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1.4. NUMERI COMPLESSI 21
1.4 Numeri complessi
In questa sezione introdurremo l’insieme dei numeri complessi, denotato con
il simbolo C. Ci sono vari modi per definire un numero complesso, utilizze-
remo la definizione di volta in volta piì conveniente. Per una introduzione
storica alla definizione di numero complesso rimandiamo a testi specializzati.
1.4.1 Rappresentazione geometrica dei numeri complessi
Iniziamo con la definizione più intutiva, quella geometrica:
Definizione 1.4.1. Un numero complesso z = (x, y) è un punto nel piano
di coordinate cartesiane x e y rispettivamente.
La prima coordinata viene chiamata parte reale e viene indicata con
Ÿ z = x,
la seconda coordinata viene chiamata parte immaginaria e viene indicata
con
⁄ z = y.
Inoltre, chiameremo l’asse orizzontale del sistema di riferimento, asse rea-
le , mentre quello verticale, asse immaginario.
z=(x,y)
x
y
Asse reale
Asse immaginario
Figura 1.4: Rappresentazione geometrica di un numero complesso come
punto nel piano.
è im portante sottolineare che sia la parte reale che la parte immaginaria di
un numero complesso sono numeri reali:
Ÿz, ⁄z œ R.
Possiamo quindi introdurre la seuente definzione:
22 1. INSIEMI NUMERICI
Definizione 1.4.2. L’insieme dei numeri complessi è definito nel seguente
modo
C = {z = (x, y) : x, y œ R}.
Possiamo identificare l’insieme dei numeri reali R come sottoinsieme di C,
per esempio nella seguente maniera:
R = {z = (x, y) œ C : y = 0}.
Possiamo quindi introdurre la relazione generale di unclusione tra gli insiemi
numerici che abbiamo visto finora:
N μ Z μ Q μ R μ C.
Utilizzando la rappresentazione geometrica possiamo introdurre due opera-
zioni di somma e prodotto.
Definizione 1.4.3. Consideriamo due numeri complessi z 1 = (x 1 , y 1 ), z 2 =
(x 2 , y 2 ) œ C_. Definiamo:_
Somma di numeri complessi :
z 1 + z 2 = (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ).
Prodotto di due numeri complessi :
z 1 · z 2 = (x 1 , y 1 ) · (x 2 , y 2 ) = (x 1 x 2 ≠ y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ).
Non forniremo in questo contesto i dettagli sule proprietà di tali operazioni.
La rappresentazione geometrica è intuitiva e semplice, mentre per i calcoli
sarà conveniente utilizzare altre rappresentazioni per le quali forniremo tutti
i dettagli necessari.
Nel caso della rappresentazione geometrica, la somma di due numeri com-
plessi è semplicemente la somma di due vettori: la parte reale (coordinata
orizzontale) di z 1 + z 2 sarà la somma delle rispettive parti reali (coordinate
orizzontali) di z 1 e z 2 e la parte immaginaria di z 1 + z 2 sarà la somma delle
rispettive parti immaginarie (coordinate verticali) di z 1 e z 2 (vedere figura
1.5). Il prodotto, invece, non è di facile comprensione in questo contesto.
Più avanti (nella sezione riguardante la rappresentazione esponenziale) ne
daremo una semplice interpretazione geometrica.
1.4.2 Rappresentazione algebrica dei numeri complessi
Introduciamo l’ unità immaginaria , i, cioè un numero complesso che sod-
disfa la seguente proprietà:
i
2 = ≠ 1.
24 1. INSIEMI NUMERICI
Anche in questo contesto, il prodotto di nuemeri complessi appare di di cile
comprensione. Tuttavia, ricordando la definizione di unità immaginaria, cioè
che i^2 = ≠ 1 , possiamo procedere semplicemente nel seguente modo:
z 1 · z 2 = (x 1 + iy 1 ) · (x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i
2 y 1 y 2
= x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 ≠ y 1 y 2 == (x 1 x 2 ≠ y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + y 1 x 2 ).
