Numeri complessi, Appunti di Analisi Matematica I

Scarica Numeri complessi e più Appunti in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity!

NUMERI

COMPLESSI

NUMERI

COMPLESSI

NUMERI

COMPLESSI

.

Motivazioni

(

algebrica

)

Consideriamo

queste equazioni

✗

soluzione

✗

= 1- C- IN

✗

+4=

soluzione

✗

=

-1€

E

2x

= 1

soluzione

✗

=

§

E ☒

✗2= soluzioni

✗

±

52 E IR

ha soluzioni in

IR

Ho

Introduciamo

un

nuovo numero

non in

TR) !

tale che

li

)

Chiamiamo i

UNITA

'

IMMAGINARIA

Denotano con il simbolo

E

l'insieme costituito

dagli

elementi

di

tipo

a

• ib dove a EIR e be

IR

C- =

{

z

= a

• ib :

a.

b

EIR

}

Se

2-

= a

+ ib

E

denotano con

Re

Cz)

=

a

→

parte

reale

di Z

I m

Cz )

= b

→

parte

immaginaria

di Z

A. B.

In CZ

)

e

'

un numero

reale

Osservazione

≤ E

infatti

se ✗

EIR

posso

scrivere

✗

= ✗ +

i. 0

1-

2-

= a + ib EIR

InG)

=D

IR

è sottoinsieme

di 6

Vogliamo

dare a ¢ una struttura di

campo

(cioè

definire

le

che

verifichino

Ri e R2)

OPERAZIONE IH E

Somma

→ Se 2-

= a

ib e Z

'

=

a

'

ib

'

C-

2-

E

'

=

(a

i

b) + la

'

• ib

'

Èstata

'

ti/

btb

'

Osservazione

:

Re

ztz

'

=

Re Cz

Relè

1m (ztz

'

) = In

(e)

• 1m (z

'

LEZIONE

4 07110

i

=

-1 idea

fondamentale

¢

=

{ a

ib : a .be/R}

SOMMA

E

= a

ib E

'

=

d'

ib

'

2-

E

'

(a

a

'

i(

b

b

'

)

PRODOTTO

2- = a

ib E

'

= a

'

• ib

'

E

'

=

(a

ib). ( a

'

ib

'

l'

2=-

aa

'

iab

'

• icib +

⑤

bb

'

= aa

'

bb

'

i (ab

'

a

'

b)

.

Quindi

definiamo

7.z

'

Ésaa

'

• bb

'

i

Ca'

b

• ab

'

la somma

e

il

prodotto

su ¢

appena definiti soddisfano

la

proprietà

COMMUTATIVA ,

ASSOCIATIVA e anche

DISTRIBUTIVA

.

⑦

cemento neutro

di ¢

per

la somma

.

Infatti

: Kz

=

a

-1 ib

2-

+0 =

( a +

ib) +

(o + io

a

-10 +

i

b-10)=

a

• ib = z

z

= a

• ib E

definiamo

2-

%

(

a)

• i

C-

b) e

vediamo che

e-

C-

E)

=

a

i

b)

• a) +

il- b)

(a

a)/

• i

(b

• C-

b)

=

☐

io=D

2- = a + ib E

¢ z

2- E ¢ : z

E)

= 0

( e

'

garantita

l' esistenza dell'

opposto

⑦

1-

io

V7 =

a

• ib 2.

=

lati

b)

(

1-+ io

a +

ib

i

izlb.rs#-a+ib=z

Quindi

⑦

= 1-

io e

'

elemento neutro in

per

il

prodotto.

OSSERVAZIONE

:

IR

E

infatti

se

a EIR

a+ i.

0

È a

C- ¢

Sia 2-

C-

€

\

{

} cioè

z

= a.

ib

a.

b)

=/ ( 0,

Domanda : 3-

z

• a

C-

€

: z

.

z

-1=1?

DEFINIZIONE

:

✗ = a

• ib E ¢ si dice CONIUGATO

di

Z

il numero

complesso

E

=

a-

ib

OSSERVAZIONE

:

2-

.

E

=/a

i

b)

( a

ib)

=

a

'

☒

=

=

a

2

• bz (

c- IR

)

se

z

z

.

E = ci+

bz

> 0

a +

ib

Torniamo alla domanda

sul

reciproco

se a

• ib

O il

reciproco

sarà

¥

ib

;

{%ya

=

=

=÷bÈ

moltiplico e

divido

per

E- =/

O

RECIPROCO

RISPOSTA

:

V

=

a + ib

E ¢ 1 {

}

z

"-

=

a

aj

,

tale

che E.

è

1=

ato

i

b

ESERCIZIO

:

2-

i

2-i

Ei

= =

re

=

E

=

È

Èi

CONTROPROVA

:

(

zii

)

(

§

fi

)

=

1

?

FORMA TRIGONOMETRICA

Rappresentazione

cartesiana di

ZE ② z

=

a

ib dove

a

C- IR BEIR

Posso

identificare

2- =

a

ib

con

la

coppia

ordinata

a

,

b)

ERI

parte

→ 4 a

immaginaria

b-

'

RL

e

'

una

"

copia

"

di €

z

' S

a

✗←

parte

reale

2-

= a

+ ib C- IR

b

= O

l' asse

✗ viene detto

ASSE REALE

l'asse

y

viene detto

ASSE

IMMAGINARIO

y

^

z

jagxortt

×

>

Chiamo MODULO di z

la distanza

di Z dall'

origine

(0,

)

.

