Matrici (programma di algebra) | Dispense di Algebra

MATRICI

Matrice (def): siano m ed n appartenenti a N*. Si dice matrice di tipo mxn o anche

matrice ad m righe ed n colonne ogni tabella costituita da m x n numeri reali disposti

su m linee orizzontali ed n colonne verticali.

Matrice nulla (def): La matrice nulla di tipo m x n è la matrice ad m righe ed n

colonne ad elementi tutti nulli e si indica con Om,n(R)

Matrice riga e colonna (def): ogni matrice di tipo m x 1 cioè ad m righe ed una

colonna si dice MATRICE COLONNA mentre ogni matrice di tipo 1 x n si dice

MATRICE RIGA.

Matrici uguali (def): Siano A appartenente a Mm,n(R) ed A’ appartenente ad Mm’,n’(R).

Le due matrici A ed A’ sono uguali se si verificano le seguenti condizioni: 1) m=m’

2) n=n’ 3) aij=a’ij

Matrice trasposta (def): Sia A appartenente a Mm,n(R), si dice trasposta di A e si indica

con AT la matrice ottenuta da A scambiando ordinatamente le righe con le colonne.

Proprietà della matrice trasposta: 1) (AT)T= A 2) La trasposta di una matrice

quadrata di ordine n è ancora una matrice quadrata delle stesso ordine.

Diagonale principale (def): Data una matrice A quadrata di ordine n si dice diagonale

principale di a la n-upla ordinata (a11, a22,….,ann). Si dice invece diagonale secondaria

la n-upla (a1n, a2,n-1,…an,1).

Matrice triangolare (def): Una matrice quadrata avente nulli gli elementi al di sotto (o

al di sopra ) della diagonale principale si dice matrice triangolare superiore (o

inferiore).

Matrice diagonale (def): Una matrice quadrata A=(aij) di ordine n tale che aij=0 per

ogni i diverso da j si dice matrice diagonale e si indica generalmente con D.

Matrice scalare (def): Una matrice diagonale i cui elementi sulla diagonale principale

sono tutti uguali si dice matrice scalare e si indica con Sn(R).

Matrice identità (def): La matrice scalare di ordine n tale che aij=1 per ogni i che va

da 1 ad n si dice matrice identità e si indica con In(R).

Matrice simmetrica (def): Una matrice A quadrata si dice simmetrica se aij=aji cioè se

sono uguali gli elementi che occupano posizioni simmetriche rispetto alla diagonale

principale.

Condizione necessaria e sufficiente per la simmetria: cond necess e suff affinché una

matrice sia simmetrica è che essa coincida con la sua trasposta cioè AT=A

Matrice anti-simmetrica (def): Una matrice A quadrata di ordine n si dice anti-

simmetrica se aij= -aji.

Condizione necessaria e sufficiente per l’anti-simmetria: cond necess e sufficiente

affinché una matrice A sia anti-simmetrica è che A= -AT

Proprietà: Se A è anti-simmetrica allora aij=0

Somma tra matrici: Siano A e B appartenenti a Mm,n(R). Poniamo A=(aij) e B=(bij).

Si dice matrice somma di A e B la matrice indicata con a+B definita da A+B=(aij

+biJ).

Osservazione: le matrici tra cui si effettua una somma devono essere dello stesso tipo

m x n. La matrice somma sarà ancora una matrice di tipo m x n.

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MATRICI

Matrice (def): siano m ed n appartenenti a N*. Si dice matrice di tipo mxn o anche matrice ad m righe ed n colonne ogni tabella costituita da m x n numeri reali disposti su m linee orizzontali ed n colonne verticali. Matrice nulla (def): La matrice nulla di tipo m x n è la matrice ad m righe ed n colonne ad elementi tutti nulli e si indica con O (^) m,n (R) Matrice riga e colonna (def): ogni matrice di tipo m x 1 cioè ad m righe ed una colonna si dice MATRICE COLONNA mentre ogni matrice di tipo 1 x n si dice MATRICE RIGA. Matrici uguali (def): Siano A appartenente a M (^) m,n(R) ed A’ appartenente ad M (^) m’,n’ (R). Le due matrici A ed A’ sono uguali se si verificano le seguenti condizioni: 1) m=m’

