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Come pu ò essere riscritto il secondo principio della Meccanica nel caso del moto di un punto vincolato? ma=F+ϕ
Condizione necessaria e sufficiente perch é un atto di moto sia rigido è che, per ogni coppia di punti A e B del corpo rigido, le velocit à vA e vB soddisfino la
condizione (vA-vB)•(B-A)=
Considerando un punto materiale di massa m, la variazione di energia cinetica a seguito dell'applicazione di un impulso è uguale al prodotto scalare dell'impulso con la media aritmetica fra la velocità anteriore e la velocità posteriore. Considerando un sottosistema S' di un sistema S di N punti materiali le reazioni vincolari interne al sistema complessivo diventano forze esterne da considerare nelle equazioni cardinali del sottosistema
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Dal Teorema di Mozzi, l'atto di moto è rotatorio se I=
Data la cerniera fissa rappresentata in figura, essa pu ò essere sostituita con due reazioni vincolari indipendenti. Quali?
Risposta
Data una lamina rettangolare omogenea e di massa m, di lati 2a e 2b che pu ò ruotare intorno ad un punto fisso posto a met à di uno dei due lati lunghi. La sua energia cinetica è data da:
risposta
Dati i vettori v=(1,1,2) e w=(3,1,1) in un sistema cartesiano definito dai tre versori ortogonali i,j,k indicare qual è il valore esatto del prodotto vettoriale z = v x w. z=(-1,5,-2) si fa la matrice i j k escludo la prima colonna e faccio (11) – ( 12) e ottengo +(1-2); = - 1 1 2 escludo la seconda colonna e ottengo si mette il meno - ((11) – (32)) e ottengo – (1-6): = 5 3 1 1 escludo la terza colonna e ottengo (11) – ( 31) e ottengo +(1-3) = - Dati i vettori v=(1,1,2) e w=(3,1,1) in un sistema cartesiano definito dai tre versori ortogonali i,j,k indicare qual è il valore esatto del prodotto vettoriale z = v x w. z=(8,-4,-2) Dati i vettori v=(1,1,2) e w=(-2,5,3) in un sistema cartesiano definito dai tre versori ortogonali i,j,k indicare qual è il valore esatto del prodotto vettoriale z = v x w. z=(-7,-7,7) Dati i vettori v=(1,1,2) e w=(3,1,1) in un sistema cartesiano definito dai tre versori ortogonali i,j,k indicare qual è il valore esatto del prodotto vettoriale z = v x w. nessuna delle altre risposte
Dato il corpo in figura avente il baricentro in G, rispetto a quali assi si ha il momento il momento di inerzia minore?
risposta 2
Dato il potenziale V(θ)=mgRcosθ-kR 2 cosθ, dove k è una costante elastica, se k > mg/R per θ=0 abbiamo equilibrio stabile, mentre per θ=π abbiamo equilibrio instabile
Dato il potenziale V(θ)=mgRcosθ-kR 2 cosθ, dove k è una costante elastica, se k<mg/R per θ=0 abbiamo equilibrio instabile, mentre per θ=π abbiamo equilibrio stabile Dato il sistema S composto da due punti materiali di massa m 1 =10 kg e m 2 =20 kg e distanti rispettivamente 10 cm e 15 cm da un asse a, il momento di
inerzia rispetto all'asse a è : 5500 kg⋅cm2 occhio ai cm2 10*10 al quadr + 20 * 15 al quadr
Dato il sistema in figura, indicare il numero di gradi di libert à risposta 1
Dato il vettore a=(3,6,2) e b=(4,1,9), il prodotto scalare è uguale a 36 Dato il vettore a=(0,1,0) e b=(1,0,9), il prodotto scalare è uguale a 0 Dato il vettore a=(4,1,8) e b=(6,3,3), il prodotto scalare è uguale a 51 Dato il sistema in figura, valutare per quali valori di M l'appoggio della lamina è garantito e sapendo che le reazioni vincolari in B e E sono:FB=0.25(2M-m)g e FE=0.25(2M+m)g
RISPOSTA M>0.5m
Dato un cerchio soggetto a vincolo di puro rotolamento su una guida orizzontale fissa, il vincolo è bilatero se il disco rotola sulla guida e non si può distaccare Dato un cerchio soggetto a vincolo di puro rotolamento su una guida orizzontale fissa, qual è la velocit à virtuale del punto di contatto fra il cerchio e la guida orizzontale se il vincolo è bilatero? v'H= Dato un cerchio soggetto a vincolo di puro rotolamento su una guida orizzontale fissa, qual è la velocit à virtuale del punto di contatto fra il cerchio e la guida
orizzontale? v'H=uj, con qualsiasi u>=
