primi elementi di interferenza statistica, Appunti di Probabilità e Statistica

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Marco Di Marzio

Primi elementi di inferenza statistica

Ringraziamenti Un sentito ringraziamento a Fabiola Del Greco e Agnese Panzera per la preziosa collaborazione.

Indice

• 1 Probabilità
  • 1.1 Esperimenti casuali
  • 1.2 Algebra degli eventi
  • 1.3 Probabilità e sue concezioni
  • 1.4 Assiomi della probabilità
  • 1.5 Probabilità condizionata e indipendenza
  • 1.6 Proprietà degli eventi indipendenti
  • 1.7 Formula di Bayes
• 2 Esercizi svolti
• 3 Variabili casuali semplici
  • 3.1 Variabili casuali
  • 3.2 Distribuzioni di probabilità
  • 3.3 Famiglie parametriche
  • 3.4 Funzioni di ripartizione
  • 3.5 Variabili casuali identicamente distribuite
  • 3.6 Moda
  • 3.7 Quantili
  • 3.8 Valore atteso
  • 3.9 Varianza
  • 3.10 Coefficiente di variazione
  • 3.11 Disuguaglianza di Chebyshev
  • 3.12 Variabili casuali standardizzate
• 4 Esercizi svolti
• 5 Principali variabili casuali discrete
  • 5.1 Tre esperimenti casuali fondamentali
  • 5.2 Variabile casuale binomiale
  • 5.3 Variabile casuale geometrica
  • 5.4 Variabile casuale ipergeometrica
  • 5.5 Variabile casuale di Poisson
• 6 Esercizi svolti
• 7 Principali variabili casuali continue
  • 7.1 Esperimenti casuali descritti da variabili casuali continue
  • 7.2 Variabile casuale normale
  • 7.3 Variabile casuale normale standard
  • 7.4 Variabile casuale uniforme
  • 7.5 Variabile casuale esponenziale
• 8 Esercizi svolti
• 9 Variabili casuali multiple Indice
  • 9.1 Variabili casuali multiple e distribuzioni di probabilità congiunte
  • 9.2 Funzioni di variabile casuale multipla
  • 9.3 Distribuzioni di probabilità marginali
  • 9.4 Distribuzioni di probabilità condizionate
  • 9.5 Variabili casuali indipendenti
  • 9.6 Covarianza
  • 9.7 Correlazione
  • 9.8 Indipendenza e incorrelazione
  • 9.9 Distribuzione normale doppia
• 10 Esercizi svolti
• 11 Funzioni di variabili casuali
  • 11.1 Somma di variabili casuali
  • 11.2 Distribuzioni del minimo e del massimo di variabili casuali
  • 11.3 Variabili casuali che derivano dalla normale
  • 11.4 Somme di particolari variabili casuali indipendenti
  • 11.5 Teorema centrale del limite
• 12 Popolazione e campionamento
  • 12.1 Popolazione, campione e inferenza
  • 12.2 Popolazione come pdf parametrica
  • 12.3 Campione casuale e osservato
  • 12.4 Statistiche campionarie
  • 12.5 Media campionaria: valore atteso e varianza
  • 12.6 Media campionaria: funzione di densità
  • 12.7 Valore atteso della varianza campionaria
  • 12.8 Funzione di densità della varianza campionaria nel caso di campioni casuali gaussiani
  • 12.9 Altre statistiche calcolate su campioni casuali gaussiani
• 13 Verosimiglianza e sufficienza
  • 13.1 Funzione di verosimiglianza
  • 13.2 Sintesi dell’informazione tramite statistiche
  • 13.3 Statistiche sufficienti
• 14 Esercizi svolti
• 15 Stima
  • 15.1 Il problema della stima
  • 15.2 Proprietà degli stimatori
  • 15.3 Proprietà per piccoli campioni
  • 15.4 Proprietà per grandi campioni
  • 15.5 Costruzione degli stimatori
• 16 Esercizi svolti
• 17 Stima per intervalli
  • 17.1 Il problema della stima per intervalli
  • 17.2 Definizione di quantità pivotale
  • 17.3 Quantità pivotali nel caso di popolazione normale
  • 17.4 Quantità pivotali nel caso di grandi campioni
  • 17.5 Costruzione di stimatori per intervalli
  • 17.6 Intervalli di confidenza per la media
  • 17.7 Numerosità campionaria per la stima della media
  • 17.8 Intervalli di confidenza per la proporzione
  • 17.9 Intervalli di confidenza per la varianza
  • 17.10Proprietà degli stimatori intervallari
• 18 Esercizi svolti
• 19 Verifica d’ipotesi INDICE
  • 19.1 Ipotesi statistiche
  • 19.2 Il test statistico
  • 19.3 Accuratezza del test statistico
  • 19.4 Costruzione del test statistico
  • 19.5 Verifica d’ipotesi sulla media
  • 19.6 Verifica di ipotesi sulla differenza tra medie
  • 19.7 Verifica di ipotesi nel caso di grandi campioni
  • 19.8 Verifica d’ipotesi sulla proporzione
  • 19.9 Verifica d’ipotesi sulla differenza tra proporzioni
  • 19.10Verifica di ipotesi sulla varianza
• 20 Esercizi svolti
• 21 Test Chi-quadrato
  • 21.1 Formulazione generale
  • 21.2 Test di conformità
  • 21.3 Test di indipendenza
  • 21.4 Test di omogeneità
• 22 Esercizi svolti
• 23 Predizione
  • 23.1 Predittori ottimi non condizionati
  • 23.2 Predittori ottimi condizionati
  • 23.3 Due modelli di media condizionata
• 24 Inferenza su medie condizionate
  • 24.1 Stima
  • 24.2 Proprietà degli stimatori B 0 e B
  • 24.3 Stime intervallari e test su β
  • 24.4 Test di linearità
• 25 Esercizi svolti
• 26 Affidabilità
  • 26.1 Definizioni
  • 26.2 Andamenti tipici del tasso di guasto
  • 26.3 Tasso di guasto di alcune variabili casuali continue
  • 26.4 Stima della durata media
  • 26.5 Sistemi complessi
  • 26.6 Sistemi in serie
  • 26.7 Sistemi in parallelo
  • 26.8 Sistemi in serie con parti positivamente correlate
  • 26.9 Sistemi in parallelo con parti positivamente correlate
• 27 Esercizi svolti
• A Analisi matematica
  • A.1 Insiemi
  • A.2 Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo
  • A.3 Intervalli di numeri reali
  • A.4 Valore assoluto
  • A.5 Simboli di sommatoria e produttoria
  • A.6 Doppia sommatoria
  • A.7 Lo spazio Rn
  • A.8 Funzioni
  • A.9 Funzioni esponenziale e logaritmo
  • A.10 Funzioni limitate
  • A.11 Limiti di funzioni e continuità
  • A.12 Derivata di una funzione
  • A.13 Derivate parziali Indice
  • A.14 Integrali indefiniti e integrali definiti
  • A.15 Calcolo di integrali doppi
• B Calcolo combinatorio
  • B.1 Disposizioni e permutazioni
  • B.2 Combinazioni
  • B.3 Disposizioni con ripetizione
• C Tavole statistiche
• D Elenco delle abbreviazioni e dei simboli