Nota. L’unità immaginaria può essere introdotta anche nel caso della rap-
presentazione geometrica. In tal caso si ha:
i = (0, 1).
Nota. è importante osservare che due numeri complessi z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 =
x 2 + iy 2 œ C sono uguali se e solo se
Ÿz 1 = Ÿz 2 , cioè se x 1 = x 2 ,
e
⁄z 1 = ⁄z 2 , cioè se y 1 = y 2 ,
In altri termini, due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno sia
parte reale che parte immaginaria uguali.
Esempio 1.4.1. Calcoliamo il prodotto dei numeri complessi z 1 = 1 + 3i e
z 2 = ≠5 + 2i_._
Si ha:
z 1 · z 2 = (1 + 3i) · (≠5 + 2i) = 1 · (≠5) + 1 · (2i) + (3i) · (≠5) + (3i) · (2i)
= ≠5 + 2i ≠ 15 i + 6i
2 = ≠5 + 2i ≠ 15 i ≠ 6 = ≠ 11 ≠ 13 i.
L’insieme dei numeri complessi (C, +, ·), assieme alle due operazioni di som-
ma e prodotto definite, è un campo. Vediamo in dettaglio le proprietà di
campo di C.
Proprietà commutativa
Per ogni coppia di numeri complessi z 1 , z 2 œ C si ha:
z 1 + z 2 = z 2 + z 1 ,
z 1 · z 2 = z 2 · z 1.
Proprietà associativa
Per ogni terna di numeri complessi z 1 , z 2 , z 3 œ C si ha:
z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 ,
z 1 · (z 2 · z 3 ) = (z 1 · z 2 ) · z 3.
1.4. NUMERI COMPLESSI 25
Esistenza dell’elemento neutro
Esiste un unico numero complesso denotato con 0 œ C (elemento neutro
della somma) tale che:
z + 0 = z, per ogni numero complesso z œ C.
Esiste un unico numero complesso denotato con 1 œ C (elemento neutro del
prodotto) tale che:
z · 1 = z, per ogni numero complesso z œ C.
Esistenza degli inversi
Per ogni numero complesso z œ C esiste un unico elemento (chiamato
opposto di z), denotato con ≠z, tale che:
z + (≠z) = 0.
Per ogni numero complesso z œ C diverso da zero, z ”= 0 + i 0 , esiste un unico
elemento (chiamato reciproco di z), denotato con
1 z o con^ z
≠ (^1) , tale che:
z · z≠^1 = 1.
Proprietà distributiva
Per ogni terna di numeri complessi z 1 , z 2 , z 3 œ C si ha:
z 1 · (z 2 + z 3 ) = (z 1 · z 2 ) + (z 1 · z 3 ).
Come abbiamo fatto per i numeri reali, anche per i numeri complessi intro-
durremmo le operazioni di sotrtrazione e divisione utilizzando la somma e il
prodotto. In particolare si ha:
Definizione 1.4.6. Sottrazione di numeri complessi
Per ogni coppia di numeri complessi z 1 , z 2 œ C si ha:
z 1 ≠ z 2 = z 1 + (≠z 2 ).
Divisione di numeri complessi
Per ogni coppia di numeri complessi z 1 , z 2 œ C , con z 2 diverso da zero, si
ha:
z 1
z 2
= z 1 · z≠ 2 1.
A questo punto occorre vedere in dettaglio come si costruisce l’opposto ed
il reciproco di un qualunque numero complesso (diverso da zero nel caso del
reciroco).
Definizione 1.4.7. Per ogni numero complesso z = x + iy œ C il suo
opposto è dato da
≠z = ≠x ≠ iy.
1.4. NUMERI COMPLESSI 27
Esempio 1.4.2. Calcoliamo in dettaglio il reciproco del numero complesso
z = 1 ≠ i_._
Utilizziamo la definizione di reciproco:
z · z≠^1 = 1.
Se scriviamo il reciproco come z≠^1 = a + ib allora la precedente espressione
diventa
z · z
≠ 1 = (1 ≠ i) · (a + ib) = 1.