n=n’ 3) aij=a’ij Matrice trasposta (def): Sia A appartenente a M (^) m,n(R), si dice trasposta di A e si indica con AT^ la matrice ottenuta da A scambiando ordinatamente le righe con le colonne. Proprietà della matrice trasposta: 1) (AT) T= A 2) La trasposta di una matrice quadrata di ordine n è ancora una matrice quadrata delle stesso ordine. Diagonale principale (def): Data una matrice A quadrata di ordine n si dice diagonale principale di a la n-upla ordinata (a 11 , a22,….,ann). Si dice invece diagonale secondaria la n-upla (a (^) 1n, a2,n-1 ,…a (^) n,1). Matrice triangolare (def): Una matrice quadrata avente nulli gli elementi al di sotto (o al di sopra ) della diagonale principale si dice matrice triangolare superiore (o inferiore). Matrice diagonale (def): Una matrice quadrata A=(aij) di ordine n tale che aij=0 per ogni i diverso da j si dice matrice diagonale e si indica generalmente con D. Matrice scalare (def): Una matrice diagonale i cui elementi sulla diagonale principale sono tutti uguali si dice matrice scalare e si indica con S (^) n (R). Matrice identità (def): La matrice scalare di ordine n tale che aij=1 per ogni i che va da 1 ad n si dice matrice identità e si indica con I (^) n(R). Matrice simmetrica (def): Una matrice A quadrata si dice simmetrica se aij=aji cioè se sono uguali gli elementi che occupano posizioni simmetriche rispetto alla diagonale principale. Condizione necessaria e sufficiente per la simmetria: cond necess e suff affinché una matrice sia simmetrica è che essa coincida con la sua trasposta cioè A T=A Matrice anti-simmetrica (def): Una matrice A quadrata di ordine n si dice anti- simmetrica se aij= -aji. Condizione necessaria e sufficiente per l’anti-simmetria: cond necess e sufficiente affinché una matrice A sia anti-simmetrica è che A= -A T Proprietà: Se A è anti-simmetrica allora aij= Somma tra matrici: Siano A e B appartenenti a M (^) m,n (R). Poniamo A=(aij) e B=(bij). Si dice matrice somma di A e B la matrice indicata con a+B definita da A+B=(aij +biJ). Osservazione: le matrici tra cui si effettua una somma devono essere dello stesso tipo m x n. La matrice somma sarà ancora una matrice di tipo m x n.

Prodotto di uno scalare per una matrice (def): Siano lambda appartenente a R e a appartenente a M (^) m,n (R). Allora la matrice prodotto dello scalare lambdaA è la matrice denotata con lambdaA=(lambdaaij) Osservazione: Il prodotto tra uno scalare e una matrice si può fare qualunque sia il tipo della matrice e il risultato è ancora una matrice dello stesso tipo.. Osservazione: 1) (A+B)T= A T^ +BT^ 2) (lambdaA) T=lambdaAT. Prodotto tra matrici: siano A appartenente a M (^) m,n(R) e B appartenente a M (^) n,p(R) con A=(aij) e B=(bjh). Si definisce prodotto righe per colonne A per B la matrice AB appartenente a M (^) m,p (R) il cui elemento (cih) di posto ih è dato dalla sommatoria per j che va da 1 ad n di aj*bjh. Osservazione: Siano A appartenente a M (^) m,n(R) e B appartenente a M (^) n,p(R) allora non esiste il prodotto BA a meno che non sia m=p. In tal caso BA è una matrice quadrata di ordine n mentre Ab è una matrice quadrata di ordine m. Osservazione: Se A, B sono matrici quadrate dello stesso ordine esiste sia AB che BA ma in genere AB è diverso da BA. Matrici permutabili (def): Due matrici A e B quadrate dello stesso ordine si dicono permutabili se AB=BA. Osservazione: Ogni matrice A di ordine n è sempre permutabile con la matrice identica e con la matrice nulla cioè AI=IA e A0=0A

