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Numeri complessi
Esercizio 1.
Determinare a in modo che i sia radice del polinomio P (z) = z^4 − iz^3 + iz + a. Successivamente, per tale valore di a,
determinare tutte le radici complesse di P (z) e scriverle in forma cartesiana.
Svolgimento
a) Si ha che i `e radice del polinomio P (z) se P (i) = 0, quindi per a = 1. Pertanto P (z) = z^4 − iz^3 + iz + 1.
b) Scomponendo P (z) si ha che P (z) = (z − i)(z^3 + i). Pertanto oltre a i le altre radici di P (z) si ottengono da
z^3 = −i, cio`e sono le radici terze di −i. Essendo i = ei^
3 2 π^ , le radici terze di −i sono
zk = eiϕk^ , dove ϕk =
3 2 π^ + 2kπ 3
, k = 0, 1 , 2.
Quindi si ha
z 0 = i, z 1 = −
i, z 2 =
i.
Quindi le radici di P (z) sono i, con molteplicit`a due, ±
√ 3 2 −^
1 2 i.
Esercizio 2.
a) Risolvere in C l’equazione
z^2 (z − 2)^2 + z^2 − (z − 2)^2 − 1 = 0.
b) Scrivere un polinomio di quarto grado a coefficienti reali che abbia z = 1 − i e z = i come radici.
Svolgimento
a) L’equazione algebrica si pu`o scrivere come
(z − 2)^2 (z^2 − 1) + z^2 − 1 = 0 =⇒ (z^2 − 1)[(z − 2)^2 + 1] = 0.
Per il Principio di annullamento del prodotto si ottiene
z^2 − 1 = 0 =⇒ z = ± 1 ,
(z − 2)^2 + 1 = 0 =⇒ z − 2 = ±i =⇒ z = 2 ± i.
Quindi le soluzioni dell’equazione sono ± 1 , 2 ± i.
b) Sappiamo che se z ∈ C e una radice di un polinomio reale P (X), allora anche ze una radice dello stesso polinomio.
Quindi un polinomio reale di quarto grado avente z = 1 − i e z = i come radici ammette anche z = 1 + i e z = −i
come radici. Pertanto un polinomio siffatto `e
P (X) = (X − i)(X + i)(X − (1 − i))(X − (1 + i)) = (X^2 + 1)((X − 1)^2 + 1) = (X^2 + 1)(X^2 − 2 X + 2) =
= X^4 − 2 X^3 + 3X^2 − 2 X + 2.
Esercizio 3.
a) Risolvere in C l’equazione (z − 1)^6 = 64.
b) Sia z =
. Calcolare z(zz)^2002.
Svolgimento
a) Posto X = z − 1 l’equazione diventa X^6 = 64. Le radici seste in C di 64 = 64ei^0 sono i numeri complessi
Xk = 2eiϕk^ , dove ϕk =
kπ
3
, k = 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5.
Quindi si ha
X 0 = 2, X 1 = 1 + i
3 , X 2 = −1 + i
3 , X 3 = − 2 , X 4 = − 1 − i
3 , X 5 = 1 − i
Essendo z = X + 1, le soluzioni dell’equazione sono
z 0 = 3, z 1 = 2 + i
3 , z 2 = i
3 , z 3 = − 1 , z 4 = −i
3 , z 5 = 2 − i
b) Essendo zz = |z|^2 e |z| = 1, si ha che
z(zz)^2002 = z|z|^4004 = z.
Esercizio 4.
a) Dato il numero complesso w = 2 + 2
3 i, determinare z ∈ C tale che z · w sia un numero negativo e |z| = 1.
b) Scrivere un polinomio di terzo grado a coefficienti reali che abbia w come radice.
Svolgimento
a) Si ha che |w| = 4ei^
π (^3). Posto z = ρeiϑ^ si ha che z · w = 4ρei(ϑ+^
π 3 ). Quindi
z · w < 0 =⇒ ϑ +
π
3
= π =⇒ ϑ =
π.
Inoltre
|z| = 1 =⇒ ρ = 1.
Quindi z = ei^
2 3 π^ = − 1 2 +^ i^
√ 3
b) Sappiamo che se w ∈ C e una radice di un polinomio reale P (X), allora anche we una radice dello stesso polinomio.
Quindi un polinomio reale di terzo grado avente w = 2 + 2
3 i come radice ammette anche w = 2 − 2
3 i come
radice. Pertanto un polinomio siffatto `e per esempio
P (X) = X(X − 2 − 2
3 i)(X − 2 + 2
3 i) = X(X
2 − 4 X + 16) = X
3 − 4 X
2
Esercizio 5.
Determinare in C le soluzioni dell’equazione
z^8 + (3 − 4 i)z^6 − z^2 + 4i − 3 = 0.