Dato un corpo omogeneo avente un asse di simmetria materiale, quale delle seguenti affermazioni è vera? Tale asse è un asse principale d'inerzia. Dato un corpo piano avente i momenti di inerzia principali uguali a IX=3 e IY=1 e il prodotto di inerzia IXY=1, l'angolo che individua la direzioni dei due
assi principali di inerzia è θ=π/
Dato un corpo rigido, definiamo come asse di moto o asse di Mozzi, la retta formata dai punti P(λ) tali che, all'istante considerato,
(P(λ)-A)=(ω x vA)/ω2+ λω
Dato un corpo rigido, se H è il CIR (Centro di Istantanea Rotazione), la velocit à di ogni altro punto P del corpo rigido è uguale a vP=ω x (P-H)
Dato un disco che rotola su una guida fissa, yc=R rappresenta un vincolo olonomo Dato un disco di raggio R e massa m che rotola senza strisciare su una guida orizzontale fissa, qual è la velocit à del punto A diametralmente opposto al punto di contatto H?
Dato un filo inestensibile, di massa trascurabile e in assenza di attrito, quale di queste affermazioni non è corretta? Esso esercita all'estremo del filo una forza uguale alla forza peso. Dato un pendolo fisico determinato da un'asta di massa m e lunghezza l, incernierato in uno degli estremi e vincolato in un piano verticale, il periodo delle piccole oscillazioni non dipende da m Dato un pendolo fisico determinato da un'asta di massa m e lunghezza l, incernierato in uno degli estremi e vincolato in un piano verticale, il periodo delle piccole oscillazioni dipende dalla radice quadrata di l Dato un qualsiasi sistema, le equazioni cardinali della statica corrispondono a sei equazioni scalari
Dato un semidisco pieno di massa omogenea m e raggio R, determinare il momento di inerzia del semidisco rispetto all'asse (a) indicato in figura
risposta Ia=1.25 mR
Dato un semidisco di massa omogenea 2m e raggio R, determinare il momento di inerzia del semidisco rispetto all'asse (a) indicato in figura
sommando il momento di inerzia rispetto al baricentro del semicerchio con il prodotto della massa del semicerchio per la distanza fra il baricentro e l'asse (a) al quadrato
Il disco in figura è omogeneo, di massa m e raggio r, mentre l'asta ha massa m e lunghezza l. L'estremo A dell'asta è vincolato con un carrello liscio all'asse y ed è incernierato in B al centro del disco. Il disco ruota senza strisciare sull'asse x e il suo centro è collegato all'asse y da una molla d costanza elastica k. Al disco è applicata una coppia oraria di momento C. Sapendo che le coordinate del baricentro dell'asta sono (X,Y)G=(0.5lsinθ,0.5lcosθ-r) e le coordinate del punto B sono
risposta
Il momento angolare è un integrale primo del moto Il momento di inerzia di un sistema di punti materiali è uno scalare sempre non negativo Il momento di inerzia rispetto ad un asse passante per O e perpendicolare alla lamina omogenea e di massa m rappresentata in figura è :
risposta IO=(1/3)m(a2+b2)
Il momento di inerzia rispetto ad un asse passante per O e perpendicolare alla lamina omogenea rappresentata in figura, di massa m e lati a=5 e b=3, è :
IOZ=(34/3)m
Il momento di inerzia rispetto ad un asse passante per O e perpendicolare alla lamina omogenea rappresentata in figura, di massa m e lati a=7 e b=5, è :
risposta IOZ=(74/3)m ((7 ^2 + 5^2) / 3 )* m
Il momento di un vettore non cambia se trasliamo il vettore lungo la sua retta d'azione Il momento di una coppia è indipendente dal polo che si usa per calcolarlo Il Principio dei Lavori Virtuali fornisce un metodo per calcolare l'energia cinetica del sistema Il Principio dei Lavori Virtuali vale se i vincoli sono ideali e fissi Il prodotto vettoriale non gode della proprietà associativa Il puro rotolamento è un vincolo con attrito e ideale Il sistema disegnato in figura è posto in un piano verticale ed è composto da un disco omogeneo di massa m e raggio R e da un'asta omogenea di massa m e lunghezza l. Il disco rotola senza strisciare su una guida orizzontale. L'asta è incernierata al centro del disco nel suo estremo A ed è appoggiata ad un piolo liscio P posto ad una quota h sopra A. Scrivere il lavoro delle forze attive. Per velocizzare i calcoli sono fornite le coordinate xA= - hcotα e yG=R+0.5 l sinα.