In dettaglio:
(1 ≠ i) · (a + ib) = (a + b) + i(b ≠ a) = 1,
da cui
a + b = 1, e b ≠ a = 0.
La soluzione del sistema è data da
a = b =
che corrisponde al punto
z≠^1 =
La formula ovviamente ci da lo stesso risultato:
z≠^1 =
x
x^2 + y^2
≠y
x^2 + y^2
(1)^2 + (≠1)^2
(1)^2 + (≠1)^2
Più avanti vedremo una formula più semplice epiù facile da memorizzare per
calcolare il reciproco di un numero complesso.
Introduciamo ora una definizione fondamentale, quella di modulo di un nu-
mero complesso. In questo caso l’intuizione geometrica ci aiuterà, se infatti
consideriamo il numero complesso z = (x, y) come un punto nel piano, il
suo modulo sarà semplicemente la distanza del punto dall’origine degli assi
cartesiani e quindi sarà sempre un numero reale non negativo (vedere figura
1.6). In dettaglio:
Definizione 1.4.9. Per ogni numero complesso z = x + iy œ C definiamo
il suo modulo nella seguente maniera:
|z| =
Ò
x^2 + y^2.
28 1. INSIEMI NUMERICI
z=x+iy
x
y
|z|
O
Asse reale
Asse immaginario
Figura 1.6: Il modulo dl numero complesso z è la distanza del punto z
dall’origine degli assi.
Un’altra importante definizione è quella di complesso coniugato. Anche il
coniugato di un numero complesso ha una interpretazione geometrica, esso
infatti rappresenta il punto ottenuto mediante una riflessione rispetto all’asse
reale (vedere figura 1.7).
Definizione 1.4.10. Per ogni numero complesso z = x + iy œ C definiamo
il suo complesso coniugato come
z ¯ = x ≠ iy.
Le seguenti proprietà (di immediata dimostrazione) descrivono il compor-
tamento del modulo e del complesso coniugato di un numero complesso
rispetto alle operazioni di somma e prodotto.
Proposizione 1.4.1. Dati due numeri complessi z 1 , z 2 œ C_. Si ha:_
|z 1 + z 2 | Æ |z 1 | + |z 2 |, disuguaglianza triangolare ,
|z 1 · z 2 | = |z 1 ||z 2 |,
|z n | = |z| n ,
z 1 + z 2 = ¯z 1 + ¯z 2 ,
z 1 · z 2 = ¯z 1 · z¯ 2.
Tramite la definizione di complesso coniugato possiamo esprimere sia il
modulo di un numero complesso che il suo reciproco.
30 1. INSIEMI NUMERICI
da cui
|z^2 | =|x^2 ≠ y^2 + i 2 xy| =
Ò
(x^2 ≠ y^2 )^2 + 4x^2 y^2
Ò
x^4 + y^4 ≠ 2 x^2 y^2 + 4x^2 y^2 =
Ò
x^4 + y^4 + 2x^2 y^2
Ò
(x^2 + y^2 )^2 = x^2 + y^2 = |z|^2.
(2). Siano z 1 = x 1 + iy 1 e z 2 = x 2 + iy 2 , scriviamo
z 1 · z 2 = (x 1 + iy 1 ) · (x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 ≠ y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ).
Allora
|z 1 · z 2 | =|x 1 x 2 ≠ y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 )|
Ò
(x 1 x 2 ≠ y 1 y 2 )^2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )^2
Ò
x^21 x^22 + y^21 y^22 ≠ 2 x 1 x 2 y 1 y 2 + x^21 y^22 + x^22 y^21 + 2x 1 x 2 y 1 y 2
Ò
x^21 (x^22 + y^22 ) + y^21 (x^22 + y 22 )
Ò
(x^21 + y 12 )(x^22 + y^22 ) =
Ò
(x^21 + y^21 )
Ò
(x^22 + y^22 )
=|z 1 | · |z 2 |.
1.4.3 Rappresentazione in coordinate polari di un numero
complesso
Introduciamo un ulteriore forma di rappresentare un numero complesso.