Svolgimento
b) Si ha che P (z) = z^6 − iz^4 + 4z^2 − 4 i = (z^4 + 4)(z^2 − i). Quindi
P (z) = 0 in C =⇒ z
4
2 − i = 0
cio`e z^4 = −4 (le radici quarte di −4) e z^2 = i (le radici quadrate di i). Essendo −4 = 4eiπ^ , le radici quarte di − 4
sono
zk =
2 eiϕk^ , dove ϕk =
(2k + 1)π 4
, k = 0, 1 , 2 , 3.
Quindi si ha
z 0 = 1 + i , z 1 = −1 + i , z 2 = − 1 − i , z 3 = 1 − i.
Essendo i = ei^
π (^2) , le radici quadrate di i sono
xk = eiϕk^ , dove ϕk =
π 2 + 2kπ 2
, k = 0, 1.
Quindi si ha
x 0 =
, x 1 = −
− i
Quindi le soluzioni in C di P (z) = 0 sono 1 + i, −1 + i, − 1 − i, 1 − i,
√ 2 2 +^ i^
√ 2 2 ,^ −^
√ 2 2 −^ i^
√ 2
Esercizio 8.
(a) Rappresentare graficamente l’insieme del piano complesso
A = {z ∈ C : Im(z^2 + z + i) > −Re(iz) + 1}.
(b) Determinare in C le soluzioni dell’equazione
z^6 − iz^4 + z^2 − i = 0 ,
e determinare quelle che giacciono in A.
Svolgimento
a) Posto z = x + iy, x, y ∈ R, si ha che
Im
z^2 + z + i
−Re (iz) + 1
Im
(x + iy)
2
−Re (i(x + iy)) + 1
Im
x^2 − y^2 + x + i(2xy + y + 1)
−Re (−y + ix) + 1
2 xy + y + 1 > y + 1
xy > 0.
Quindi A = {z = x + iy ∈ C : xy > 0 } che nel piano complesso corrisponde al I e al III quadrante privati degli
assi cartesiani.
(b) Si ha che P (z) = z^6 − iz^4 + z^2 − i = (z^2 − i)^2 (z^2 + i). Quindi
P (z) = 0 in C =⇒ z^2 − i = 0 (radici doppie) , z^2 + i = 0,
cio`e z^2 = i (le radici quadrate di i) e z^2 = −i (le radici quadrate di −i). Essendo i = ei^
π (^2) , le radici quadrate di i
sono
zk = eiϕk^ , dove ϕk =
π 2 + 2kπ 2
, k = 0, 1.
Quindi si ha
z 0 =
(radice doppia) , z 1 = −
− i
(radice doppia).
Essendo −i = e−i^
π (^2) , le radici quadrate di −i sono
xk = eiϕk^ , dove ϕk =
− π 2 + 2kπ
2
, k = 0, 1.
Quindi si ha
x 0 = −
, x 1 =
− i
Quindi le soluzioni in C di P (z) = 0 sono
√ 2 2 +^ i^
√ 2 2 (radice doppia),^ −^
√ 2 2 −^ i^
√ 2 2 (radice doppia),^ −^
√ 2 2 +^ i^
√ 2 √^2 , 2 2 −^ i^
√ 2
- Le soluzioni^
√ 2 2 +^ i^
√ 2 2 ,^ −^
√ 2 2 −^ i^
√ 2 2 giacciono in^ A.
Esercizio 9.
Determinare in C tutte le soluzioni dell’equazione
z^5 + (3 − 4 i)z^3 + 8iz^2 + 8i(3 − 4 i) = 0
e scriverle in forma cartesiana.
Svolgimento
Si ha che
z^5 + (3 − 4 i)z^3 + 8iz^2 + 8i(3 − 4 i) = (z^3 + 8i)(z^2 + 3 − 4 i).
Quindi le soluzioni dell’equazione sono i numeri complessi tali che z^3 + 8i = 0 e z^2 + 3 − 4 i = 0. Risolviamo l’equazione
z^3 = − 8 i = 8e−i^
π (^2). Le soluzioni sono
zk = 2eiϕk^ , ϕk =
− π 2 + 2kπ
3
, k = 0, 1 , 2.
Si ottiene quindi
z 0 = 2e−i^
π (^6) =
3 − i , z 1 = 2ei^
π (^2) = 2i , z 2 = 2e−i^
7 6 π^ = −
3 − i.
Risolviamo ora l’equazione z^2 = −3+4i. Poiche none noto esplicitamente un argomento del numero complesso −3+4i,
infatti |−3+4i| = 5 e detto ϑ un suo argomento si ha che cos ϑ = − 35 e sin ϑ = 45 , per risolvere l’equazione z^2 = −3+4i
procediamo in questo modo: posto z = x + iy, con x, y ∈ R, si ottiene che l’equazione diventa (x + iy)^2 = −3 + 4i,
cio`e (x^2 − y^2 ) + i(2xy) = −3 + 4i, da cui (^) {
x^2 − y^2 = − 3
2 xy = 4.