∗=(− / 2 cos).
Il sistema disegnato in figura è posto in un piano verticale ed è composto da un disco omogeneo di massa M e raggio R e da un'asta omogenea di massa m e lunghezza l. Il disco rotola senza strisciare su una guida orizzontale. L'asta è incernierata al centro del disco nel suo estremo A ed è appoggiata ad un piolo liscio P posto ad una quota h sopra A. Quale set di equazioni è corretto? Φx,Φy ! !; Ψ ! ′ .
Φx−Ψsin=0 Φy+Ψcos−(&+)=0 −−mg / 2 cos+ Φx'+ Ψℎ/sin=
Il sistema disegnato in figura è posto in un piano verticale. Si compone di un 'asta OH omogenea di massa m e lunghezza 2l e di una lamina ABCD omogenea quadrata di massa m e lato l. L'asta è incernierata a terra nell'estremo O e passa per il baricentro G della lamina scorrendo in una cerniera fissa in G su cui è stata praticata una scanalatura. Il lato AB della lamina è vincolato a scorrere in verticale mediante due appoggi in A e B. Sull'estremo H dell'asta è applicata una forza verticale F=Fj che mantiene il sistema in equilibrio per θ=60° (F=2.5mg). Quali sono le reazioni vincolari in A e B e la reazione ∅ che l'asta esercita sulla lamina in G?
RISPOSTA ∅=2mg, HA=HB=mg*(3^0.5)/
Il sistema in figura è posto in un piano verticale. Le aste OA e OB sono omogenee di lunghezza l e massa m, il punto materiale P ha massa m, il filo è vincolato al carrello e ha una massa trascurabile e lunghezza a. Il piolo C, posto sull'asse orizzontale passante per la cerniera O e il carrello B, si trova a distanza h da O. Tutti i vincoli sono lisci. Qual è l'espressione del potenziale del sistema?
RISPOSTA U(θ)=mglsinθ+mg(2lcosθ+a-h)
Il sistema in figura è posto in un piano verticale. Le aste OA e OB sono omogenee di lunghezza l e massa m, il punto materiale P ha massa m, il filo ha una massa trascurabile e lunghezza a. Il piolo C, posto sull'asse orizzontale passante per la cerniera O e il carrello B, si trova a distanza h da O. Tutti i vincoli sono lisci. Indicare la condizione di equilibrio del sistema.
RISPOSTA θ=arctg(0.5)
Il sistema in figura è composto da un disco di massa m e raggio R che rotola senza strisciare su un asse orizzontale, e da un'asta di lunghezza 2R e massa m, che pu ò ruotare in un piano verticale attorno al punto A (cento del disco). Il centro dell'asta è collegato ad un punto della circonferenza del disco da una molla di costante elastica k vincolata in un punto P posto sulla circonferenza del disco. Quanti sono i gradi di libert à del sistema?
2 = angolo di rotazione del disco + angolo di inclinazione dell'asta
Il sistema in figura è composta da una lamina rettangolare e da un'asta AB entrambe omogenee di massa m. L'asta AB pu ò traslare in direzione orizzontale, lungo il lato superiore della lamina rettangolare. Qual è la coordinata del punto A in modo che gli assi X e Y siano assi principali di inerzia?
risposta xA=-(3/8)L occhio al meno
Il sistema in figura è posto in un piano verticale e di compone di una lamina rettangolare omogenea di massa m e di un'asta omogenea AB di massa m e lunghezza l. La lamina è vincolata, tramite appoggi lisci, ad una guida orizzontale. L'estremo A dell'asta è vincolato, tramite un carrello, ad una guida verticale, mentre l'estremo B è incernierato alla lamina. Quali sono le forze che agiscono sul sistema?
risposta
Il sistema in figura è posto in un piano verticale. Le aste OA e OB sono omogenee, rispettivamente di peso p e q e di uguale lunghezza l. Sul carrello liscio B, posto sull'orizzontale passante per la cerniera O, è applicata una forza orizzontale F diretta verso O. Si prenda come coordinata libera l'angolo θ che OA forma con l'orizzonte. Come si pu ò determinare F affinch è il sistema sia in equilibrio per θ=30°?
