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Geometria: Postulati e proprietà dei punti, rette, segmenti e angoli - Prof. D'Onofrio, Sintesi del corso di Matematica Generale

Università degli Studi Suor Orsola Benincasa (UNISOB)Matematica Generale
Prof. Luigi D'Onofrio

I postulati e le proprietà fondamentali dei punti, rette, segmenti e angoli in geometria. Vengono spiegati concetti come punti allineati, postulati di appartenenza, rette incidenti, ordine e proprietà di una retta, segmenti e poligoni. Inoltre, vengono introdotti concetti come congruenza di segmenti e angoli, trasporto di segmenti e angoli, e proprietà di figure congruenti.

Tipologia: Sintesi del corso

2021/2022

Caricato il 28/11/2022

alessia-petrella
alessia-petrella 🇮🇹

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→ ENTI PRIMITIVI:
- I PUNTI: per indicarli si usano le lettere maiuscole A; B; C…
- LE RETTE: per indicarle si usano lettere minuscole a; b; c..
- I PIANI: per indicarli si usano le lettere greche
→POSTULATI: in geometria ci sono proprietà alle quali affidiamo lo stesso ruolo degli anti primitivi quindi
non sono dimostrabili
→TEOREMI: sono enunciati la cui verità può essere dimostrata a partire dai postulati e da altri teoremi.
COS’E’ UNA DIMOSTRAZIONE? È una sequenza di deduzioni che partendo da affermazioni
considerate vere (IPOTESI) fa giungere ad altre affermazioni (TESI).
COME SI ENUNCIA UN TEOREMA? SE (IPOTESI) ALLORA (TESI)
Un punto P appartiene ad una retta r se: P sta su r oppure r passa per P
→DEFINIZIONE PUNTI ALLINEATI: 3 o più punti sono allineati se appartengono alla stessa retta
→ POSTULATI DI APPARTENENZA:
PRIMO POSTULATO: ad una retta appartengono ALMENO due punti distinti. Ad un piano ALMENO
tre punti distinti.
SECONDO POSTULATO: due punti distinti appartengono ad UNA ed UNA SOLA retta
TERZO POSTULATO: tre punti distinti NON ALLINEATI appartengono ad UNO ED UN SOLO PIANO.
QUARTO POSTULATO: considerata una retta su un piano vi è almeno un punto del piano che non
appartiene alla retta
QUINTO POSTULATO: se una retta passa per due punti di un piano allora la retta appartiene al
piano
Due rette distinte hanno al più un punto in comune (quindi o 0 punti o 1 punto)
→DEFINIZIONE RETTE INCIDENTI: due rette che hanno un solo punto in comune si chiamano RETTE
INCIDENTI
ALLA RETTA SI Dà UN VERSO DI PERCORRENZA: A precede B, B segue A
→POSTULATI D’ORDINE:
1 POSTULATO D’ORDINE: se A e B sono due punti distinti di una retta allora - A precede B
OPPURE - B precede A
QUINDI: i due punti di una retta sono CONFRONTABILI
2 POSTULATO D’ORDINE: se A precede B e B precede C allora A precede C—> PROPRIETA’ TRANSITIVA
3 POSTULATO D’ORDINE: preso un punto A su una retta vi è ALMENO un punto che precede A ed un punto
che segue A ciò significa che la retta è ILLIMITATA
4 POSTULATO D’ORDINE : presi due punti B e C su una retta con B che precede C, vi è ALMENO un punto A
tale che A segue B e A precede C
→PROPRIETA’: la retta è un insieme DENSO
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Anteprima parziale del testo

Scarica Geometria: Postulati e proprietà dei punti, rette, segmenti e angoli - Prof. D'Onofrio e più Sintesi del corso in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!

→ ENTI PRIMITIVI:

  • I PUNTI: per indicarli si usano le lettere maiuscole A; B; C…
  • LE RETTE: per indicarle si usano lettere minuscole a; b; c..
  • I PIANI: per indicarli si usano le lettere greche →POSTULATI: in geometria ci sono proprietà alle quali affidiamo lo stesso ruolo degli anti primitivi quindi non sono dimostrabili →TEOREMI: sono enunciati la cui verità può essere dimostrata a partire dai postulati e da altri teoremi.  COS’E’ UNA DIMOSTRAZIONE? È una sequenza di deduzioni che partendo da affermazioni considerate vere (IPOTESI) fa giungere ad altre affermazioni (TESI).  COME SI ENUNCIA UN TEOREMA? SE (IPOTESI) ALLORA (TESI)  Un punto P appartiene ad una retta r se: P sta su r oppure r passa per P →DEFINIZIONE PUNTI ALLINEATI: 3 o più punti sono allineati se appartengono alla stessa retta → POSTULATI DI APPARTENENZA:  PRIMO POSTULATO: ad una retta appartengono ALMENO due punti distinti. Ad un piano ALMENO tre punti distinti.  SECONDO POSTULATO: due punti distinti appartengono ad UNA ed UNA SOLA retta  TERZO POSTULATO: tre punti distinti NON ALLINEATI appartengono ad UNO ED UN SOLO PIANO.  QUARTO POSTULATO: considerata una retta su un piano vi è almeno un punto del piano che non appartiene alla retta  QUINTO POSTULATO: se una retta passa per due punti di un piano allora la retta appartiene al piano Due rette distinte hanno al più un punto in comune (quindi o 0 punti o 1 punto) →DEFINIZIONE RETTE INCIDENTI: due rette che hanno un solo punto in comune si chiamano RETTE INCIDENTI ALLA RETTA SI Dà UN VERSO DI PERCORRENZA: A precede B, B segue A →POSTULATI D’ORDINE: 1 POSTULATO D’ORDINE: se A e B sono due punti distinti di una retta allora - A precede B OPPURE - B precede A QUINDI: i due punti di una retta sono CONFRONTABILI 2 POSTULATO D’ORDINE: se A precede B e B precede C allora A precede C—> PROPRIETA’ TRANSITIVA 3 POSTULATO D’ORDINE: preso un punto A su una retta vi è ALMENO un punto che precede A ed un punto che segue A ciò significa che la retta è ILLIMITATA 4 POSTULATO D’ORDINE : presi due punti B e C su una retta con B che precede C, vi è ALMENO un punto A tale che A segue B e A precede C →PROPRIETA’: la retta è un insieme DENSO

CONSEGUENZE: per un punto del piano passano INFINITE rette. Le infinite rette si chiamano ‘’fascio di rette’’. IL PUNTO P SI CHIAMA ‘’ CENTRO DEL FASCIO DI RETTE’’ → A partire dagli enti primitivi e dai postulati, andiamo a definire gli ENTI FONDAMENTALI:

  1. SEMIRETTE : data una retta orientata ed un suo punto Q chiamiamo semirette: -L’insieme formato da Q e da tutti i punti che seguono Q -L’insieme formato da Q e da tutti i punti che precedono Q
  2. SEGMENTI : data una retta orientata e due suoi punti A e B con A che precede B chiamiamo Segmento AB l’insieme dei punti della retta che seguono A e precedono B. A e B sono gli estremi del segmento. Tutti i punti che seguono A e precedono B si chiamano punti interni del segmento. Questi punti hanno diviso la retta in tre parti:
  • segmento AB
  • Semiretta di origine A.
  • Semiretta di origine B Queste 2 semirette sono dette Prolungamento del segmento AB  Segmenti consecutivi : Due segmenti si dicono CONSECUTIVI se hanno in comune soltanto un estremo.  Segmenti adiacenti : Due segmenti si dicono ADIACENTI se sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta → LE POLIGONALI: Si dice poligonale una figura costituita da un insieme ordinato di segmenti in cui ciascun segmento ed il successivo sono consecutivi. Una poligonale si dice POLIGONALE CHIUSA se l’ultimo estremo coincide con il primo Una poligonale si dice POLIGONALE INTRECCIATA se almeno uno dei suoi lati (non consecutivi) incontra un altro lato → GLI ANGOLI Un angolo è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette che hanno la stessa origine la quale viene detta vertice. Invece le due semirette sono dette lati dell’angolo e dividono il piano in 2 parti infatti un angolo è una parte di piano.  ANGOLI CONSECUTIVI : Due angoli che hanno in comune il vertice ed una semiretta si dicono consecutivi.  ANGOLI ADIACENTI: Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e le cui semirette non in comune appartengono alla stessa retta ANGOLO PIATTO: Un angolo è piatto quando coincide con il semipiano (180 gradi) ANGOLO GIRO : Un angolo si dice GIRO se le 2 semirette coincidono, ma è tutto il piano (360 gradi) Supponiamo di avere due semirette che hanno lo stesso vertice e coincidono. Formano due angoli:1) Angolo giro -> tutto il piano 2) Angolo piano -> insieme vuoto

 Si chiama multiplo di un segmento AB secondo il numero naturale n>1 un altro segmento congruente alla somma di n segmenti adiacenti e congruenti ad AB Es; n=3 allora 3AB PUNTO MEDIO : Dato un segmento AB il punto medio è il punto che divide il segmento AB in due segmenti congruenti. UNICITA’ DEL PUNTO MEDIO: Esiste sempre il punto medio di un segmento ed esso è UNICO BISETTRICE DI UN ANGOLO : La bisettrice di un angolo è una semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in 2 angoli CONGRUENTI TEOREMA UNICITA’ DELLA BISETTRICE: Per un qualsiasi angolo la bisettrice esiste ed è unica. DEFINIZIONE: UN ANGOLO CHE SIA:

