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Politecnico di Torino :Facolt`a di Architettura.
Corso di Istituzioni di Matematiche.
prof: Maria Luisa Spreafico
1 Esercizi sui sistemi lineari.
1.1 Esercizio 1
Risolvere il seguente sistema lineare con la regola di Cramer.
x 1 − x 3 = 1
x 2 + 2x 3 = − 1
x 1 + x 2 = 1
1.2 Esercizio 2
Dire per quali valori di a il seguente sistema ammette un’ unica soluzione:
x 1 − ax 2 = − 1
2 x 1 + x 2 − ax 3 = 0
x 1 − x 2 + x 3 = 0
1.3 Esercizio 3
Risolvere il sistema seguente invertendo la matrice e non usando la regola di
Cramer. (^) {
2 x 1 + 2x 2 = 0
− 3 x 1 + 4x 2 = 1
1.4 Esercizio 4
Stabilire quante soluzioni ha il seguente sistema al variare del parametro a.
x 1 + ax 2 + ax 3 = 0
x 1 + x 2 − x 3 = 0
−x 1 + x 2 + 2x 3 = 0
1.5 Esercizio 5
Stabilire quante soluzioni hanno i seguenti sistemi:
x 1 − x 2 = 1
x 1 + x 2 = 0
− 2 x 1 + 2x 2 = − 2
x 1 + 3x 2 = 0
x 1 − x 2 = 0
x 1 + x 2 = 0
1.6 Esercizio 6
Discutere i seguenti sistemi:
x 1 − x 2 + 2x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 = 1
2 x 1 − 4 x 2 + 3x 3 − x 4 = 5
x 1 − x 2 = 1
x 2 − x 3 = 1
x 3 − x 4 = 1
x 4 − x 1 = 1
1.7 Esercizio 7
Un uomo dice ad un gruppo di tre giovani : ho tre volte l’ et`a che avevate quando
avevo l’ eta che avete e quando avrete l’ eta che ho la somma delle nostre et`a
varr`a 156.
Determinare l’ et`a dell’ uomo e dei giovani.
2 svolgimento (A cura di: Dott Lohic Fotio)
2.1 Soluzione esercizio 1
La regola di Cramer afferma che
xi =
det(Ai)
det(A)
dove A e la matrice del sistema e Aie ottenuta sostituendo la i esima colonna
di A con il vettore B dei termini noti
A =
B =
2.3 Soluzione esercizio 3
NOTA: In generale, il calcolo dell’ inversa di una matrice pu`o essere un oper-
azione piuttosto lunga ma nel caso delle matrici 2 × 2 esiste una formula chiusa.
se
A =
[
a b
c d
]
allora si ha
A
− 1
d · a − b · c
[
d −b
−c a
]
Tornando al sistema;
A =
[
]
B =
da cui
A
− 1
[
]
e quindi
A
− 1
[
]
Avendo l’ inversa di A la soluzione del sistema vale
x = A
− 1 · B =
2.4 Soluzione esercizio 4
Per rispondere alla domanda occorre calcolare il rango di A;
A =
1 a a
1 1 − 1
− 1 1 2
Scegliendo 1 come pivot della prima riga e facendo
R 2 = R 2 − R 1
e R 3 = R 3 + R 1 si ottiene:
1 a a
0 1 − a − 1 − a
0 1 + a 2 + a
Per il prossimo passo si fa l’ ipotesi che a sia diverso da 1; cosi da poter scegliere
1 − a come pivot.
NB : L’ ipotesi viene fatta perch´e il pivot deve essere diverso da zero, e pertanto
il caso a = 1 va studiato a parte.
Ora facendo
R 3 = R 3 −
1+a 1 −a R 2 si ottiene:
1 a a
0 1 − a − 1 − a
0 0
3+a 1 −a
In conclusione:
Se a e’ diverso da 1 e a = −3 ,l’ ultima riga sara nulla e il rango di A varra 2.
Se a `e diverso da 1 e -3 allora il rango di A vale 3.
Se a = 1 sostituendo a nella matrice e riducendola si trova di nuovo che il rango
di A vale 3
Ricapitolando: se a vale -3 il sistema ammette ∞
3 −rg(A) = ∞
3 − 2 = ∞
1
soluzioni
nel caso contrario rg(A) = 3 e il sistema ammette ∞
3 − 3 soluzioni, cio`e un’ unica
soluzione.
2.5 Soluzione esercizio 5
Per rispondere si calcola il rango di A|B e si sfrutta il teorema di Rouch´e Capelli
.
Consideriamo il primo sistema:
x 1 − x 2 = 1
x 1 + x 2 = 0
− 2 x 1 + 2x 2 = − 2
A|B =
scegliendo 1 come pivot nella prima riga e facendo
R 2 = R 2 − R 1
R 3 = R 3 + 2R 1
si ottiene:
Da cui:
rg(A) = rg(A|B) = 2
e quindi per il teorema di Rouch´e Capelli l’ insieme delle soluzioni non `e vuoto
e il sistema ammette
∞
n−rg(A) = ∞
2 − 2 = 1
in questo caso `e immediato notare che
x =
[
]
A|b =
Facendo
R 2 = R 2 − R 1
R 3 = R 3 − 2 R 1
si ottiene
ed infine
R 3 = R 3 + R 2
si ha :
da cui:
rg(A) = rg(A|B) = 2
e il numero di soluzione e ∞
4 − 2 = ∞
2 soluzioni. In altre parole l’ insieme delle
soluzioni dipende da due parametri liberi
Scegliamo ad esempio x 2 e x 3 come parametri liberi ed esprimiamo x 1 e x 4 in
funzione di quest’ ultimi :
dalla prima e la seconda equazione si ha:,
x 1 = 2 + x 2 − 2 x 3
x 4 = − 1 − 2 x 2 − x 3
NB: Si `e usato direttamente il sistema corrispondente alla matrice ridotta
Si deduce allora che le soluzioni sono mella forma
2 + a − 2 b
a
b
− 1 − 2 a − b
con a e b due numeri reali qualunque.
Ora si considera l ultimo sistema.
x 1 − x 2 = 1
x 2 − x 3 = 1
x 3 − x 4 = 1
x 4 − x 1 = 1
A|B =
R 4 = R 4 + R 1
R 4 = R 4 + R 2
R 4 = R 4 + R 3
da cui rg(A) = 3 , rg(A|B) = 4 e quindi il sistema non ha soluzione.
2.7 Soluzione esercizio 7
Siano rispettivamente x e y l’ et`a dell’ uomo e quella dei giovani.
Conviene introdurre t = x−y la differenza d’ et`a tra l’ uomo e i giovani. Quando
l’ uomo aveva y anni cioe l eta dei giovani,loro ne avevano y − t:
La prima frase ci dice quindi che
x = 3(y − t)
Quando i ragazzi avranno x cioe l eta attuale dell’ uomo , lui ne avr`a x + t, la
seconda frase ci dice che :
3 x + (x + t) = 156
Alla fine si ottiene il sistema lineare:
x − y = t
x = 3(y − t)
x + 3(x − t) = 156
e risolvendolo con uno qualunque dei metodi visti a lezione si trova
x = 36, y = 24