Si può ottenere calcolando il momento delle forze rispetto ad A per l'asta AB.
Il sistema in figura si compone di un disco omogeneo di raggio R e massa m e di un contrappeso P di massa m ed è posto in un piano verticale. Il disco appoggia senza attrito su una guida orizzontale liscia. Il punto P è fissato ad un estremo di un filo inestensibile e massa trascurabile che si avvolge senza strisciare sulla circonferenza del disco e si appoggia senza attrito su un piolo posto ad altezza 2R dal suolo. Qual è la Lagrangiana del sistema, sapendo che l'energia potenziale è
=.̇^2+3/4'^ 2 ̇ ^2+.̇'̇ −1/20.^2+(.+').
Il sistema rappresentato in figura si pu ò muovere in un piano verticale ed è composto da due aste rigide di massa m e lunghezza 2l, collegate in A da una cerniera. L'asta OA è vincolata nel punto O, mentre l'estremo B dell'asta AB pu ò muoversi lungo l'asse orizzontale. I punti O e B sono collegati da una molla elastica avente avente k come costante elastica. I vincoli sono ideali. In questo caso possiamo affermare che:
le equazioni cardinali della statica sono necessarie ma non sufficienti.
Il sistema rappresentato in figura si pu ò muovere in un piano verticale ed è composto da due aste rigide di massa m e lunghezza 2l, collegate in A da una cerniera. L'asta OA è vincolata nel punto O, mentre l'estremo B dell'asta AB pu ò muoversi lungo l'asse orizzontale. I punti O e B sono collegati da una molla elastica avente avente k come costante elastica. Sapendo che nel punto B c' è attrito con coefficiente di attrito statico uguale a fs, con quale approccio possiamo determinare la posizione di equilibrio?
RISPOSTA Verificando i punti in cui il potenziale è stazionario.
Il sistema rappresentato in figura si pu ò muovere in un piano verticale ed è composto da due aste rigide di massa m e lunghezza 2l, collegate in A da una cerniera. L'asta OA è vincolata nel punto O, mentre l'estremo B dell'asta AB pu ò muoversi lungo l'asse orizzontale. I punti O e B sono collegati da una molla elastica avente avente k come costante elastica. I vincoli sono ideali. Sapendo che il potenziale delle forze attive è : U=-8kl 2 cos 2 θ+2mglsinθ, indicare per quale valore di θ il sistema è in equilibrio, nell'intervallo [0,π/2)
RISPOSTA θ=90°.
Il Teorema dell'energia cinetica afferma che per un sistema S di punti materiali soggetti alle forze Fi la potenza di tutte le forze interne ed esterne è uguale alla derivata dell'energia cinetica. Il Teorema dell'energia cinetica afferma che la potenza di un sistema S di punti materiali soggetti alle forze Fi è uguale alla derivata rispetto al tempo dell'energia cinetica Il vincolo di un disco che rotola senza strisciare su una guida fissa pu ò essere sostituito da reazioni vincolari. Quali?
Risposta
In assenza di attrito un disco su una guida fissa può solo strisciare In generale quante sono le oscillazioni proprie di un sistema? Sono pari al numero di gradi di libertà del sistema. In ogni istante esiste, ed è unico, un vettore ω, detto velocit à angolare del corpo rigido, tale che per ogni coppia di punti A e B del corpo rigido, le velocit à vA
e vB sono legate dalla relazione vB=vA+ω x (B-A)
In un piano orizzontale sono date due circonferenze di raggio R tangenti esternamente. Su ciascuna di esse vi è una massa m. Le due masse sono collegate fra loro da una molla. I gradi di libert à del sistema sono:
RISPOSTA 2
In un piano verticale due dischi omogenei concentrici di raggi R e 2R e di uguale massa ruotano con velocit à angolari diverse e in C una molla a spirale esercita una coppia di richiamo. Il disco di raggio 2R pu ò rotolare senza strisciare su una guida orizzontale. Qual è il valore dell'energia cinetica del sistema?
