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Asintoti
Se ciò che ci proponiamo è di tracciare il grafico di una funzione allora diventa importante
cercare di capire come questa funzione si comporta quando i suoi valori per la x e/o per la
y crescono oltre ogni limite. A ciò risponde lo studio degli asintoti di una funzione
Il concetto di asintoto
Asintoto verticale
Asintoto orizzontale
Asintoto obliquo
Nota per la ricerca dell' asintoto orizzontale od obliquo
Concetto di asintoto
Asintoto è una parola che deriva dal greco: a privativo che significa no e sympìptein che
significa congiungere cioè significa che non tocca, in pratica si tratta di una retta che si
avvicina alla funzione senza mai toccarla, per questo si dice anche che l'asintoto è la
tangente all'infinito della funzione.
Quindi se non sappiamo come si comporta una funzione all'infinito sappiamo però come
all'infinito si comporta una retta e se troviamo l'equazione della retta che accompagna la
funzione all'infinito (asintoto) potremo tracciare il grafico della funzione che tende
all'infinito con buona approssimazione.
Una funzione può tendere all'infinito avvicinandosi ad una retta in tre modi diversi come
puoi vedere dalle tre figure qui sotto
Asintoto verticale Asintoto orizzontale Asintoto obliquo
Asintoto verticale: quando la x si avvicina ad un valore finito la funzione tende
all'infinito avvicinandosi ad una retta verticale
Asintoto orizzontale: quando la x tende all'infinito la funzione si avvicina ad una
retta orizzontale
Asintoto obliquo:quando la x tende all'infinito la funzione tende all'infinito
avvicinandosi ad una retta obliqua
Da notare che l'asintoto orizzontale esclude l'asintoto obliquo e viceversa perchè al
crescere della x la funzione può andare all'infinito in un solo modo
Asintoto verticale
Si ha un asintoto vericale quando, all'avvicinarsi della x ad un
valore finito, il valore della y cresce all'infinito
Poichè il valore infinito è solo una convenzione ne deriva che
la funzione avrà valore infinito dove la x non è definita, cioè
per valori non appartenenti al campo di esistenza
Quindi per trovare gli asintoti verticali dovremo trovare quei
valori della x per cui la funzione vale infinito, cioè
supponendo che nel punto x = c la funzione non sia definita
dovremo calcolare:
lim f ( x ) x c
se il risultato vale ∞ allora la retta x = c sarà l'asintoto verticale
È bene al fine di calcolare esattamente come la funzione sparisce all'infinito calcolare sia il
limite destro che il limite sinistro per trovare il segno dell'infinito a destra e a sinistra
dell'asintoto
ricordati del teorema della permanenza del segno che ti permette di assegnare all'infinito
(anche se non esiste) un segno positivo o negativo
I quattro casi possibili sono rappresentati qui sotto:
lim f ( x ) x c
lim f ( x ) x c
lim f ( x ) x c
lim f ( x ) x c
lim f ( x ) x c
lim f ( x ) x c
lim f ( x ) x c
lim f ( x ) x c
Facciamo un esercizio semplicissimo: vediamo se la funzione
x
x y
ha asintoti verticali
il campo di esistenza è tutti i valori eccetto x = 1 per cui si annulla il denominatore
calcolo:
lim (^1) x
x
x
quindi la retta
x = 1
è un asintoto verticale.
Per tracciarlo al meglio calcoliamo i limiti destro e sinistro della funzione nel punto 1
uno studio completo di funzione si hanno parecchi altri dati da cui ricavare se la funzione
si avvicina all'asintoto da sopra o da sotto
Facciamo anche qui un esercizio molto semplice: calcoliamo, se esiste, l'asintoto
orizzontale per la funzione:
x
x y
in pratica devo calcolarne il limite per x tendente ad infinito
lim
(^) x
x
x
Infatti numeratore e denominatore hanno lo stesso grado ed il rapporto fra le x di grado
maggiore è 3 .(cfr. forme indeterminate)
quindi la retta y = 3 sarà l'asintoto orizzontale.
La funzione è la stessa che abbiamo usato per l'asintoto
verticale e con i dati che ho posso cominciare ad abbozzarne
un eventuale grafico (per tracciarlo effettivamente mancano
ancora parecchi dati):
Asintoto obliquo
Si ha un asintoto obliquo quando la funzione, andando verso
infinito si avvicina ad una retta obliqua
C'è da dire subito che l'asintoto obliquo non esiste sempre
perchè una funzione andando all'infinito potrebbe avvicinarsi
all'orizzontale oppure crescere avvicinandosi ad una parabola
o ad una cubica..... Questo però esula da questo corso
Vediamo quali sono le condizioni perchè una funzione ammetta asintoto obliquo della
forma
y = mx + q
Prima di tutto bisogna dire che la funzione deve tendere all'infinito:
lim f ( x ) x
poi devono esistere m e q, cioè devono esistere finiti i due limiti
m x
f x
x
lim
f x mx q x
lim( ( ) )
facciamo anche qui un semplice esercizio:
trovare l'asintoto obliquo per la funzione
x
x y
2
si ha subito
(^) x
x
x
lim
2
Infatti il numeratore ha grado superiore al denominatore.
se non hai capito bene come ho fatto ridai un'occhiata alle forme indeterminate
ora vado a calcolare (se esistono) m e q
Dividere una funzione per x vuol dire moltiplicarne il denominatore per x quindi:
m = 3
lim 2
2
(^) x
x
x
quindi m = 3
calcolo q
q =
lim(
2
x x
x
x
(^) x
x x
x
2 2 3 1 3 lim 0
1 lim
x (^) x
quindi q = 0
l'asintoto è la retta
y = 3x
Nota sulla determinazione degli asintoti orizzontali od obliqui
È possibile, semplicemente osservando la forma di una funzione, capire se la funzione ha
un asintoto orizzontale, un asintoto obliquo oppure non ha asintoti di quel genere:
Basta ricordare che per i limiti nelle forme indeterminate :
Se il numeratore ha lo stesso ordine di infinito del denominatore allora il limite è
uguale al rapporto fra i due termini di grado più alto.
se il numeratore ha ordine di infinito inferiore al denominatore allora il limite vale 0
allora possiamo dire che
a. se nella funzione l'ordine del numeratore è uguale a quello del denominatore
avremo un asintoto orizzontale del tipo
y = k
b. se nella funzione l'ordine del numeratore è inferiore a quello del denominatore
avremo un asintoto orizzontale del tipo
y = 0
c. se nella funzione l'ordine del numeratore è superiore di uno a quello del
denominatore avremo un asintoto obliquo del tipo
y = mx + q
