Introduzione alla Meccanica Quantistica: Concetti Chiave, Esercizi e Quiz, Dispense di Fisica

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Una Introduzione

alla Meccanica Quantistica

P.Allia - Fisica II Talenti 1

• All’equilibrio termodinamico ci deve essere un continuo scambio di energia tra un campo e.m. di frequenza n presente in una cavità chiusa ed un insieme di oscillatori (=dipoli elettrici oscillanti) aventi la medesima frequenza n presenti sulle pareti della cavità. L’evidenza sperimentale indica però che l’energia viene scambiata solo per multipli di una quantità fondamentale pari ad hn dove h  1.05 10
  • 34 Js è una costante fondamentale (costante di Planck) → problema del «corpo nero»

INADEGUATEZZA DELLA FISICA CLASSICA

P.Allia - Fisica II Talenti 2 A partire dal 1890 (circa) alcune osservazioni di effetti fisici evidenziarono specifiche inadeguatezze della fisica classica. Ad esempio:

• Gli atomi emettono/assorbono energia verso/dall’esterno in modo discreto: le frequenze emesse sono rigorosamente discrete e fisse, ed indicano che gli elettroni nell’atomo possiedano solo determinati valori di energia totale (e di conseguenza, l’osservazione di una riga di emissione a frequenza nab implica la transizione di un elettrone dal livello di energia Eb al livello Ea tale per cui nab = (Eb-Ea)/h) → struttura atomica e righe spettrali
• Gli elettroni (particelle elementari dotate di massa ) che attraversano un cristallo vengono diffratti dal reticolo cristallino. Ma la diffrazione è un fenomeno tipicamente ondulatorio, non dovrebbe avere nulla a che fare con particelle ( esperimento di Davisson e Germer; vedi slide seguenti )
• Tutti i dati sperimentali elencati indicano la necessità di una nuova teoria fisica (meccanica quantistica).

INADEGUATEZZA DELLA FISICA CLASSICA

P.Allia - Fisica II Talenti 4

Diffrazione di raggi X e di elettroni da cristalli P.Allia - Fisica II Talenti 2017/18 5

La struttura regolare di un tipico cristallo ionico

In una struttura cristallina tridimensionale vi sono molti piani cristallini inclinati in modo diverso rispetto alla direzione del fascio incidente, quindi in generale si hanno molteplici direzioni lungo le quali la luce diffratta è intensa. Lungo tutte le altre direzioni si ha interferenza distruttiva e la luce diffratta è praticamente nulla P.Allia - Fisica II Talenti 2017/

( ) 2 2 0 ( ) 1 1 0 2 1

i k x t i k x t

E x t E e

E x t E e

   

Il campo E in P dovuto a queste due onde vale: Consideriamo le onde 1 e 2 riflesse da due piani reticolari adiacenti a distanza d l’uno dall’altro: 8 schermo Sorgente 2 fronti d’onda x 1 x 2 I(P) P

1 2 1

( ) 1 1 2 2 0 i kx t ik x x

E P E x t E x t E e e

 



differenza di fase P.Allia - Fisica II Talenti 2017/ ( ) 2 2 0 ( ) 1 1 0 2 1

i k x t i k x t

E x t E e

E x t E e

   

Diffrazione di elettroni da cristalli L’esperimento può essere ripetuto usando un flusso di elettroni isoenergetici invece dei raggi X. Ciascun elettrone viene prima accelerato da fermo da un potenziale V e poi prosegue liberamente fino al cristallo con energia cinetica: (Davisson – Germer 1927)

m

p

E eV

cin

2

Sullo schermo si osservano regioni in cui arrivano moltissimi elettroni e regioni in cui non ne arrivano. 10 V p schermo P.Allia - Fisica II Talenti 2017/

 

 l

 p

d n

k d n

2 sin

2 sin 2

11 La condizione di massima incidenza di elettroni ha esattamente la stessa forma per i massimi di interferenza dei raggi X P.Allia - Fisica II Talenti 2017/ Diffrazione di raggi X ( a sinistra) e di elettroni (a destra) da parte di cristalli (le strutture cristalline sono diverse nei due casi) Si può associare agli elettroni in moto una - per ora inspiegabile - «lunghezza d’onda» l. Come è legata questa lunghezza d’onda alle grandezze meccaniche?

Quindi anche per particelle dotate di massa si osservano effetti di interferenza/diffrazione: in qualche modo gli elettroni si comportano come onde Considerando insieme: (i) questo esperimento con gli elettroni; (ii) il dualismo campo e.m. classico – insieme di «quanti di luce» (fotoni) si potrebbe essere indotti a concludere che tutte le particelle ammettono una descrizione ondulatoria e viceversa le onde elettromagnetiche ammettono una descrizione particellare. Si vedrà nel seguito come dovrà essere meglio espressa questa conclusione, che sostanzialmente dipende dal fatto che esiste in natura una costante universale h - molto piccola ma diversa da zero. Nel limite h → 0 la lunghezza d’onda di de Broglie associata a p non sarebbe definibile e l’energia del campo di radiazione sarebbe scambiata (e viaggerebbe) in quantità continue e non sotto forma di pacchetti discreti. P.Allia - Fisica II Talenti 2017/18 13

Per il dualismo onda-particella valgono quindi le seguenti relazioni dovute a de Broglie (1924): n l

E h

h

p  

Relazione tra quantità di moto della particella e lunghezza d’onda Relazione tra l’energia della particella e la frequenza dell’onda A questo punto occorre: (1) scrivere l’equazione differenziale alla quale soddisfano tali onde; (2) chiarire il significato fisico di queste «onde di materia» (che cosa si propaga ?). L’equazione è l’equazione di SCHRÖDINGER che costituisce la base per una descrizione quantistica della dinamica delle particelle. P.Allia - Fisica II Talenti 2017/18 14