINE K → COSTITUITO DAGLI ELEMENTI COMUNI A K RIGHE E K COLONNE CON GLI
STESSI INDICI
IL MASSIMO ORDINE DEI MINORI CHE SI POSSONO ESTRARRE DA UNA MATRICE È IL PIÙ PICCOLO DEI
NUMERI (M,N) COLONNE E RIGHE
MINORE PRINCIPALE DI ORDINE “P” DI UNA MATRICE → DATA UNA MATRICE A (M*N) SE P È UN NUMERO
NATURALE ≠ 0 NON SUPERIORE AL PIÙ PICCOLO DEI NUMERI “M” E “N” SI DICE MINORE PRINCIPALE DI
ORDINE P DELLA MATRICE “A” UN QUALUNQUE DETERMINANTE DI ORDINE P OTTENUTO CON GLI
ELEMENTI COMUNI A “P” RIGHE E “P” COLONNE DI A
DATA LA MATRICE ASSOCIATA ALLA FORMA QUADRATICA
q(X) DEFINITA POSITIVA → SE TUTTI I MINORI PRINCIPALI DI GUIDA SONO> q(X) DEFINITA NEGATIVA → SE TUTTI I MINORI PRINCIPALI DI GUIDA PARI SONO >0 MENTRE QUELLI DISPARI SONO< q(X) SEMIDEFINITA POSITIVA → TUTTI I MINORI PRINCIPALI DI “A”≥ 0 q(X) SEMIDEFINITA NEGATIVA → SE TUTTI I MINORI PRINCIPALI DI ORDINE PARI SONO ≥ 0 MENTRE QUELLI DISPARI SONO ≤ 0 q(X) INDEFINITA →RESTANTI CASI MASSIMO ASSOLUTO → F:A ⊂ R^2 → R E P 0 (X 0 ,Y 0 ) ∊ A , P 0 PTO. DI MAX ASSOLUTO SE F(P) ≤ F(P 0 ) ∀ P ∊ A MINIMO ASSOLUTO → F:A ⊂ R^2 → R E P 0 (X 0 ,Y 0 ) ∊ A , P 0 PTO. DI MIN ASSOLUTO SE F(P) ≥ F(P 0 ) ∀ P ∊ A MASSIMO RELATIVO → F:A ⊂ R^2 → R E P 0 (X 0 ,Y 0 ) ∊ A , P 0 PTO. DI MAX RELATIVO SE ∃ I(P 0 ;r) : F(P) ≤ F(P 0 ) ∀ P ∊ I(P 0 ;r) ∩ A MINIMO RELATIVO → F:A ⊂ R^2 → R E P 0 (X 0 ,Y 0 ) ∊ A , P 0 PTO. DI MIN RELATIVO SE ∃ I(P 0 ;r) : F(P) ≥ F(P 0 ) ∀ P ∊ I(P 0 ;r) ∩ A
MASSIMO ASSOLUTO VINCOLATO → F:A ⊂ R^2 → R E g(x;y)=0 E SIA H={(X,Y) ∊ A : g(X,Y)=0} IL PTO P 0 (X 0 ,Y 0 ) ∊ H SI DICE MAX ASSOLUTO VINCOLATO PER f SE F(X,Y) ≤ F(X 0 ,Y 0 ) ∀ (X,Y) ∊ H MINIMO ASSOLUTO VINCOLATO → F:A ⊂ R^2 → R E g(x;y)=0 E SIA H={(X,Y) ∊ A : g(X,Y)=0} IL PTO P 0 (X 0 ,Y 0 ) ∊ H SI DICE MIN ASSOLUTO VINCOLATO PER f SE F(X,Y) ≥ F(X 0 ,Y 0 ) ∀ (X,Y) ∊ H
MASSIMO RELATIVO VINCOLATO → F:A ⊂ R^2 → R E g(x;y)=0 E SIA H={(X,Y) ∊ A : g(X,Y)=0} IL PTO P 0 (X 0 ,Y 0 ) ∊ H SI DICE MAX RELATIVO VINCOLATO PER f SE ∃ I(P 0 ;r) : F(X,Y) ≤ F(X 0 ,Y 0 ) ∀ (X,Y) ∊ I(P 0 ;r) ∩ H
MINIMO RELATIVO VINCOLATO → F:A ⊂ R^2 → R E g(x;y)=0 E SIA H={(X,Y) ∊ A : g(X,Y)=0} IL PTO P 0 (X 0 ,Y 0 ) ∊ H SI DICE MIN RELATIVO VINCOLATO PER f SE ∃ I(P 0 ;r) : F(X,Y) ≥ F(X 0 ,Y 0 ) ∀ (X,Y) ∊ I(P 0 ;r) ∩ H PUNTO DI SELLA → F:A ⊂ R^2 → R E P 0 (X 0 ,Y 0 ) ∊ A, P 0 E PTO. DI SELLA SE ∀ I(P 0 ;r) IN ESSO CADONO: PUNTI “P” IN CUI F(P)>F(P 0 ) PUNTI “P” IN CUI F(P)<F(P 0 ) I MASSIMI E MINIMI RELATIVI NON COINCIDONO CON I MASSIMI I MINIMI LIBERI A MENO CHE P0 NON SODDISFI L’EQUAZIONE DEL VINCOLO ALLORA SE P0 E PTO. DI MAX O MIN LIBERO È ANCHE PUNTO DI MAX O MIN VINCOLATO, NELLA STESSA SITUAZIONE NON VALE IL VICEVERSA
MATRICE IDENTITA → E’UNA MATRICE QUADRATA TALE CHE ai;j=0 PER i ≠ j E ai;j=1 PER i=j
LA MATRICE IDENTITA HA DETERMINANTE =
MATRICE INVERSA → AB=BA=I → AB INVERSA DESTRA E BA INVERSA SINISTRA SE ∃ L’UNA ∃ ANCHE
