Scarica Matematica matematica e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica solo su Docsity!
Politecnico di Torino
Corso di
accompagnamento
Scheda 5
Trigonometria
1 Le funzioni trigonometriche
1.1 La funzione seno
La funzione y = sin x ha dominio R e immagine [− 1 , 1]. La funzione `e pe- riodica di periodo 2π. Relativamente all’intervallo [0, 2 π] si ha che sin(0) = sin(π) = 0; sin
( (^) π 2
= 1; sin
( (^3) π 2
La funzione sin x e positiva in (0, π) e negativa in (π, 2 π);e crescente in
[
0 , π 2
]
e in
[ 3
2 π,^2 π
]
[ , mentre `e decrescente in π 2 ,^
3 2 π
]
. E una funzione dispari, cio`` e si ha sin(−x) = − sin(x).
1.2 La funzione coseno
La funzione y = cos x ha dominio R e immagine [− 1 , 1]. La funzione `e peri- odica di periodo 2π. Relativamente al- l”intervallo [0, 2 π] si ha che cos(0) = 1 , cos
( (^) π 2
= cos
2 π
= 0, cos(π) = −(1. La funzione coseno `e positiva in 0 , π 2
2 π,^2 π
e negativa in
( (^) π 2 ,^
3 2 π
e crescente in [π, 2 π] e decrescente in [0, π].e una funzione pari, cio`e si ha cos(−x) = cos(x).
x
π 2 π
−π^ −^ π 2
sin x
x
π 2
π − π 2
−π
cos x
1.3 La funzione tangente
La funzione tangente e definita dalla re- lazione y = tan x = sin cos^ xx. E indi- cata anche dal simboli y = tg x op- pure y = tang x. Il suo dominio `e R\
x : x = π 2 + kπ, k ∈ Z
, mentre la sua immagine e l’intero asse reale R. La funzione tangentee periodica di periodo π. Relativamente all’intervallo
− π 2 , π 2
si ha che la funzione `e positiva in
0 , π 2
negativa in
− π 2 , 0
, si annulla in x = 0 ed e crescente. E una funzione dispari, cio`e si ha tan(−x) = − tan(x).
π 2 x
− π 2 π −π
tan x
1.4 Altre funzioni trigonometriche
I reciproci delle funzioni seno, coseno e tangente sono chiamati, rispettivamente, cosecante, secante e cotangente:
- Cosecante: cosec x = (^) sin^1 x per x 6 = kπ, k ∈ Z;
- Secante: sec x = (^) cos^1 x per x 6 = π 2 + kπ, k ∈ Z;
- Cotangente: cot x = (^) tan^1 x per x 6 = kπ, k ∈ Z (un altra notazione per questa funzione `e cotg x).
2 Alcune formule trigonometriche
In questo paragrafo elenchiamo alcune formule trigonometriche di uso pi`u co- mune.
- Relazione fondamentale
sin^2 x + cos^2 x = 1, ∀x ∈ R
- Angoli notevoli
sin
π 6
=^12 sin
π 3
2 sin
π 4
cos
π 6
2 cos
π 3
=^12 cos
π 4
tan
π 6
3 tan
π 3
3 tan
π 4
- Angoli associati e simmetrie
- cos 6x
cos 6x = 2 cos^2 3 x − 1 = 2(cos(2x + x))^2 − 1 = 2(cos 2x cos x − sin 2x sin x)^2 − 1 = 2((2 cos^2 x − 1) cos x − (2 sin x cos x) sin x)^2 − 1 = 2(2 cos^3 x − cos x − 2(1 − cos^2 x) cos x)^2 − 1 = 2(2 cos^3 x − cos x − 2 cos x + 2 cos^3 x)^2 − 1 = 2(4 cos^3 x − 3 cos x)^2 − 1 = 32 cos^6 x − 48 cos^4 x − 18 cos^2 x − 1.
- sin
2 x + π 6
sin
2 x +
π 6
= sin 2x cos
π 6
π 6
=
sin 2x +
cos 2x
=
3 sin x cos x +
(cos^2 x − sin^2 x)
- tan 5x
tan 5x = tan(x + 4x) =
tan 4x + tan x 1 − tan x tan 4x
tan 4x = 2 tan 2x 1 − tan^2 2 x
=
(^2 1) −2 tantan^2 x (^) x 1 − 4 tan x (1−tan^2 x)^2
=
4 tan x(1 − tan^2 x) tan^4 x − 6 tan^2 x + 1
tan 4x + tan x 1 − tan x tan 4x
4 tan x(1−tan^2 x) tan^4 x−6 tan^2 x+1 + tan^ x 1 − 4 tan^ x
(^2) (1−tan (^2) x) tan^4 x−6 tan^2 x+
= tan^5 x − 10 tan^3 x + 5 tan x 5 tan^4 x − 10 tan^2 x + 1
3 Equazioni trigonometriche
3.1 Equazioni fondamentali
sin x = c cos x = c |c| > 1 Nessuna soluzione Nessuna soluzione |c| ≤ 1 Infinite[ soluzioni, tra cui x 1 ∈ − π 2 , π 2
]
e x 2 = π − x 1. Altre soluzioni si ottengono per periodicit`a: x 1 + 2kπ, x 2 + 2kπ.