  1. metà di un angolo piatto è un angolo retto
  2. metà di un angolo retto è un angolo acuto
  3. maggiore di un angolo retto e minore dell'angolo piatto è un angolo ottusoANGOLI SUPPLEMENTARI : Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è congruente ad un angolo piatto  ANGOLI COMPLEMENTARI : Due angoli si dicono complementari se la loro somma è congruente ad un angolo retto  ANGOLI ESPLEMENTARI : Due angoli si dicono esplementari se la loro somma è congruente ad un angolo giro TEOREMA ANGOLI COMPLEMENTARI DI UNO STESSO ANGOLO: Se due angoli (⍺, β) sono COMPLEMENTARI DI UNO STESSO ANGOLO (di angoli congruenti tra loro) allora sono congruenti. DEFINIZIONE DI ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE: Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno in comune il vertice e i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell’altro angolo TEOREMA DEGLI ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE: Se due angoli sono opposti al vertice allora sono congruenti. Nel dimostrare il precedente teorema abbiamo anche dimostrato che angoli supplementari allo stesso angolo sono congruenti.( Questa osservazione vale anche per angoli complementari ed esplementari )  PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA TRA TRIANGOLI: Due triangoli che hanno due lati e l’angolo compreso congruenti sono congruenti tra loro -PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA TRA TRIANGOLI IN FORMA DI TEOREMA: Se due triangoli hanno due lati e l’angolo compreso congruenti allora i due triangoli sono congruenti tra loro  SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA TRA TRIANGOLI : Due triangoli che hanno due angoli e il lato compreso congruenti sono congruenti - SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA TRA TRIANGOLI IN FORMA DI TEOREMA: Se due triangoli hanno due angoli e il lato compreso congruenti allora sono congruenti

TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA TRA TRIANGOLI : Due triangoli che hanno i lati ordinatamente congruenti sono congruenti

  • TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA TRA TRIANGOLI IN FORMA DI TEOREMA : Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono congruenti; →TRIANGOLO ISOSCELE: Un triangolo si dice isoscele se ha 2 lati congruenti → TEOREMA conseguenza dei criteri di congruenza per i triangoli isosceli :  Se un triangolo è isoscele allora il triangolo ha congruenti gli angoli opposti ai lati congruenti DI QUESTO TEOREMA VALE ANCHE L'INVERSO (Bisogna invertire ipotesi e tesi) quindi: se un triangolo ha 2 angoli congruenti allora è un triangolo isoscele →DEFINIZIONE DI RETTE PARALLELE: Due rette si dicono parallele se non si intersecano mai in nessun punto (cioè non hanno punti in comune). In questo caso si chiamano PARALLELE DISTINE oppure le due rette coincidono (PARALLELE COINCIDENTI) Quindi IL PARALLELISMO E’ UNA RELAZIONE DI EQUIVALENZA REFLESSIVA (a // a), SIMMETRICA (se a//b allora b//a), TRANSITIVA (se a//b e b//a allora a//c)  DEFINIZIONE DI DIREZIONE : La direzione è una classe di equivalenza di rette parallele tra loro  DEFINIZIONE DI RETTE PERPENDICOLARI: Due rette si dicono perpendicolari se intersecandosi formano 4 angoli retti  Due rette parallele attraversate da una trasversale: le coppie di angoli si dicono corrispondenti →TEOREMA DIRETTO SUL PARALLELISMO: Avendo 2 rette attraversate da una trasversale se accade una delle seguenti proprietà: 1- Due angoli alterni interni sono congruenti 2- Due angoli alterni esterni sono congruenti 3- Due angoli corrispondenti sono congruenti 4- Due angoli coniugati interni sono supplementari 5- Due angoli coniugati esterni sono supplementari ALLORA: le due rette sono parallele COROLLARIO : Due rette che siano perpendicolari ad una stessa retta sono parallele → TEOREMA ESISTENZA DELLA RETTA PARALLELA: Dato un punto P ed una retta r, con P che non giace su r, esiste sempre una retta che passi per P e parallela a r → 5 POSTULATO DI EUCLIDE: Data una retta r ed un punto P non appartenente a r non esiste più di una retta parallela a r e passante per P → TEOREMA INVERSO SUL PARALLELISMO: Se 2 rette sono parallele allora:
  • Angoli alterni interni sono congruenti