G. S CANDOLO NOTA SU LL A SEZI ON E 3.4
Nella Sezione 3.4 vengono discusse le rendite (annuali, posticipate) con rate in progressione
geometrica, ovvero tali che Rn=q Rn−1in termini di una ragione q > 0.
Se introduciamo il tasso di variazione percentuale g(g > −1), di modo che
q= 1 + g
abbiamo che: q > 1(rate crescenti) se e solo se g > 0;q < 1(rate decrescenti) se e solo se g < 0;
q= 1 (rate costanti) se e solo se g= 0. Inoltre, le formule presenti a pag. 82 possono essere
riscritte in termini di g. In particolare, ricordando che v= (1 + i)−1, la (3.8) diventa:
V=R1
q
N
X
n=1
(qv)n=R1
1 + g
N
X
n=1 1 + g
1 + in
Vogliamo ora introdurre un nuovo tasso i∗di modo che
1
1 + i∗=1 + g
1 + i
Attraverso semplici passaggi algebrici otteniamo
i∗=i−g
1 + g
Tornando a Vabbiamo quindi
V=R1
1 + g
N
X
n=1 1
1 + i∗n
,
ma la sommatoria non `
e altro che il valore attuale di una rendita (annuale, posticipata) unitaria di
Nrate al tasso (modificato)i∗. Possiamo quindi scrivere (se i∗6= 0)
V=R1
1 + gaN|i∗(1)
Notiamo che questa formula coincide con l’ultima della pag. 82 (pur di sostituire qcon 1 + g),
ma `
e pi`
u facile da ricordare. Possiamo poi introdurre una rata iniziale ”fittizia” R0, di modo che
R1= (1 + g)R0; la formula (1) si semplifica e diventa
V=R0aN|i∗i∗=i−g
1 + g
In altre parole: possiamo usare la classica formula per le rendite posticipate, pur di utilizzare R0
come rata (”fittizia” ma immediata da calcolare: R0=R1/(1 + g)) e i∗, dato nell’uguaglianza
di cui sopra, come tasso.
Se i∗= 0, ovvero se g=i, allora banalmente V=R0·N(che coincide con la prima formula
a pag. 83, essendo R/(1 + i) = R1/(1 + g) = R0)
L’uguaglianza che d`
ai∗in termini di ieg`
e identica, a meno di rinominare le variabili, a quella
che fornisce il tasso di interesse aggiustato per l’inflazione, nota in Economia come equazione di
Fisher (v. pag. 119).
Per quanto riguarda le rendite perpetue, abbiamo due casi distinti (trattati nel Paragrafo 3.4.2):
1