Infinite soluzioni, tra cui x 1 ∈ [0, π] e x 2 = −x 1. Altre soluzioni si ottengono per periodicit`a: x 1 + 2kπ, x 2 + 2kπ.
x
c
π (^2) π 3 π
sin x = c, |c| > 1
x
c π (^2) π 3 π
sin x = c, |c| ≤ 1
x 1 π − x 1
x
c
π (^2) π 3 π
cos x = c, |c| > 1
x
c −x 1 x (^1) π (^2) π 3 π
cos x = c, |c| ≤ 1
L’equazione tan x = c ha una e una sola soluzione x 1 nell’intervallo
− π 2 , π 2
tutte le altre soluzioni hanno la forma x 1 + kπ, k ∈ Z.
3.2 Equazioni lineari in seno e coseno
Le equazioni della forma a sin x + b cos x = c hanno diversi metodi di soluzione. In generale, possiamo scrivere il sistema { a sin x + b cos x = c sin^2 x + cos^2 x = 1
Ponendo sin x = z e cos x = t, otteniamo il sistema risolvente { az + bt = c z^2 + t^2 = 1
3.3 Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno
Le equazioni della forma
a sin^2 x + b cos^2 x + c sin x cos x = d
sin α = −
√ 3 2 con^ π < α <^
3 π 2
−√ 3 / 2
- Verificare graficamente quanti angoli soddisfano le condizioni
sin x = − 12 con 0 ≤ x ≤ π
− 1 / 2 R: 0
cos x = − 12 con 0 ≤ x ≤ π
− 1 / 2
R: 1
tan x = 1 con 0 ≤ x ≤ π R: 1
- Risolvere le seguenti equazioni in [0, 2 π]
- sin
x + π 4
= sin
2 x + π 3
sin
x +
π 4
− sin
2 x +
π 3
2 cos
x + 2x + π 4 + π 3 2
sin
x − 2 x + π 4 − π 3 2
2 cos
x +
7 π 24
sin
x −
π 24
3 2 x^ +^
7 π 24 =^
π 2 +^ kπ − 12 x − 24 π = kπ
R:x = 365 π + 23 kπ ∪ x = − 12 π π + 2kπ
- cos^2 x + 2 cos x − 3 = 0 t = cos x t^2 + 2t − 3 = 0 t = 1 → cos x = 1 → x = 0 t = − 3 → cos x = − 3 →6 ∃x R:x = 0
sin^2 x + cos^2 x + tan^2 x = √^23
√ 1 + tan^2 x =
sin^2 x cos^2 x
cos^2 x
| cos x| =
cos x = ±
R:x = π 6 , 56 π , 76 π , 116 π
4 Disequazioni trigonometriche
Nella soluzione delle disequazioni trigonometriche `e importante riferirsi sempre all’interpretazione geometrica, tracciando i grafici delle funzioni che compaiono nella disequazione, oppure ricorrendo all’esame della circonferenza trigonomet- rica. Nel caso di disequazioni fondamentali sin x < c, cos x < c, tan x < c, si risolvono le corrispondenti equazioni fondamentali, si traccia il grafico della funzione e dal suo esame si determina l’intervallo delle soluzioni.