Abbiamo precedentemente visto che un numero complesso z œ C può essere
interpretato come un punto nel piano, abbiamo quindi bisogno di due coor-
dinate per individuarlo, l’ascissa o parte reale “x” (la coordinata orizzontale)
e l’ordinata o parte immaginaria “y” (coordinata verticale):
z = (z, y), o equivalentemente z = x + iy.
Consideriamo la semiretta che congiunge l’origine degli assi cartesiani con
il punto z = (x, y), essa forma un angolo, “ ◊ ” con la semiretta orizzontale
positiva, inoltre sappiamo che la quantità |z| rappresenta la distanza del
punto z = (x, y) dall’origine degli assi O. A questo punto siamo in grado
di rappresentare qualsiasi punto z ”= (0, 0) utilizzando l’angolo ◊ e la sua
distanza dall’origine che chiameremo r = |z| (vedere figura 1.8).
Definiamo in maniera rigorosa l’angolo ◊ :
Definizione 1.4.11. Un argomento del numero complesso z = x + iy ”= 0
(o equivalentemente z = (x, y) ”= (0, 0) ) è l’angolo di vertice l’origine degli
assi O e individuato dalla semiretta costituita dal semiasse reale positivo e
dalla semiretta che congiunge l’origine O al punto z_._
1.4. NUMERI COMPLESSI 31
z
|z|=r
O
θ
Asse reale
Asse immaginario
Figura 1.8: La rappresentazione in coordinate polari di un numero complesso
Dato un qualsiasi numero complesso z diverso da zero, possiamo procedere
nel seguente modo per individuarne un’argomento.
Prima di tutto occorre stabilire in quale quadrante del piano si trovi il punto,
ricordiamo che:
I quadrante: punti con entrambe coordinate positive x > 0 , y > 0 che
corrispondono a valori dell’angolo ◊ œ (0, fi 2 ).
II quadrante: punti con ascissa negativa e ordinata positiva x < 0 , y > 0
che corrispondono a valori dell’angolo ◊ œ ( fi 2 , fi ).
III quadrante: punti con entrambe coordinate negative x < 0 , y < 0 che
corrispondono a valori dell’angolo ◊ œ ( fi , 32 fi ).
IV quadrante: punti con ascissa positiva e ordinata negativa x > 0 , y < 0
che corrispondono a valori dell’angolo ◊ œ ( 32 fi , 2 fi ).
Per ottenere l’angolo possiamo utilizzare la funzione inversa della funzione
tangente (“arctan(·)”), tuttavia occorre fare attenzione poiché la funzione
tangente è periodica di periodo fi e quindi come risultato otterremo sempre
due valori nell’intervallo [0, 2 fi ] e occorre scegliere il valore corretto.
◊ = arg(z) = arctan
y
x
, z ”= 0.
Nel caso in cui x = 0, y ”= 0 ci troviamo sull’asse verticale e quindi arg(z)
sarà fi 2 o 32 fi a seconda che y sia positivo o negativo. Analogamente se y = 0 e
x ”= 0, ci troviamo sull’asse orizzontale e quindi arg(z) sarà 0 o fi a seconda
che x sia positivo o negativo.
Ricordiamo che nel caso in cui z = 0, cioè x = y = 0, la funzione arg(z) non
è definita e quindi non si possono utilizzare le coordinate polari.
In figura 1.9 vengono rappresentati i segni delle coordinate x ed y e del
quoziente
y x , osserviamo che il quoziente^
y x assume valori uguali per punti in quadranti opposti, per tale ragione occorre fare attenzione nella scelta dell
corretto valore dell’angolo. La definizione delle coordinate polari prevede
un’ulteriore di coltà:
1.4. NUMERI COMPLESSI 33
θ=Αrg(z)
z
r=|z|
Asse reale
Asse immaginario
Figura 1.10: La rappresentazione in coordinate polari (r, ◊ ) del numero
complesso z.
infiniti valori dell’argomento di z a partire dall’argomento principale:
arg(z) = Arg(z) + 2n fi , with, n = 0, ± 1 , ± 2 ,...
