Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria 2021/2022 L. C. Garc´
ıa-Naranjo, G. G. Giusteri
Numeri Complessi
Riferimenti
Teoria: Cantarini pp. 1–16; Bottacin Appendice.
Esercizi: Novelli pp. 51–63
Quesiti must-know
Teorici
1. Si diano le definizioni di gruppo,gruppo commutativo, e campo.
2. Quali operazioni sono definite sull’insieme Cdei numeri complessi? Che propriet`
a hanno?
3. Qual `
e il pi`
u grande sottoinsieme di Cche `
e gruppo rispetto all’operazione di prodotto?
4. Quali sono gli elementi neutri rispetto a somma e prodotto di numeri complessi?
5. Si definiscano il modulo e l’argomento di un numero complesso.
6. Si elenchino le propriet`
a del coniugio.
7. Si enunci il Teorema Fondamentale dell’Algebra.
Pratici
8. Dato un numero complesso z(in una qualunque rappresentazione) calcolare z,|z|,Arg(z)(in casi semplici).
9. Dato un numero complesso in una rappresentazione qualunque (algebrica, trigonometrica o esponenziale) deter-
minarne la forma nelle altre due rappresentazioni, in casi semplici.
10. Dato un numero complesso zidentificarlo rappresentarlo sul piano di Gauss.
11. Dato un numero complesso z6= 0 calcolare zn, per nintero (positivo e negativo).
12. Dato un numero complesso z6= 0 calcolare i molteplici valori di n
√z, rappresentandoli nel modo pi`
u conveniente.
13. Dati due numeri complessi z1ez26= 0, calcolarne somma, differenza, prodotto e quoziente e, quando possibile,
rappresentare tali operazioni nel piano di Gauss.
Ulteriori quesiti per l’autovalutazione
Teorici
14. Si elenchino le propriet`
a del modulo.
15. Si dimostri che se α∈C`
e radice del polinomio P(z)a coefficienti reali, allora anche αlo `
e.
16. Si dimostri che ogni polinomio P(z)non costante a coefficienti reali si scompone in fattori irriducibili a coefficienti
reali di primo e secondo grado.
Pratici
17. Saper calcolare il risultato di un’espressione di numeri complessi.
18. Decomporre in fattori irriducibili alcuni semplici polinomi a coefficienti in R.
19. Trovare tutte le radici complesse di alcuni semplici polinomi.
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