numeri complessi ANalisi 1, Appunti di Analisi Matematica I

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Numeri Complessi

S. Benini, M. Dalai Esercitazioni di Teoria dei Segnali, A.A. 2010- Universit`a degli Studi di Brescia

ρ

y

−y

−x

Im

Re

z=x+jy

x

−z=−x−jy z=x−jy

θ θ θ

ρ

ρ

Figure 1: Rappresenzazione dei numeri complessi z, ¯z e −z. Formula di Eulero. La piu importante relazione da ricordare, da cui discende tutto il resto,e che per θ ∈ R si ha ejθ^ = cos θ + j sin θ (1) Un numero z ammette quindi due rappresentazioni, z = x + jy e z = ρ exp(jθ), dove { (^) x = ρ cos θ y = ρ sin θ e

ρ = √x^2 + y^2 θ =

{ (^) arctan (y/x) se x > 0 arctan (y/x) + π se x < 0

Posto z = x + jy = ρejθ^ si ha z¯ = x − jy = ρe−jθ^ (3) |z|^2 = z · z¯ = x^2 + y^2 = ρ^2 (4) 1 z =

ρejθ

= ρ−^1 e−jθ^ = (^) |zz¯| 2 = (^) xx 2 −+^ jy y 2 = (^) x (^2) +x y 2 − j (^) x (^2) +y y 2 (5) zn^ =

ρejθ )n = ρnejnθ^ = ρn^ cos nθ + jρn^ sin nθ (6)

Inoltre, per la somma e il prodotto tra due numeri complessi, valgono le usuali regole algebriche.

1

1.^

2

2.^

3

3.^

4

4.^

5

5.^

6

!^1

!0. 0

(^1) 0.8 0.6 0.4 0.2 (^0) !0.2 !0.4 !0.6 !0.8!^11

t

Re

Im

x(t) Re(x(t)) Im(x(t))

Figure 2: Esponenziale complesso x(t) = ej^2 πf^0 t