In un piano verticale, due punti A e B, di ugual massa, sono collegati da un filo inestensibile di massa trascurabile. Il punto A scorre su una guida orizzontale ed è collegato ad O da una molla di costante elastica k, mentre B scorre su una guida verticale. In assenza di attrito, indicare il valore corretto
della tensione t. RISPOSTA t=0.5(mg+kxA)
In un piano verticale, un'asta OA, omogenea di lunghezza l e massa m, è incernierata in O. L'estremo A dell'asta si appoggia senza attrito sul lato verticale BC della lamina quadrata BCDE, omogenea di lato l e massa M, che a sua volta è appoggiata senza attrito su un asse orizzontale passante per O. In fine, una molla di costante elastica k collega il vertice B della lamina alla cerniera fissa O. Determinare il valore di k affinch è il sistema rimanga in equilibrio con l'asta inclinata di π/3. sull'orizzontale.
1 = / √3.
In un piano verticale, il corpo rigido OAB (composto da due aste OA e AB omogenee rispettivamente di massa 2m e m, e lunghezza 2l e l, saldate ad angolo retto in A) è incernierato in O, mentre l'estremo B è vincolato da un carrello liscio sul lato verticale di una lamina quadrata omogenea, di massa M e lato 2l. La lamina è vincolata nei suoi vertici P e Q a scorrere su una guida liscia orizzontale passante per O. Una molla di costante elastica k collega P a O. Dire a quali condizioni l'appoggio della lamina sulla guida orizzontale è sempre garantita, sapendo che le reazioni vincolari in P e Q sono +=&2−(1+√38) e +<=&2+(1+√38).
L'appoggio in Q è sempre garantito, in P solo se M>(2+radq(3)/4)m, dove radq() indica la radice quadrata.
L'atto di moto rigido si dice rotatorio se esiste almeno un punto con velocità nulla L'atto di moto rigido si dice traslatorio se tutti i punti hanno ugual velocità L'energia meccanica di un sistema E=T-U è costante durante tutto il moto del sistema se le forze a cui è sottoposto il sistema sono conservative o la sua potenza è nulla L'esistenza di integrali primi del moto dipende in generale dal sistema di riferimento in cui si osserva il sistema La condizione necessaria e sufficiente di equilibrio è che il potenziale sia stazionario nelle condizioni di equilibrio se: il sistema meccanico è soggetto a vincoli ideali, fissi bilateri, olonomi e a sollecitazione attiva conservativa di potenziale U La definizione di momento di inerzia dipende dalla distribuzione delle masse e dall'asse rispetto al quale calcoliamo il momento d'inerzia La forza gravitazionale ha invariante scalare nulla La Lagrangiana di un sistema è data dalla seguente relazione dove x e s sono le coordinate libere. Determinare x(t) e s(t) supponendo x(0) = s(0) = 0, e atto
di moto nullo all'istante iniziale. x(t)=-(√3/42)gt^2 , s(t)=(2/7)gt^
La lagrangiana L è L=T+U (la somma dell'energia cinetica T e del potenziale U) La matrice di inerzia è semidefinita positiva quando la massa del sistema è concentrata lungo una retta La quantit à del moto sotto opportune condizioni è un integrale primo del moto La quantit à di moto totale di un sistema si conserva se la lagrangiana è invariante per traslazioni rigide arbitrarie di tutto il sistema in una direzione fissa
La relazione di attrito statico di Coulomb-Morin è soddisfatta fintanto che l'angolo che la relazione vincolare ∅ forma con la direzione normale è minore o
uguale ad un angolo limite αs= arctan fs
La relazione fra l'energia generalizzata e la Lagrangiana di un sistema di N punti materiali (mi,Pi) con n gradi di libert à e soggetto a vincoli olonomi, ideali e
bilateri, in cui le forze attive sono conservative e le coordinate libere q=(q 1 ,...,qn) è la seguente