L’ALTRA E SONO UGUALI TRA LORO
MATRICE INVERTIBILE → UNA MATRICE A(nxn) E INVERTIBILE SE ∃ A-1^ : AA-1= A-1A = In , SE A
E’INVERTIBILE SI INDICA CON A-
In E’L’ELEMENTO NEUTRO DELLA MOLTIPLICAZIONE NELLO SPAZIO MATRICIALE (nxn)
NON OGNI MATRICE QUADRATA E INVERTIBILE → CONTROESEMPIO A=^23 00 ∃ B= (^) ϒ ϐᵹ DOVE A*B=I 2 MA
B*A ≠ I 2 ∀ ᵹ, ϐ, ϒ, ∊ R DET. MATRICE TRIANGOLARE → IN ENTRAMBI I CASI IL DET = PRODOTTO DELLA DIAGONALE PRINCIPALE APPLICAZIONE LINEARE → UN APPLICAZIONE F:Rn^ → Rm^ SI DICE LINEARE SE ∀ ά, β ∊ R E ∀ X; Y ∊ Rn^ SI HA f(άx + βy) = ά f(X) + β f(y) TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE → ∀ f:Rn^ → Rm^ LINEARE ∃ A(mxn) : f(x)= Ax ∀ X ∊ Rn A={F(e 1 ); F(e 2 ); F(en)} SISTEMA LINEARE (nxn)→ E’UN SISTEMA DI “n” EQUAZIONI IN “n” INCOGNITE DEFINITO IN AX=b DOVE A=MATRICE DEI VALORI DELLE INCOGNITE, X= VETTORE INCOGNITO, b=VETTORE TERMINI NOTI TEOREMA DI CRAMER (1°CONDIZIONE) → SIA AX=b UN SISTEMA DI “n” EQUAZIONI IN “n” INCOGNITE LINEARI, SE DET(A) ≠ 0 IL SISTEMA AMMETTE UNA ED UNA SOLUZIONE ∀ SCELTA DEL VETTORE b DEI TERMINI NOTI, VALE ANCHE IL VICEVERSA. SE DET A =0 NON SI PUO’CONCLUDERE NIENTE
QUINDI X= ; ; D1=DETERMINANTE DELLA MATRICE SOSTITUENDO LA 1°COLONNA CON
LA COLONNA DEI TERMINI NOTI, D2=….SOSTITUENDO LA SECONDA COLONNA 2°CONDIZIONE → LA MATRICE A E’INVERTIBILE SE IL SISTEMA LINEARE (nxn) E’ AX=b E’UNICAMENTE RISOLVIBILE ∀ b SE IL DET A ≠ 0 SECONDO CRAMER IL SISTEMA E’UNICAMENTE RISOLVIBILE QUINDI SE IL DET A ≠ 0 A E’INVERTIBILE, VALE ANCHE IL VICEVERSA CIOE SE A E’INVERTIBILE IL DET A ≠ 0 SISTEMA LINEARE (mxn) → SISTEMA AX=b IN CUI LE EQUAZIONI(m) ≠ INCOGNITE(n) RANGO DI A → SI PARLA DI RANGO DI A QUANDO ALMENO UN ELEMENTO DELLA MATRICE A ≠ 0, IL RANGO DI A E’L’ORDINE MASSIMO DEI MINORI NON TUTTI NULLI CHE SI POSSONO ESTRARRE DA A, SE TUTTI GLI ELEMENTI DI A SONO NULLI IL RANGO E’ TEOREMA DI KRONEKER → UNA MATRICE HA RANGO K SE E SOLO E E’POSSIBILE ESTRARRE UN MINORE DI ORDINE K ≠ 0 E SIANO NULLI TUTTI I MINORI DI ORDINE K+1 (SE VE NE SONO) CHE LO CONTENGONO. SE PER ESEMPIO TUTTI I MINORI DEL 4°ORDINE =0 ALLORA r(a)=3 SE IL NUMERO DEI MINORI CHE SI POTEVANO ESTRARRE FOSSE STATO 4 r(a)=3 ANCHE NEL CASO IN CUI CI FOSSE STATO UN MINORE DEL4°ORDINE ≠ DA 0 IL MSSIMO ORDINE DEI MINORI CHE SI POSSONO ESTRARRE DA UNA MATRICE E IL PIU PICCOLO TRA I NUMERI m E n MATRICE INCOMPLETA → E’LA MATRICE “A” ASSOCIATA AL SISTEMA mxn MATRICE COMLETA → E’LA MATRICE A’=A(mxn+1) CIOE’AGGIUNGENDO LA COLONNA DEI TERMINI NOTI AD “A” LA MATRICE INCOMPLETA HA UN RANGO≥ ALLA MATRICE COMPLETA TEOREMA DI CAPELLI → UN SISTEMA LINEARE DI m EQUAZIONI IN n INCOGNITE (AX=b) AMMETTE SOLUZIONI SE E SOLO SE r(a)=r(a’) SISTEMA OMOGENEO → E’UN SISTEMA CON IL TERMINE NOTO b=0, UN SISTEMA OMOGENEO E SEMPRE COMPATIBILE PERCHE AMMETTE SEMPRE LA SOLUZIONE NULLA X=