DETERMINANTE, MATRICI INVERSE E ORTOGONALI

Determinante per matrice quadrata di ordine 2 (def): ad ogni matrice quadrata A appartenente a M (^) n (R) si associa un numero reale detto determinante di A, indicato con detA e definito come segue: detA=a 11 a22-a^ 12a 21 Minore estratto (def): dicesi minore estratto da una matrice a appartenete a M (^) n(R) il determinante di una qualsiasi matrice quadrata estratta da A. Minore complementare (def): Sia A=(aij) per i che va da 1 ad n appartenente a M (^) n(R). Fissati h, k appartenenti a (1,2…,n) si dice minore complementare dell’elemento a (^) hk il determinante di M (^) h,k ovvero della sottomatrice quadrata di ordine n-1 (cioè il minore n-1 estratto da A) che si ottiene da A sopprimendo la h-esima riga e la K-esima colonna. Complemento algebrico o cofattore (def): Si dice complemento algebrico di a (^) hk il

numero A (^) hk= (-1)h+k*M^ h,k

PRIMO TEOREMA DI LAPLACE: sia A appartenente a M n(R), n> o uguale di

Il determinante di A è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) di A per i rispettivi complementi algebrici cioè detA=sommatoria per j che va da 1 ad n di (aij)(Aij)=ai1Ai1+ai2Ai2+…ainAin. PROPRIETA’ DEI DETERMINANTI: 1) anti-simmetria rispetto alle righe (o colonne): scambiando due righe tra loro il determinante cambia di segno. 2) Omogeneità rispetto alle righe (o colonne): Se si moltiplica una riga di A per un fattore lambda appartenente a R si ottiene una nuova matrice A’ tale che detA’=lambdadetA

DIMOSTRAZIONE: 1) A^-1 è invertibile 2) (A^-1)^-1=A. Per ipotesi A è invertibile se e solo se AA^-1=In=A^-1A se e solo se A^-1A=In=AA^-1 se e solo se A^-1 è invertibile. A=(A-1)^- PROPRIETA’: Se A e B sono matrici quadrate dello stesso ordine ed entrambe invertibili allora la matrice AB è invertibile e risulta che (AB)^-1=B^-1A^-1. DIMOSTRAZIONE: Sia n l’ordine di A e B. Per ipotesi A è invertibile se e solo se AA^-1=In=A^-1A. Per ipotesi B è invertibile se e solo se BB^-1=In=B^-1B. (1) (AB)(B^-1A^-1) deve essere uguale a In = A (BB^-1)A^-1=AInA^-1=AA^-1=In (2) (B^-1A^-1)(AB)=B^- (A^-1A)B=B^-1InB=B^-1B=In PROPRIETA’: Se A è una matrice invertibile la sua trasposta è invertibile e si ha che (A T)^-1= (A^-1) T DIMOSTRAZIONE: Per ipotesi AA^-1=In=A^-1A (AA^-1) T=(In) T^ = (A^-1A) T^ (A^-1)TAT^ = In= A^ T(A^-1)^ T^ A^ T(A^-1)^ T=In=(A^-1)T^ AT^ cioè A è invertibile è l’inversa è (A^-1) T^. PROPRIETA’: Se A è una matrice invertibile si ha che det(A^-1)=1/det(A) DIMOSTRAZIONE: Se A è invertibile e A^-1 è la sua inversa AA^-1=In se e solo se det(AA^-1)=det(In) ora per il teorema di Binet det(A)det(A^-1)=1 cioè det(A^-1)=1/det(A). Matrice non singolare (def): Una matrice A quadrata di ordine n si dice non singolare se il suo determinante è non nullo. Condizione necessaria e sufficiente per l’invertibilità: una matrice A quadrata di ordine n è invertibile se e solo se è non singolare cioè se detA è diverso da 0. Matrice aggiunta (def): Sia A=(aij) una matrice quadrata di ordine n. Si dice matrice aggiunta di A e si denota con il simbolo aggA la matrice (A’) T^ dove A’ è la matrice dei complementi algebrici. PROPRIETA’: Sia A appartenente a M (^) n(R). Se A è invertibile la sua matrice inversa è data da A^-1=1/detAaggA dove aggA è la matrice trasposta dei complementi algebrici di A. DIMOSTRAZIONE: Pongo B=1/detAaggA. Devo dimostrare che risulta AB=In=BA. Se A=(aij) e B=1/detA(bij) per definizione di matrice aggiunta è (bij)=Aij. AB=A(1/detAaggA)=1/detA(AaggA)=1/detA( sommatoria per j che va da 1 ad n di aijbij)=1/detA( sommatoria per j che va da 1 ad n di aijAij= per il primo e il secondo teorema di Laplace a 1/detA(detAdeltaij)=deltaij=In NOTAZIONE: La matrice identica si scrive anche utilizzando il DELTA DI KRONECKER cioè una funzione di due variabili così definite deltaiJ= 1 se i=j oppure deltaij=0 se i diverso da j. Osservazione: In generale per una matrice quadrata di ordine 2 invertibile si ha che A^-1=1/detA * la matrice a22 -a -a21 a Matrice ortogonale (def): Una matrice A quadrata di ordine n si dice ortogonale se AT^ A=In=AA T PROPRIETA’: Se A è una matrice quadrata di ordine n ortogonale la sua trasposta è ortogonale.