Esercizio 1.4.3_._ Trovare l’argomento principale dei seguenti nuemeri com-
plessi:
z 1 = 1 + i, z 2 = ≠1 + i, z 3 =
Ô
3 ≠ i, z 4 = ≠
Ô
3 ≠ i.
Soluzione esercizio 1.4.2_._ (1). Il punto z 1 = x 1 +iy 1 = 1+i si trova nel primo
quadrante in quanto le sue coordinate (parte reale e parte immaginaria) sono
entrambe positive:
Ÿz 1 = x 1 = 1 > 0 , ⁄z 1 = y 1 = 1 > 0.
Utilizziamo la funzione arcotangente per trovare il suo argomento principale:
◊ = arctan
y 1
x 1
in dettaglio si ha
arctan(1) =
fi
4
- k fi , k = 0, ± 1 , ± 2 ,... ,
Occorre selezionare l’unico valore che appartiene all’intervallo [0, 2 fi ) che
corrisponde ad un angolo del primo quadrante. Ci aspettiamo quindi un
angolo nell’intervallo
0 fi 2
. Osserviamo che i valori
fi
4
- n fi , con n = 0, ± 2 , ± 4 ,...
corrispondono ad angoli nel primo quadrante, mentre i valori
fi
4
- n fi , con n = ± 1 , ± 3 ,...
34 1. INSIEMI NUMERICI
corrispondono ad angoli nel terzo quadrante. Concludiamo che l’argomento
principale di z 1 è dato da:
Arg(z 1 ) =
fi
4
Osserviamo, per completezza, che gli infiniti valori di arg(z 1 ) sono dati dalla
seguente formula.
arg(z 1 ) = Arg(z 1 ) + 2n fi =
fi
4
- 2n fi , with n = 0, ± 1 , ± 2 ,...
(2). Il punto z 2 = ≠1 + i appartiene al secondo quadrante in quanto la sua
parte reale è negativa mentre quella immaginaria è positiva:
Ÿz 2 = x 2 = ≠ 1 < 0 , ⁄z 2 = y 2 = 1 > 0.
Procediamo come nel caso precedente
Arg(z 2 ) = arctan
y 2
x 2
= arctan(≠1) =
3 fi
4
controllando che l’angolo ottenuto, 34 fi , appartenga al secondo quadrante.
(3). Il punto z 3 =
Ô
3 ≠ i appartiene al quarto quadrante in quanto la sua
parte reale è positiva mentre la parte immaginaria è negativa:
Ÿz 3 = x 3 =
Ô
3 > 0 , ⁄z 3 = y 3 = ≠ 1 < 0.
Procediamo ancora una volta utilizzando la funzione inversa della tangente:
◊ = arctan
y 3
x 3
In dettaglio si ha:
arctan
Ô
11 fi
6
- k fi , k = 0, ± 1 , ± 2 ,...
Occorre selezionare un solo valore che corrisponda ad un angolo nel quarto
quadrante, cioè ad un angolo nell’intervallo ( 32 fi , 2 fi ). Quindi, l’unica scelta
possibile è la seguente:
Arg(z 3 ) =
11 fi
6
(4). Il punto z 4 = ≠
Ô
3 ≠ i appartiene al terzo quadrante poiché ha parte
reale e parte immaginaria entrambe negative:
Ÿz 4 = x 4 = ≠
Ô
3 < 0 , ⁄z 4 = y 4 = ≠ 1 < 0.
36 1. INSIEMI NUMERICI
Esercizio 1.4.4_._ Scrivere in forma polare i numeri complessi dell’esercizio
precedente.