La quantità =(,>), soluzione dell’equazione di Lagrange è un integrale primo del sistema di equazioni di Lagrange se =(,>)=! . La Risonanza di un oscillatore si verifica quando il termine forzante armonico ha una pulsazione uguale alla pulsazione propria dell'oscillatore libero La risultante delle forze esterne R(e) su un sistema S formato da N punti materiali mi e posizione Pi. è la somma delle forze attive e delle reazioni vincolari agenti sul sistema S. La risultante delle forze interne di un sistema S formato da N punti materiali di massa mi e posizione Pi è nulla La seconda equazione cardinale si semplifica se il polo rispetto al quale è scritta è un punto fisso La terna di vettori intrinseci (t,n,b) ha in generale derivata rispetto al tempo non nulla Le equazioni cardinali per un intero sistema sono al più 6 equazioni indipendenti. Le equazioni cardinali sono condizioni necessarie e sufficienti per il moto e l'equilibrio di un corpo rigido Le frequenze proprie ω di un sistema si determinano risolvendo una equazione polinomiale Le oscillazioni proprie (o caratteristiche) sono solo la conseguenza delle caratteristiche del sistema. Le reazioni vincolari interne di un sottosistema S' di un sistema S di N punti materiali sono incognite nelle equazioni cardinali di S'
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Nei casi piani la velocit à angolare di un corpo rigido è uguale, in modulo, alla derivata rispetto al tempo dell'angolo di rotazione del corpo rigido,
Nel caso di corpi piani e un sistema di riferimento avente il piano XY coincidente con il corpo, il momento principale di inerzia rispetto all'asse Z è :
Iz = Ix + Iy
Nel caso di un sistema soggetto a forze attive conservative e vincoli olonomi, ideali e bilateri, data l'equazione di Lagrange è possibile determinare completamente il moto. Nel caso di vincoli bilateri il Principio dei Lavori Virtuali afferma che il lavoro virtuale è nullo per qualsiasi spostamento virtuale
Nel piano verticale di figura, l'asta rigida AOB di forma "a L" ha massa trascurabile, lunghezza OA=AB=l ed è mantenuta fissa come in figura da un incastro in O. Sul tratto orizzontale AB è appoggiato, con un vincolo di puro rotolamento, un disco omogeneo di massa m e raggio r. Il disco ha il centro G collegato ad A da una molla di costante elastica k ed è soggetta all'azione di una coppia oraria di momento costante C. Usando l'ascissa x di G come coordinata
libera del disco e sapendo che , determinare le reazioni vincolari esercitate dall'asta sul disco.
RISPOSTA
Nel sistema in figura il carrello ha massa 2m ed è scorrevole senza attrito sulla guida orizzontale. su di esso rotola senza strisciare un disco di massa M e raggio R. Un'asta di massa m e lunghezza l ha un estremo C incernierato nel centro del disto e l'atro estremo appoggiato con vincolo liscio bilatero sul tratto verticale del carrello. Qual è il valore dell'energia cinetica dell'asta?
Nel sistema in figura il carrello ha massa 2M ed è scorrevole senza attrito sulla guida orizzontale. su di esso rotola senza strisciare un disco di massa M e raggio R. Un'asta di massa M e lunghezza l ha un estremo C incernierato nel centro del disto e l'atro estremo appoggiato con vincolo liscio bilatero sul tratto verticale del carrello. Qual è il valore dell'energia cinetica del disco?
Nel sistema in figura il carrello ha massa 2m ed è scorrevole senza attrito sulla guida orizzontale. Su di esso rotola senza strisciare un disco di massa M e raggio R. Un'asta di massa m e lunghezza l ha un estremo C inclinato nel centro del disto e l'altro estremo appoggiato con vincolo liscio bilatero sul tratto
verticale del carrello. Quali sono i gradi di libert à del sistema? xH e θ
Nel sistema di figura, posto in un piano verticale, i due dischi sono omogenei e hanno raggio R e massa m. Il disco di centro A rotola senza strisciare sulla guida orizzontale, mentre il disco di centro B si appoggia senza attrito sulla guida verticale e sul primo disco. Indicare il valore corretto del momento M sul disco di centro A tale che il sistema sia in equilibrio quando il segmento AB è inclinato di 45° rispetto l'orizzonte, sapendo che la reazione vincolare in E è uguale a mg per radice quadrata di 2.
RISPOSTA M=mgR.