Probabilità

Indice

1.1 Esperimenti casuali................................... 1 1.2 Algebra degli eventi................................... 3 1.3 Probabilità e sue concezioni.............................. 5 1.4 Assiomi della probabilità................................ 6 1.5 Probabilità condizionata e indipendenza...................... 7 1.6 Proprietà degli eventi indipendenti.......................... 9 1.7 Formula di Bayes.................................... 10

1.1 Esperimenti casuali

Spesso è necessario formulare previsioni su esiti di esperimenti (se prodotti dall’ uomo) o fenomeni (se presenti in natura). In generale il complesso degli esiti possibili è noto, ma quale esito in particolare si verificherà non è dato saperlo con certezza. Di tali situazioni aleatorie si occupa il calcolo delle probabilità. Per esso, come per ogni altro campo della scienza, esiste uno specifico linguaggio formalizzato. Così l’insieme di tutti i possibili esiti è detto spazio fondamentale ed è indicato con Ω, mentre il singolo esito è detto evento elementare e viene indicato con ω: Ω = {ω 1 , ω 2 , ...} ,

a seconda dell’esperimento o fenomeno che viene rappresentato, lo spazio fondamentale Ω può contenere un numero finito o infinito di eventi elementari. Infine qualunque sottoinsieme di Ω si definisce evento.

Esempio 1.1. Si osservi il numero risultante dal lancio di un dado. Definire Ω e gli eventi

E = numero pari ; F = numero non maggiore di 4 ; G = numero non minore di 5 ; H = numero multiplo di 3.

Si ha: Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ; E = { 2 , 4 , 6 } ; F = { 1 , 2 , 3 , 4 } ; G = { 5 , 6 } ; H = { 3 , 6 }. 