Soluzione esercizio 1.4.3_._ (1). Per il primo numero abbiamo
z 1 = 1 + i, e Arg(z 1 ) =
fi
4
La forma polare di z 1 :
z 1 = r 1 (cos ◊ 1 + i sin ◊ 1 ),
dove
r 1 = |z 1 | =
12 + 1^2 =
Ô
2 , ◊ 1 = Arg(z 1 ) =
fi
4
Concludiamo quindi
z 1 =
Ô
cos
fi
4
fi
4
(2). Per il secondo numero si ha:
z 2 = ≠1 + i, e Arg(z 2 ) =
3 fi
4
la sua forma polare è la seguente
z 2 = r 2 (cos ◊ 2 + i sin ◊ 2 ),
con
r 2 = |z 2 | =
Ò
(≠1)^2 + 1^2 =
Ô
2 , ◊ 2 = Arg(z 2 ) =
3 fi
4
da cui si conclude
z 2 =
Ô
cos
3 fi
4
3 fi
4
(3). Per il terzo numero si ha:
z 3 =
Ô
3 ≠ i, and Arg(z 3 ) =
fi ,
la sua forma polare è la seguente
z 3 = r 3 (cos ◊ 3 + i sin ◊ 3 ),
dove
r 3 = |z 3 | =
Ò
Ô
3)^2 + (≠1)^2 = 2, ◊ 3 = Arg(z 3 ) =
fi.
1.4. NUMERI COMPLESSI 37
Concludiamo quindi che
z 3 = 2
cos
fi
fi
(4). Il quarto ed ultimo numero:
z 4 = ≠
Ô
3 ≠ i, and Arg(z 4 ) =
fi ,
ha la seguente forma polare
z 4 = r 4 (cos ◊ 4 + i sin ◊ 4 ),
con
r 4 = |z 4 | =
Ò
Ô
3)^2 + (≠1)^2 = 2, ◊ 4 = Arg(z 4 ) =
fi.
In conclusione si ha:
z 4 = 2
cos
fi
fi
1.4.4 Rappresentazione esponenziale di un numero comples-
so
Ricordiamo innanzitutto l’importantissima formula di Eulero :
e
i◊ = cos ◊ + i sin ◊ , valida per ogni ◊ œ R.
Tramite la precedente formula e la rappresentazione polare, possiamo in-
trodurre la rappresentazione esponenziale di un numero complesso z ”=
0 :
z = r(cos ◊ + i sin ◊ ) = re
i◊ .
Esercizio 1.4.5_._ Scrivere in forma esponenziale i numeri complessi del pre-
cedente esercizio.
Soluzione esercizio 1.4.4_._ Ricordiamo che è facile ottenere la forma esponen-
ziale, di un numero complesso, dalla sua forma polare:
z = r(cos ◊ + i sin ◊ ) = re i◊.
Allora si ha:
z 1 =
Ô
cos
fi
4
fi
4
Ô
2 e i^
fi (^4) ,
z 2 =
Ô
cos
3 fi
4
3 fi
4
Ô
2 e
i^34 fi ,
z 3 = 2
cos
fi
fi
= 2e i^
11 6 fi ,
z 4 = 2
cos
fi
fi
= 2e i^
7 6 fi.
1.4. NUMERI COMPLESSI 39
Occorre notare che le precedenti formule, in generale, possono non restituire
un valore dell’angolo nell’intervallo [0, fi ) e quindi sarà importante ricalco-
lare l’argomento principale del numero complesso ottenuto.
Tale operazione é semplice, se l’angolo ottenuto é maggiore di 2 fi , sottrarre-
mo tante volte 2 fi quanto sarà necessario per riportarlo nell’intervallo cor-
retto. Se l’angolo ottenuto é minore di 0 occorrerà invece sommare multipli
di 2 fi.
Ad esempio, l’argomento principale dell’angolo 5 fi é fi :
5 fi æ 5 fi ≠ 2 fi = 3 fi æ 3 fi ≠ 2 fi = fi ,
mentre l’argomento principale dell’angolo ≠ 72 fi é fi 2 :
fi æ ≠
fi + 2 fi = ≠
fi æ ≠
fi + 2 fi =
fi
2
Vedremo altri esempio nel seguente esercizio.
