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Politecnico di Torino: Facolt`a di Architettura.
Corso di Istituzioni di Matematiche.
prof: Maria Luisa Spreafico
Contents
1 Esercizi sui vettori.
1.1 Esercizio 1
Siano
u = (1, 0 , 2),
v = (0, 3 , −1) e
w = (2, 2 , 1), calcolare:
−→ u ∧
v ,
v ∧
w ,
u ∧ (
v +
w ) , (
u +
v ) ∧ (
u −
v ).
1.2 Esercizio 2
Trovare il coseno dell’angolo che il vettore
v = (
1
4
1
2
, 1) forma con ciascuno
degli assi x, y, z.
1.3 Esercizio 3
Calcolare l’area del triangolo di vertici O = (0, 0 , 0) A = (2, 1 , 3) e B =
1.4 Esercizio 4
Calcolare il volume del parallelepipedo individuato dai vettori
i +
j ,
j +
k
e
k +
i.
1.5 Esercizio 5
Dati
u = (1, 0 , 1),
v = (2, 1 , −1) e
w = (− 1 , 2 , h), con h ∈ R,
a) determinare h in modo che
u ,
v ,
w siano complanari;
b) determinare h in modo che |(
u +
v ) ∧
w | =
1.6 Esercizio 6
Dati
v = (1, 0 , 1) e
w = (0, 1 , 1), trovare i vettori
−→ x e
y ortogonali sia a
v che a
w ed aventi modulo
1.7 Esercizio 7
Dati
u =
i +
j −
k e
v = 2
i +
k , determinare
y in modo che sia parallelo al vettore (
u +
−→ v ) ∧ (
u −
v ) e che
u ∧
v ·
y = 14.
2 Svolgimento (a cura di Lohic Fotio)
2.1 Soluzione esercizio 1
1 · a)
u ∧
v =
i
j
k
i +
j + 3
k = (− 6 , 1 , 3).
1 · b)
v ∧
w =
i
j
k
i − 2
j − 6
k = (5, − 2 , −6).
1 · c)
−→ u ∧ (
v +
w ) =
u ∧
v +
u ∧
w.
u ∧
v `e noto dal punto precedente e quindi si calcola solamente
u ∧
w.
u ∧
w =
i
j
k
i + 3
j + 2
k = (− 4 , 3 , 2).
Da cui
u ∧(
v +
w ) =
u ∧
v +
u ∧
w = (− 6 , 1 , 3)+(− 4 , 3 , 2) = (− 10 , 4 , 5).
1 · d)
u +
v )∧(
u −v) =
u ∧
u −
u ∧
v +
v ∧
u −
v ∧
v = 0−
u ∧
v +
v ∧
u +0 = −
u ∧
v −
u ∧
v =
u ∧
v = (12, − 2 , −6).
2.2 Soluzione esercizio 2
Siano rispettivamente αx, αy e αz gli angoli tra il vettore
v = (
1
4
1
2
, 1) e gli
assi x, y, z. Per definizione,
del prodotto misto dei tre vettori.
V = |(
i +
j ) · ((
j +
k ) ∧ (
k +
i ))|
i +
j ) · (
j ∧
k +
j ∧
i +
k ∧
k +
k ∧
i )|
i +
j ) · (
i −
k + 0 +
j )|
i +
j ) · (
i −
k +
j )|
2.5 Soluzione esercizio 5
5 · a) Tre vettori sono complanari se e solo se il loro prodotto misto vale 0.
u · (
v ∧
w ) =
− 1 2 h
= h + 7 = 0 ⇐⇒ h = − 7.
In conclusione i tre
u ,
v e
w sono complanari se e solo se h = −7.
5 · b)
u +
v ) ∧
w | =
u +
v ) ∧
w |
2 = 89.
u +
v ) = (3, 1 , 0)
u +
v ) ∧
w =
− 1 2 h
= h
i − 3 h
j + 7
k = (h, − 3 h, 7).
u +
v ) ∧
w |
2 = h
2
2
2 = 10h
2
Pertanto si ottiene l’equazione
10 h
2
2 = 40 ⇐⇒ h
2 = 4.
Si ottiene quindi: h = 2 oppure h = − 2
2.6 Soluzione esercizio 6
Un vettore `e perpendicolare contemporaneamente a due vettori
v e
−→ w (non paralleli) se e solo se quest’ultimo `e proporzionale al prodotto vet-
toriale di
v e
w.
Cominciamo allora a calcolare
u =
v ∧
w
u =
v ∧
w =
i
j
k
i −
j +
k = (− 1 , − 1 , 1).
Per quanto detto prima, i vettori ortogonali a
v e
w , sono tutti e soli quelli
del tipo: α
u = (−α, −α, α).
Ora imponendo che il modulo di α
u sia uguale a
2 si ottiene:
|α
u | = |α
u | = |α||
u | = |α|
E quindi: α = ±
√ 2 √ 3
Sostituendo i due possibili valori di α otteniamo
−→
t 1
√ 2 √ 3
(− 1 , − 1 , 1) e
t 2
√ 2 √ 3
2.7 Soluzione esercizio 7
Sappiamo dall’ultimo punto dell’esercizio 1 che vale:
u +
v ) ∧ (
u −
v ) = − 2
u ∧
v.
Il vettore
y risulta quindi parallelo al vettore
u +
v ) ∧ (
u −
v ) se e solo se esiste α ∈ R tale che:
y = − 2 α(
u ∧
v ).
u ∧
v =
i
j
k
i − 3
j − 2
k = (1, − 3 , −2).
Da cui
y = − 2 α(1, − 3 , 2) = (− 2 α, 6 α, 4 α).
Imponendo
y · (
u ∧
v ) = 14 si ottiene:
1(− 2 α) + (−3)(6α) + (−2)(4α) = 14 ⇐⇒ α = −
Sostituendo si trova
y = (1, − 3 , −2)