DIMOSTRAZIONE: A è ortogonale se e solo se A TA=In=AA T^ se e solo se AA T=In= AT^ A se e solo se (per una proprietà che (A T) T^ =A) (AT^ ) TAT^ =In= AT (A T^ )T^. Se chiamo AT^ =B^ allora BT^ B=In=BBT^ se e solo se B è ortogonale e quindi A T^ è ortogonale. PROPRIETA: 1) In è ortogonale 2) Se A e B sono ortogonali AB è ortogonale

Se A è ortogonale A^-1 è ortogonale. DIMOSTRAZIONE: 1) Ovvia 2) (AB)(AB) T^ =In=(AB)T(AB) (AB) (AB) T^ =(AB)(BT^ AT)=A(BB T^ )A T=AInA T=AAT^ =In seconda parte (AB)T (AB)=In (AB) T(AB)=(B T^ AT)(AB)= BT^ (A TA)*B=BT^ InB=BT^ *B=In
A è ortogonale se e solo se A TA=In=AA T^ (A^-1) TA^-1=In (A T^ )^-1A^-1=(AAT^ )^-1=In^-1=In seconda parte (A^-1)(A^-1)T^ =In (A^-1)(A T)^-1=(A^ TA)^-1=In^-1=In PPROPRIETA’: Se A è una matrice ortogonale di ordine n allora detA=+ o – 1 DIMOSTRAZIONE: A è ortogonale se e solo se A*AT=In=A T^ A det (A T^ A)=det(In)= per il teorema di Binet a det(A T)detA=1 cioè detAdetA= cioè det(A^2)=1 cioè detA=+ o – 1 Proprietà: Una matrice A quadrata di ordine n è ortogonale se e solo se la somma dei quadrati degli elementi di ciascuna riga o colonna eè uguale a 1 mentre la somma dei prodotti di due righe o colonne distinte è uguale a 0.

RANGO DI UNA MATRICE

Minore (def): Sia A appartente a Mm,n (R) e sia p compreso tra 1 e il minimo tra m ed n. Si dice minore di ordine p estratto da A il determinante di una qualsiasi sottomatrice quadrata di ordine p ottenuta selezionando arbitrariamente p righe e p colonne. Osservazione: In generale se A appartiene a Mm,n (R) e p è compreso tra 1 e il minimo tra m ed n si possono estrarre dalla matrice m!/p!(m-p)! * n!/p!(n-p)! Rango (def): Sia A appartente a Mm,n (R) non nulla. Si dice rango o anche caratteristica di A il massimo ordine dei minori non nulli estraibili da A. Osservazione: Equivalentemente se A appartiene a M (^) m,n (R) e A è diverso da zero si ha che p=rango di A con p compreso tra 1 e il minimo tra m ed n se e solo se si verificano le seguenti: 1) esiste un minore di ordine p non nullo estraibile da A 2) ogni minore di ordine maggiore di p è nullo. I minori non nulli di ordine massimo estraibili da A vengono detti anche minori fondamentali di A. Orlato (def): Siano A appartenente a M (^) m,n(R) e Mp un minore di ordine p estratto da

A. Si dice orlato di Mp ogni minore di ordine p+1 di A ottenuto da Mp aggregando ad esso una riga e una colonna di A scelte tra quelle che non formano Mp. TEOREMA DEGLI ORLATI O DI KRONECKER: Sia A appartenente a M (^) m,n (R) non nulla. Allora la matrice A ha rango p compreso tra 1 e il minimo tra m ed n se e solo se esiste almeno in minore di ordine p non nullo i cui orlati sono tutti nulli.

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DETERMINANTE, MATRICI INVERSE E ORTOGONALI

PRIMO TEOREMA DI LAPLACE: sia A appartenente a M n(R), n> o uguale di

RANGO DI UNA MATRICE