Nel sistema di figura, posto in un piano verticale, i due dischi sono omogenei e hanno raggio R e massa m. Il disco di centro A rotola senza strisciare sulla guida orizzontale, mentre il disco di centro B si appoggia senza attrito sulla guida verticale e sul primo disco. Indicare il valore corretto delle reazioni vincolari nella condizione di equilibrio in cui il segmento AB è inclinato di 45° rispetto l'orizzonte.
RISPOSTA Φ?=−mg.
Nel sistema in figura, posto su un piano verticale, l'asta AB è vincolata tramite un pattino liscio in A a scorrere in direzione verticale mantenendosi sempre orizzontale. Utilizzando come coordinata libera l'angolo θ che l'asta BC forma con la direzione orizzontale, indicare quale delle seguenti espressioni è quella dell'energia cinetica del sistema.
risposta
Se si divide il sistema S in due parti S' e S" di masse totali m' e m" e baricentri G' e G", allora il baricentro G del sistema S è il baricentro di due punti materiali di masse m' e m" poste rispettivamente in G' e G" (ovvero nei baricentri di S' e S") Se un corpo è rigido le equazioni cardinali della statica sono sufficienti per l'equilibrio del corpo. Se un punto materiale è soggetto ad un impulso istantaneo F la quantità di moto subisce una variazione pari all'impulso della forza Si consideri il sistema rappresentato in figura. L'asta AB, omogenea di lunghezza l e massa m, ha gli estremi A e B che possono scorrere rispettivamente lungo gli assi verticale e orizzontale di un sistema cartesiano xy. L'estremo A dell'asta è collegato, mediante una molla di costante elastica k, ad un punto fisso C , posto sull'asse y ad una distanza l da O. Si possono assumere come lisci tutti i vincoli del sistema. Quanti sono i gradi di libert à del sistema?
Risposta 1
Si consideri un sistema nel piano verticale costituito da due aste omogenee ed uguali di lunghezza 2l e massa m collegate in B da una cerniera. L'estremo A dell'asta AB è fisso ad una altezza l da un asse orizzontale, l'estremo C dell'asta AC è vincolato al centro di un disco di massa m e raggio l che rotola senza strisciare sull'asse orizzontale. Qual è il valore dell'energia cinetica dell'asta BC?
risposta
Si consideri un sistema nel piano verticale costituito da due aste omogenee ed uguali di lunghezza 2l e massa m collegate in B da una cerniera. L'estremo A dell'asta AB è fisso ad una altezza l da un asse orizzontale, l'estremo C dell'asta AC è vincolato al centro di un disco di massa m e raggio l che rotola senza strisciare sull'asse orizzontale. Qual è il valore dell'energia cinetica dell'asta AB?
risposta
Si consideri un sistema nel piano verticale costituito da due aste omogenee ed uguali di lunghezza 2l e massa m collegate in B da una cerniera. L'estremo A dell'asta AB è fisso ad una altezza l da un asse orizzontale, l'estremo C dell'asta AC è vincolato al centro di un disco di massa m e raggio l che rotola senza strisciare sull'asse orizzontale. Qual è il valore dell'energia cinetica del disco?
risposta
Si definisce impulso della forza F il limite se esiste finito dell'integrale della forza F(t) nel tempo, valutato nell'intervallo [t 0 - t , t 0 +t]. Si definisce integrale primo del moto una funzione dipendente dalle coordinate e dalle velocità dei punti del sistema il cui valore si mantiene costante durante il moto Si definisce invariante scalare la quantità scalare I=R⋅MA
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Un corpo avente due piani di simmetria materiale ha il centro di massa G sulla retta di intersezione dei due piani Un corpo rigido è in equilibrio in una configurazione C se e solo se R(e)=0 e MA(e)= Un disco di massa m e raggio r rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo α uguale a 30° rispetto al piano orizzontale. Qual è il valore dell'accelerazione del baricentro del disco
risposta aG=(1/3)g
Un disco di massa m e raggio r rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo α uguale a 60° rispetto al piano orizzontale. Qual è il valore dell'accelerazione del baricentro del disco?
risposta aG=(1/√3)g
Un disco di massa m e raggio r rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo α rispetto al piano orizzontale. Qual è il valore corretto della potenza delle forze in gioco?
