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NUMERI
COMPLESSI
considera l'
equazione
✗2--
,
la quale non
ha soluzioni razionali
,
Allo stesso
modo ✗
2=-1 non ha soluzioni reali
.
Numeri complessi permettono
di
allargare
anche
l'
insieme R cosicché
l'
equazione
algebrica
possa
essere
risolta .
sia e
= R2 =
{
×
, y
) /
xiy
ER
}
l' insieme delle
coppie
ordinate
Xiy
di numeri reali
E
insieme dei
numeri
complessi
muniti
dell' operazione
di
:
{
somma : (Aib
) +
(Cid)
a + Ci b.
d)
[
prodotto
: (
Aib
(
cc
,
d)
=
(AC
bd
,
da
)
tabiCid
ER
verificano le proprietà commutativa ,
associativa
,
distributiva
a
,
b)
=
aib fa ,
=
opposto
di
(
a
/ b)
I.
prodotto
neutro della
somma
(Aib)
.
(1,
=
aib (
a-
)
Prodotto
neutro
per
il prodotto
jkbiabtbi
teatro
all'
dib
rosato
campo
Al R
Il sottoinsieme di
definito
darti
{
✗
iy
E
CI
y
}
è
isomorfo a
R
←
i numeri reali
✗ sono i
stessa
forma
numeri
complessi
(
aio
)
↓
{
✗ io
) EÀ
→
✗ ER
Rappresentazione algebrica
il
=
unità
immaginaria
(
il più noto)
è
=
i.
i
=
(
0
/
( 011 )
=
C-
110
)
→
il suo quadrato
è
un numero
negativo
ila
,
b)
=
(
di b)
)
=
(
b
,
a)
Possiamo
identificare
i
Con
I
r
'
(Aib
)
=
(
dio)
-11011)
.
(
bio
)
=
atib
ttt
E ¢
forma
algebrica
dei numeri
complessi
componenti :
a-
parte
reale del numero
complesso
t Rect
anche
b è un
numero
reale
)
←
D=
parte
immaginaria
Ymlz
)
la
somma
e
il
prodotto
dei numeri complessi obbediscono alle
regole
tradizionali
informa
algebrica
evito
deusarlldlll
dell' aritmetica
:
operazioni
scritte
auiinitie
=
a
tib 2-
'
Ctia
2-11-
=
atib-c-id-atc-ilad.be)
2-
zz
lati
b)
(
(
id
=
actiad + ibc - ba
ac
I
il
=
=
IIII
.
Life
=
ac-iaa-ib-c-ba-ac.ba +
i baja
è
'
C' td
'
cita
'
la parte reale e
immaginaria
soddisfano ueseepuenti
proprietà
C-
Ritter
E
num.
Altri -
=
Retti)
Retti
;
Relata)
=
diletti)
reale
2 .
Ymltiitti)
=
Ymlzn
Ymltl) ;
YM
(
dtt )
LYM 1711
3
.
ti
Retti)
=
Retti
) a YMLZ1)
=
Imita
piano
di Gauss
siccome E-
R
'
nel
piano
cartesiano
poniamo
in_ c.
a tib come
i
punti
di coordinate
Aid
✗yrnlb
(ai
b)
'
a
ib
È (a)
ib
=
E
I
coniugato
=
praticamente
il
punto
simmetrico all' asse reale
tiw
e ¢
,
ÌER Abbiamo le
seguenti
proprietà
:
1 . ztw
=
E
±Ù
.
..
2 .
z.tv
=
I. vi
6-
Rect
=
RELE)
;
YMLE )
= -
ymlz
)
3 .
È
= À
.
E
= ☒E
7 '
2-
C- R >
2-
=
È
(stesso
valore Reale
u
.
☒
=
¥
8 .
Rett
)
7 ¥
Ymlt)
Z
È
un
2- + I
la
=
aretz
È
2-
E
=
2bi-2iyml.it
)
Oetib
= a
a
b- 0
2-
=
È
Rappresentatione
trigommarica
polare
e
betre aue
coorainate cartosiane
, ipumt
dosson
essece indinionati aaneloro
coordinate poiaei
:
5 5
r0"
raggio
poace
distorta trail punto
evorigine
cilmoaulo
)
O-
angow
pocare
tro l 'assedeue
ascisse
positive
§ eil
raggio ,
misurato
insenso antiorario
bnéunicomente I
.
definito peccne
OT ZK 4
misurato
inradianti
fornisce
costessopunto
Lfissando
mintercanlo
angoere
ai
ompietta
241 uniamerems
"
argomento
principale
dit
"
CarglzD)
vamgow
bolace o
che appactiene aquesto
intecalo L0,24 0-T 143 I
L
x
GMLtJ
l öd
"
}
Re
(z)
relationitra le coordinate pocaci
(
S,8) equeue
cariesione
(
XIY)ER
SCE
)-TThtys
s
COSO
:T
Rtys
Seno
tant
X
y
sent
3
z-xxey-
9
cst
tigsent
:
9
lcst
risent
)
formatrigonometrica
dei
numericomplessi
formula diEuleeo
il
cose
teer
.
e
!....
O
2,718..
exlimnstgLftqJn
Deil jn eien
cosne
)
risencres
Formula dibe
moiure
D
eileto
)
eie. eti
27-
(
eigjn,
9"
(cosinø)t
isenmol
)
ly
Z
cost
tiseno
)- Sei
formuna polace
dei
numericompless
proprietài
21-
Sucile
7
ESzeier
D arg
(zizis-drgte
targzz
ly
2172-
9,
52 e 4 gilz.
eillre
,)
larglzezzs
Darglt
):
argte
argtz
Z
1 z2"
95,
e
14
eie
2
9,,,
eill
1-e2)
Deil
440-ei9. e
it
La
rapprexentatione in forma
pocare deinumeri complessi
eadatia
pee
calcolare
ce radici nesime
aimaceeminato n .c.
TEOREMA
:
~
sia WECe ns naturale
isewo
l
'unice
solutione in
a
di
E
7-w
ez
2
sewto
z
7-w
na
nesime radici
complesse
distinte aateda
zr
conk {on.... n - e
}
bimostrationi
Z
= geit
con 50
e
o 24
z
1+w
57
gnpion
whelargews
s
ww
zn
winforma paare
prendo
imsduei
:
greion
w.
18"
leith)
Iwl
int
:-- -
10 t
tisenol
8711 wI
Teorema fondamentale dell'
Algebra
un'
equazione
polinomiale
della
forma
ad
Oh
az
È
... . dnt
"
= 0 Con
Arial
,
an
E CI Canto
ha esattamente
n
.
Soluzioni
distinte
in E se opnuna
di
essi vienecontata
nella sua molteplicità (
=
.se
si ripete 2 volte
)
↓
in particolare
t
"
=
w
Eserciti
pg
1dg
(
es)