Esercizio 1.4.6_._ Calcolare le seguenti quantità.
z 1 · z 2 ,
z 2
z 3
, z 3 · z 4 ,
z 1
z 4
Soluzione esercizio 1.4.5_._ Calcoliamo la prima espressione:
z 1 · z 2 =
Ô
2 e i^
fi (^4) ·
Ô
2 e i^
3 fi (^4) =
Ô
Ô
2 e i (^
fi 4 +^
3 fi 4 )^ = 2e ifi.
Per la seconda espressione dobbiamo far attenzione nello scrivere l’angolo
finale ottenuto come argomento principale, cioè nell’intervallo [0, 2 fi ):
z 2
z 3
Ô
2 e i^
3 fi 4
2 e i^
11 6 fi^
Ô
e
i [ 34 fi ≠( 116 fi )]
Ô
e
i (≠ 1312 fi )
Ô
e
i ( 1112 fi ) .
Osserviamo che abbiamo trasformato l’angolo negativo ≠
13 fi 12 nell’angolo 11 fi 12 œ^ [0,^2 fi )^ sommandogli^2 fi. Anche per la terza espressione occorre riscrivere l’angolo ottenuto in forma
opportuna:
z 3 · z 4 = 2e i^
11 6 fi^ · 2 e i^
7 6 fi (^) = 4e i (^
11 6 +^
7 6 ) fi^ = 4e i (^
18 6 ) fi^ = 4e i^3 fi^ = 4e ifi.
Osserviamo che abbiamo trasformato l’angolo 3 fi nell’angolo fi œ [0, 2 fi )
sottraendogli 2 fi.
Lo stesso discorso vale per l’ultima espressione:
z 1
z 4
Ô
2 e i^
fi 4
2 e i^
7 fi 6
Ô
e i (^
1 4 ≠^
7 6 ) fi^ =
Ô
e≠ i^
11 12 fi^ =
Ô
e i^
13 12 fi.
40 1. INSIEMI NUMERICI
1.4.5 Radici ennesime di un numero complesso
Anche la radice ennesima di un numero complesso acquista una forma molto
semplice utilizzando la rappresentazione esponenziale. Occorre però notare
che per ogni numero complesso z œ C, l’equazione
z = Ên ,
ha esattamente n soluzioni distinte. In altri termini il numero complesso z
possiede esattamente n radici ennesime.
Proposizione 1.4.4. Dato il numero complesso z = re i◊^ (in forma espo-
nenziale), z ”= 0 , le sue n radici ennesime sono date dalla seguente formula:
r
1 n (^) e i^
◊ +2 kfi n (^) , con k = 0, 1 ,... n ≠ 1.
Osserviamo che tutte le radici ennesime di z = re i◊^ possiedono lo stesso
modulo
r
1 n (^) > 0 ,
ottenuto dall’operazione di radice ennesima del numero reale positivo r = |z|.
Gli argomenti principali delle n radici ennesime di z di eriscono tutti di un
angolo
2 fi
n
Per tale ragione, le radici ennesime di z = re i◊^ possono essere rappresentate
dai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di
centro l’origine O e raggio r
1 n (^) (vedere figura 1.12).
Esercizio 1.4.7_._ Trovare le radici seste del numero complesso z = 1.
Soluzione esercizio 1.4.6_._ Dobbiamo calcolare le 6 radici seste di z=1 che
chiameremo z 0 , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5.
Come prima cosa occorre rappresentare z = 1 in forma esponenziale:
z = re i◊ , con r = 1, ◊ = 0.
Dalla formula si ottengono le sei radici:
z k = 1
1 (^6) e i^
0+2 kfi (^6) = e i^
kfi (^3) , con k = 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5.
In dettaglio, per ogni valore di k, si ha:
k = 0 ∆ z 0 = 1,
k = 1 ∆ z 1 = e i^
fi (^3) ,
k = 2 ∆ z 2 = e i^
2 fi (^3) ,
k = 3 ∆ z 3 = e
ifi ,
k = 4 ∆ z 4 = e
i^43 fi ,
k = 5 ∆ z 5 = e
i^53 fi .