risposta Un disco di massa m e raggio r rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo α rispetto al piano orizzontale. Indicare l'espressione corretta della reazione vincolare nella direzione normale al piano inclinato
. RISPOSTA
Un disco di massa m e raggio r rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo α rispetto al piano orizzontale. Indicare l'espressione corretta della reazione vincolare nella direzione tangente al piano inclinato
risposta
Un disco di massa m e raggio r rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo α uguale a 45° rispetto al piano orizzontale. Indicare per quali valori del coefficiente di attrito statico è garantita la condizione di puro rotolamento.
risposta fs=1/
Un disco di massa m e raggio r rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo α uguale a 60° rispetto al piano orizzontale. Indicare per quali valori del coefficiente di attrito statico è garantita la condizione di puro rotolamento.
risposta fs = √3/
Un disco omogeneo di massa m e raggio R rotola su una guida orizzontale fissa. Sia H il punto di contatto tra disco e guida. Nel centro del disco agisce una coppia concentrata con momento C=-Ck. L'energia cinetica T nel caso in cui in H ci sia puro rotolamento è :
risposta T = ¾ mR^2 * teta ^2 esercizio 44.8 libro pg 235
Un disco omogeneo di massa m e raggio R rotola su una guida orizzontale fissa. Sia H il punto di contatto tra disco e guida. Nel centro del disco agisce una coppia concentrata con momento C=-Ck. La potenza della coppia C nel caso in cui in H ci sia puro rotolamento è :
risposta
Un vincolo è bilatero se è rappresentato da una relazione del tipo ƒ(r1,r2,...,rN;v1,v2,...,vN;t)=
Un vincolo è fisso se ƒ(r1,r2,...,rN;v1,v2,...,vN)≥0 occhio nella formula non ci deve essere la t alla fine
Un vincolo è olonomo se è possibile trovare una relazione ƒ(r1,r2,...,rN;t)≥0 che lo traduce e che dipende solo dalle coordinate dei punti ri e non dalle loro velocità. Una asta omogenea oscillante di lunghezza 2l è mobile in un piano verticale con un estremo vincolato ad una parabola di equazione y=ax 2. Quanti sono i gradi di libert à del sistema? 1
Una cerniera interna ad un sistema, che vincola fra loro due aste, pu ò essere sostituita da reazioni vincolari. Quali?
Una qualsiasi reazione vincolare priori non può supporsi conservativa Una reazione vincolare è la forza che il vincolo deve esplicitare sul punto per mantenerlo vincolato
Nel sistema in figura, che è disposto in un piano verticale, la sbarretta rigida AB di lunghezza ` e massa m è
incernierata, ad un terzo della sua lunghezza, nell'origine del sistema di riferimento inerziale O ( x; y ). Ad essa sono
applicate: una coppia di momento costante M, e una molla con costante elastica k e lunghezza a riposo trascurabile,
che collega l'estremo A ad un punto materiale P di massa m scorrevole senza attrito sull'asse x. Al punto P μe
applicata una forza costante F = Fi
1. Determinare la posizione di equilibrio xe del punto P e il valore che deve avere il
momento M della coppia, perche la sbarretta si trovi in equilibrio per J e =p
RISPOSTA
2. Determinare la condizione che deve essere soddisfatta dalla forza F per assicurare la
stabilita della configurazione di equilibrio ( J e; xe ) determinata al punto precedente.
3. Scrivere le equazioni del moto del sistema.
4. Calcolare tutte le reazioni vincolari in un generico istante di moto.
Calcolare la velocità del baricentro in funzione dell’angolo teta
DOVREBBE ESSERE
Determinare la lagrangiana del sistema NON TROVATA
ENERGIA CINETICA + ENERGIA POTENZIALE
DETERMINARE IL POTENZIALE
ESERCIZIO VEDI DINGEN.PDF
In un piano verticale, un disco omogeneo di centro C , massa m/ 4
e raggio R `e incernierato senza attrito in un punto fisso O della sua circonferenza.
Sul diametro passante per O si muove senza attrito un punto materiale P di massa
3 m/ 5 , attratto verso C da una molla ideale di costante elastica k = 2mg/R.
ENERGIA CINETICA
POTENZIALE
Determinare il potenziale di un pendolo , di massa M e lunghezza L vincolato a muoversi nel piano XY con asse X positivo rivolto verso il basso. Si assuma come coordinata libera l’angolo B formato dal pendolo con l’asse X misurato posistivo in verso
antiorario. U = M g (L /2 ) cos teta + costante