sin^2 x − sin x cos x ≥ 0
sin x(sin x − cos x) ≥ 0 { sin x ≥ 0 sin x ≥ cos x { sin x ≤ 0 sin x ≤ cos x
R:x ∈ [ π 4 , π] ∪ [ 54 π , 2 π]
5 Propriet`a dei triangoli
Siano A, B, C i vertici di un triangolo, α, β, γ gli angoli con vertice A, B, C; siano a, b, c le misure dei lati opposti ad A, B, C, rispettivamente. Allora valgono le relazioni:
b sin β
c sin γ
a^2 = b^2 + c^2 − 2 bc cos α b^2 = a^2 + c^2 − 2 ac cos β c^2 = a^2 + b^2 − 2 ab cos γ
- Se, in particolare, il triangolo `e rettangolo in A, si hanno le seguenti relazioni:
b = a sin β = a cos γ, c = a sin γ = a cos β, b = c tan β, c = b tan γ
A
B
C
a
b
c
α
β
γ
6 ESERCIZI – TRIGONOMETRIA
Esercizio 1
Utilizzando le formule di addizione e la relazione fondamentale:
- esprimere le funzioni sin 3x e sin 5x in funzione di sin x;
- esprimere le funzioni cos 3x e cos 4x in funzione di cos x;
- esprimere le funzioni tan 3x e tan 4x in funzione di tan x;
- esprimere (1 + sin x)^2 − 2 sin x(1 + cos x) + sin 2x in funzione di cos x
Esercizio 2
Determinare graficamente l’arco α tale che:
- sin α = 13 con 0 < α < π 2
- sin α = −
√ 2 2 con^ −^
π 2 < α <^0
- sin α = − 35 con − π < α < − π 2
- cos α = − 12 con π 2 < α < π
- cos α = − 16 con π < α < 2 π
- cos α = −
√ 3 2 con^ π < α <^
3 π 2
Esercizio 3
Risolvere graficamente (indicando la soluzione sulla circonferenza goniometrica):
- |tan x| > 1 2. |sin x| ≤
√ 3 2
Esercizio 4
Verificare graficamente quanti angoli soddisfano alle seguenti condizioni
- sin x = 12 con 0 ≤ x ≤ 2 π
- tan x = 13 con 0 ≤ x ≤ π 2
- cos x = − 15 con 0 ≤ x ≤ π 2
- cos x = 76 con 0 ≤ x ≤ 2 π
- sin x = − 18 con 0 ≤ x ≤ π
- sin x = − 18 con 0 ≤ x ≤ 32 π
- tan x = 5 con 0 ≤ x ≤ 2 π
Esercizio 5
tan(x − π 4 ) < 1
- 2 cos^2 x + cos x > 0
- 2 cos^2 x + cos x − 1 > 0
- 2 cos^2 x − 5 cos x − 3 > 0
- 2sin^ x−cos^ x^ > 1
Esercizio 8
Dati due elementi di un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB, calcolare i rimanenti angoli e lati:
- AB = 4 e β = 30◦
- AB = 6 e α = 45◦
3. BC =
3 e α = 60◦
- AC = 7 e β = 75◦
Esercizio 9
Dati tre elementi di un triangolo qualsiasi calcolare gli altri:
- AB = AC = 5 e α = 30◦
- AB =
3; BC = 2 e β = 60◦
- BC = 7, AC = 3 e α = 45◦
- AC = 2, α = 30◦, β = 75◦
7 SOLUZIONI
Esercizio 1
- sin 3x = −4 sin^3 x + 3 sin x, sin 5x = 15 sin^5 x − 20 sin^3 x + 5 sin x;
- sin 3x = 4 cos^3 x − 3 cos x, cos 4x = 8 cos^4 x − 8 cos^2 x + 1;
- tan 3x = 3 tan^ x^ −^ tan
(^3) x 1 − 3 tan^2 x
tan 4x = 7 tan x(1 − tanx) 1 + tan^4 x − 6 tan^2 x
- (1 + sin x)^2 − 2 sin x(1 + cos x) + sin 2x = 2 − cos^2 x.
Esercizio 4
- 2
- 1
- nessuno
- nessuno
- nessuno
- 1
- 2
Esercizio 5
Soluzioni: b, c.
Esercizio 6
- 54 π , 74 π
- 23 π , 43 π
- π 4 , 54 π
- π 3 , 23 π
- π 4 , 74 π
- π 4 , 34 π , 54 π , 74 π
- π 6 , 56 π , 76 π , 116 π
- π 2 , 32 π
- 12 π , 512 π , 1312 π , 1712 π
- 29 π , 49 π , 109 π , 149 π , 169 π , 89 π
- 0, 34 π , π, 74 π
- π 3 , 29 π , 149 π , 89 π
- 36 π , 1712 π , 2536 π , 4936 π
- 10 π + k π 5
- π 3 , 23 π , 43 π , 53 π
- π 4 , 54 π
- π 2 , 32 π
- 0, π, π 3 , 53 π
- 0, 23 π , 43 π
- π 6 , 56 π
Esercizio 7
[
0 , π 6
]
[ (^5) π 6 ,^2 π
]
( (^2) π 3 ,^
4 π 3
0 , π 6
( (^) π 2 ,^
7 π 6
( (^3) π 2 ,^2 π
( (^2) π 3 ,^2 π
[
0 , π 6
( (^5) π 6 ,^2 π
]
\
2 π
[
0 , 34 π
]
[ (^7) π 4 ,^2 π
( (^) π 4 ,^
5 π 4
[
0 , π 6
( (^5) π 6 , π
]
- Controllare soluzione:
( (^) π 4 ,^
π 2
5 π 4 ,^
3 π 2
( (^2) π 3 ,^
4 π 3
[
0 , π 2
( (^3) π 2 ,^2 π
]
- Controllare soluzione:
( (^) π 3 ,^
5 π 3
- Controllare soluzione:
( (^) π 4 ,^
5 π 4
