Presentazione numeri complessi, Slide di Matematica

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NUMERI COMPLESSI

NUMERI IMMAGINARI

Può essere risolta nell’insieme R? PUÒ AVERE SOLUZIONE PERÒ, IN UN INSIEME MOLTO PIÙ AMPIO, OVVERO QUELLO DEI NUMERI COMPLESSI O C

FORMA ALGEBRICA DI UN NUMERO COMPLESSO Chiamiamo NUMERO COMPLESSO z, espresso in forma algebrica, l’espressione

a viene detta parte reale

bi viene detta parte immaginaria con b che è il coefficiente della parte immaginaria i 2 = − 1 viene definita UNITÀ IMMAGINARIA E S E M P I O (4;5)=4+5i

MODULO DEI NUMERI COMPLESSI | 3 + 4 i | = 3 2

• 4 2 = 25 = 5 | a + b | = a 2
• b 2 ESEMPIO NUMERI COMPLESSI CONIUGATI E OPPOSTI a + bi e e a − bi COMPLESSI CONIUGATI a + bi (^) − a − bi COMPLESSI OPPOSTI Due numeri complessi che hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria opposta si dicono Se due numeri complessi hanno opposte sia la parte reale sia quella immaginaria, si dicono

Le potenze sono cicliche di periodo 4;

POTENZE

E S E M P I O

In generale, la SOMMA di due numeri complessi è un numero complesso che ha:

• per parte reale la somma delle parti reali;
• per parte immaginaria la somma delle parti immaginarie. OPERAZIONI CON NUMERI COMPLESSI IN FORMA ALGEBRICA ESEMPIO ( 2 + i ) + ( 3 − 4 i ) = 5 − 3 i

Il PRODOTTO di due numeri complessi è un numero complesso dato da: Il QUOZIENTE fra due numeri complessi a + bi e c + di è il prodotto del primo per il reciproco del secondo. ESEMPIO ESEMPIO

Fra le POTENZE di numeri complessi esaminiamo solo l’elevamento al quadrato e al cubo. Per il calcolo del quadrato utilizziamo la regola del quadrato di un binomio : Per il calcolo del cubo utilizziamo la regola del cubo di un binomio: ESEMPIO ESEMPIO

Dato un vettore, è sempre possibile disegnarlo nel piano cartesiano Poiché a ogni punto P del piano è associato uno e un solo vettore, esiste una corrispondenza biunivoca fra i numeri complessi e i vettori del piano di Gauss. Le coordinate del punto P(a;b) rappresentano le componenti del vettore.

Ogni punto del piano può essere individuato, oltre che dalle coordinate cartesiane P ( a;b), anche dalle coordinate polari P(r;α). r (modulo)=lunghezza segmento OP α (argomento)=angolo orientato

FORMA TRIGONOMETRICA DI UN NUMERO COMPLESSO Possiamo pertanto scrivere il numero complesso z nella forma trigonometrica:

OPERAZIONI Il PRODOTTO di due numeri complessi in forma trigonometrica è uguale al numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli dei numeri dati e per argomento la somma degli argomenti: ESEMPIO

La POTENZA con esponente intero di un numero complesso in forma trigonometrica è uguale al numero complesso che ha per modulo la potenza del modulo del numero dato e per argomento il prodotto dell’esponente per l’argomento del numero dato: Per calcolare la radice n-esima di un numero complesso, è opportuno utilizzare la sua forma trigonometrica e valutarne la radice n-esima

Grazie all’utilizzo dei numeri complessi non si hanno problemi nel risolvere equazioni con il Delta minore di zero. Infatti ci basta esprimere la radice del Delta come

IL CASO DEL DELTA NEGATIVO

Δ = − n = (− 1 ) n = ( n ) i