^

①

=

angolo

tra il vettore (

op

)

a z

e

il semiasse

positivo

della ✗

in senso

antiorario

i

:p

'

l

>

i.

.

.

Il modulo

di

2- viene denotato con il

simbolo lzl

L'

angolo

②

( teta) viene detto ARGOMENTO di

2-

e

'

denotato

con

arg

(7)

b- 1

e

arg

(Z

si dicono

COORDINATE

POLARI

2-

=

( a.

b)

← COORDINATE CARTESIANE

come si

passa

dalle coordinate

polari

a

quelle

cartesiane

?

^

p

=

/ ZI

b

←

p

• • →

2-

=

org

( z

)

io

!

>

P

b pz

=

a

>

+ bz

p

= / zl

=a2tbT

%

a

=p

.

cos

@ = aztbit COSO da

polari

a cartesiane

b

=p

seno =aztbrtse.no

Come

si

passa

dalle coordinate cartesiane a

quelle polari

Supponiamo

di conoscere a e

b ( coord .

Cartesiane

/ z

=p

=

Àb @

=

argcz

) e

'

tale che

a

=p

coso

b

=p

sino

caso

=

=§→-

sino =¥bz

pp

'

[ (

coso

coso

'

• sinosinoil-ikosocs.in

sinocoso

)

pp

'

[

casco

'

Isin

( o

'

)

/

1. Z

'

/

=

pp

'

=

lei

E

'

/

argczz

'

=

@ + O'

=

arg

(e)

argcz

'

)

analogamente

se 2- =/

0

2 € ,

=

z

.

G-

'

T'

=

§

,

( casco -

'

) + isinco

'

)

)

se ne

/NI

{

o

}

zn

=p

"

cos

( ng)

isin

(no)

)

si dicono

FORMULE di DE

MAIORE

ESERCIZIO

:

1+1-

=

?

tradurre da coord.

cart .

a coord .

polari

^

11+1-1=1%2--

arg

(

tti

=

1 ¥

→

in radianti

1-ti

>

Cycas

i

sine

)

b

(

Ati)

=/ E)

( cos

/ 7.kz/+isin(

7

.

=

(E)

?

E. (E) 6=

.

23=

cos

/

ftp.cosffI

)

È

-1217=7--

cos'

È

cosl-It-f-l-sinE.fi

Sinf

=

È

(

Ati )

>

=/

EH

cos

[

Ti +

isin

¥

IT

)

=

/ f-

i

/

-1g

))

=

8 -8i

RADICE n

ESIMA

sia m E

IN 1 {

0

}

si

dice che Z E ¢

e

radice n

esima di

WE

se

zn

= W

TEOREMA

:

sia WE E

I {

o }

e

sia n

E IN

\

{

0

} .

Esistono

esattamente

n radici n

• esime

complesse

Zo

,

Zi

,

Zz

,

...

,

Zn di W .

Più

precisa

mente

. posto

W = r ( cos

④

i

sind

e ZK

=

PK

(

cos conti

sin On

tifi

K =D

,

...

,

n

1

risulta

PK = r

F-

(= Tr

)

Gn

=

K

=D

,

.

...

,

n

n

DIMOSTRAZIONE

( inizio)

:

W

=

r

(

cos

f

ti

sind

)

7-

=p

cos

o

• i sin 0

)

è radice n

• esima di

W

È

zn

= W

ph

(

cos(

n 8) +

i

sin

(no) =

r ( cos

Y

i sin

f)

pn

=

r e n

2kt

con

KE

<

p

= r

¥

e

=

Parità

con KETI

Quante sono

le radici di

W?

Sono infinite

,

poiche

'

e

'

infinito

Oppure

sono

esattamente come

dice

il

teorema

ESERCIZIO

:

Trovare le radici

complesse

cubiche

di

ha esattamente

radici in

e

sono Zo

= 1-

tipo

= -

e 2-2=

its

di

queste

una

(2)

e

'

reale e le altre no

ESERCIZIO

2

:

trovare

le radici

quadrate

di

1

i-1-fcosf.is

in

)

pè

ZK

=

PK

(

cos Ok

• isin

Ok

)

PK = 51=

K

• Ok

=

È

=

È COSÌ

=

fà

sin

[

=

%

zo

= 1-

(

COSI

isin

¥

)

=

¥

if

K-

Osi

È¥

=

È

-11T

=

¥

IT

¥+

=

£ 17

¥ 1

£

i !

z

,

(

cos

01 -1 isin 01 )

=

¥

_

i

Notiamo che

Infatti

(Za)

'

=

i

za

)

2

=

zz

=

i

FORMA

TRIGONOMETRICA

2-

=

a

• ib

z

=p

(

caso +

i sinc)

FORMA ESPONENZIALE

se OEIR

li

È

cascati sino

Z

=p

e

io

e

✗ +

IY

con

✗

C-

IR

e

YEIR

e

✗ +

iy

e

✗

cosy

isìny

)

Formula di Eulero

In

particolare

:

7-

=p

e

io

e

zi

=p

'

e

io

z

.

E

'

=

pp

'

e

il• +

"

dalla

formula

di

De Moiure

TEOREMA FONDAMENTALE Dell'

ALGEBRA

Un'

equazione

polinomiale

Go

.

.

. anzn

= O

con GO.az.

.. an

E €

e

an

¥ 0

ha

precisamente

n radici

complesse

in

€

se

ognuno

di essa e

'

contata

con la sua

molteplicità

.