Risolvendo questo sistema del quarto ordine si ottengono le due coppie di soluzioni reali x = 1, y = 2 e x = − 1 , y = −2.
Quindi le due soluzioni dell’equazione complessa sono z 3 = 1 + 2i e z 4 = − 1 − 2 i. Ricapitolando, le soluzioni
dell’equazione di partenza sono
z 0 =
3 − i , z 1 = 2i , z 2 = −
3 − i , z 3 = 1 + 2i , z 4 = − 1 − 2 i.
Ne segue che z 0 = eiϕ^0 = 1 e z 2 = eiϕ^2 = ei^
4 3 π^ appartengono ad A e quindi anche a B, mentre z 1 = eiϕ^1 = ei^
2 3 π
non appartiene ad A e quindi neppure a B. Ne segue che B contiene due elementi.
Le soluzioni complesse di z^3 = 9 sono tre punti della circonferenza di centro l’origine e raggio
9 > 2. Quindi
nessuna di esse appartiene ad A e di conseguenza neppure a C. Ne segue che C = ∅ e quindi C non contiene nessun
elemento.
Esercizio 12.
Determinare in C tutte le soluzioni dell’equazione
z^4 + 2(1 + 2i)z^3 + 6(1 + 2i)z − 9 = 0
e scriverle in forma cartesiana.
Svolgimento
Procedendo prima con un raccoglimento parziale e poi con uno totale si ha
z^4 + 2(1 + 2i)z^3 + 6(1 + 2i)z − 9 = 0
z^4 − 9 + 2(1 + 2i)z(z^2 + 3) = 0
(z^2 − 3)(z^2 + 3) + 2(1 + 2i)z(z^2 + 3) = 0
(z^2 + 3)(z^2 + 2(1 + 2i)z − 3) = 0.
Pertanto si ha z^2 + 3 = 0 e z^2 + 2(1 + 2i)z − 3 = 0. Le soluzioni di z^2 + 3 = 0 sono i numeri complessi tali che z^2 = − 3
ossia z 1 , 2 = ±i
- Le soluzioni di z^2 + 2(1 + 2i)z − 3 = 0 sono date da
z 3 , 4 = − 1 − 2 i ± 2
i,
dove
i indica una delle due radici quadrate del numero complesso i. Essendo i = ei^
π (^2) si ha che le radici quadrate di
i sono date da Xk = ei(^
π 4 +kπ) per k = 0, 1. Quindi sono
X 0 , 1 = ±ei^
π (^4) = ±
Quindi le soluzioni di z^2 + 2(1 + 2i)z − 3 = 0 sono
z 3 = (−1 +
2), z 4 = (− 1 −
In definitiva le soluzioni dell’equazione data sono
±i
Esercizio 13.
Determinare in C tutte le soluzioni dell’equazione
z^6 −
3 i
z^4 + 16z^2 − 8
3 i
e scriverle in forma cartesiana.
Svolgimento
Procedendo prima con un raccoglimento parziale e poi con uno totale si ha
z^4
[
z^2 −
)]
[
z^2 −
)]
(z^4 + 16)
[
z^2 −
)]
Pertanto si ha z^4 + 16 = 0 e z^2 −
1 2 +^ i^
√ 3 2
= 0. Le soluzioni di z^4 + 16 = 0 sono i numeri complessi tali che z^4 = −16.
Essendo −16 = 16eiπ^ , le radici quarte di −16 sono date da
zk = 2 eiϕk^ , ϕk =
(2k + 1)π 4
, k = 0, 1 , 2 , 3.
Quindi si ha
z 0 =
2 + i
2 , z 1 = −
2 + i
2 , z 2 = −
2 − i
2 , z 3 =
2 − i
Le soluzioni di z^2 −
1 2 +^ i^
√ 3 2
= 0 sono i numeri complessi tali che z^2 = 12 + i
√ 3
- Essendo^
1 2 +^ i^
√ 3 2 =^ e
i π (^3) , le radici
quadrate di 12 + i
√ 3 2 sono date da
wk = e
iϕk , ϕk =
π 3 + 2kπ 2
, k = 0, 1.
Quindi si ha
w 0 =
, w 1 = −
− i
In definitiva le soluzioni dell’equazione data sono
2 + i
2 + i
2 − i
2 − i
− i
Esercizio 14.
Determinare in C tutte le soluzioni dell’equazione
z^6 + (2 − i)z^3 − 2 i = 0
e scriverle in forma cartesiana.
Svolgimento
L’equazione pu`o essere scritta nella forma
z^6 + 2z^3 − iz^3 − 2 i = 0.
Procedendo prima con un raccoglimento parziale e poi con uno totale si ha
z^3 (z^3 + 2) − i(z^3 + 2) = 0
(z^3 + 2)(z^3 − i) = 0.