Esempio 1.2. Da un mazzo di 40 carte napoletane se ne estrae una. I semi sono: B, C, D, S. Individuare gli eventi:

I = asso ; L = carta minore di 3 che non abbia seme C ; M = carta del seme D.

Si ha:

I = { 1 B, 1 C, 1 D, 1 S} ; L = { 1 B, 1 D, 1 S, 2 B, 2 D, 2 S} ; M = { 1 D, 2 D, 3 D, 4 D, 5 D, 6 D, 7 D, 8 D, 9 D, 10 D}. 

I concetti di esperimento o fenomeno prima considerati possono essere descritti da un modello formale detto esperimento casuale. L’esperimento casuale si definisce come una procedura di osservazione di uno solo degli elementi di uno spazio fondamentale Ω tale che:

M. Di Marzio 1 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 2012)

1 Probabilità

1.2 Algebra degli eventi

Poichè un evento è un insieme di eventi elementari, le relazioni tra eventi possono essere descritte per mezzo di operazioni logiche tra insiemi. Dato un generico spazio fondamentale Ω e i suoi sottoinsiemi {E 1 , E 2 , ...}, definiamo le seguenti operazioni (o relazioni) logiche:

1. Inclusione Un evento E 1 è incluso in un evento E 2 , cioè E 1 ⊂ E 2 , se tutti gli eventi elementari in E 1 sono anche esiti elementari in E 2 ; si dice anche che E 1 implica E 2.
2. Uguaglianza Gli eventi E 1 e E 2 sono uguali, cioè E 1 = E 2 , se E 1 ⊂ E 2 e E 2 ⊂ E 1.
3. Negazione (o complemento) Consiste di eventi elementari non appartenenti all’evento che viene negato: ω ∈ E 1 se e solo se ω /∈ E 1. Si dice anche che E 1 è il complemento di E 1.
4. Unione Consiste di eventi elementari che appartengono ad almeno uno dei k eventi uniti: ω ∈

∪k i=1 Ei se esiste almeno un indice i ∈ { 1 , 2 , ..., k} tale che ω ∈ Ei.

5. Intersezione Consiste di eventi elementari che appartengono a tutti i k eventi intersecati: ω ∈

∩k i=1 Ei se ω ∈ Ei ∀ i ∈ { 1 , 2 , ..., k}. Si noti che spesso per l’intersezione vengono usate differenti notazioni; ad esempio, E 1 ∩ E 2 , può trovarsi indicato anche come E 1 E 2 oppure E 1 , E 2.

6. Differenza La differenza tra due eventi E 1 e E 2 consiste di eventi elementari appartenenti a E 1 che non sono in E 2 : ω ∈ (E 1 − E 2 ) se e solo se ω ∈ (E 1 ∩ E 2 ).

Un evento particolare è il cosiddetto evento impossibile, definito come la negazione di Ω e indicato con ∅. Poichè ∅ = Ω, l’evento impossibile non contiene alcun evento elementare, così, qualsiasi esito risulterà, mai si verificherà ∅, da cui il nome. Per E ⊂ Ω, si ha

E ∩ ∅ = ∅, E ∪ ∅ = E, E = Ω − E, E ∩ E = ∅, E ∩ Ω = E, E ∪ Ω = Ω, Ω = E ∪ E, E = E.

Dati gli eventi E 1 , E 2 e E 3 appartenenti a Ω, le operazioni di intersezione, unione e negazione soddisfano le seguenti leggi.

Leggi commutative: E 1 ∩ E 2 = E 2 ∩ E 1 , E 1 ∪ E 2 = E 2 ∪ E 1.

Leggi associative:

E 1 ∪ (E 2 ∪ E 3 ) = (E 1 ∪ E 2 ) ∪ E 3 , E 1 ∩ (E 2 ∩ E 3 ) = (E 1 ∩ E 2 ) ∩ E 3.

Leggi distributive:

E 1 ∪ (E 2 ∩ E 3 ) = (E 1 ∪ E 2 ) ∩ (E 1 ∪ E 3 ), E 1 ∩ (E 2 ∪ E 3 ) = (E 1 ∩ E 2 ) ∪ (E 1 ∩ E 3 ).

Prima legge di De Morgan: E 1 ∩ E 2 = E 1 ∪ E 2.

Seconda legge di De Morgan: E 1 ∪ E 2 = E 1 ∩ E 2.

Nella figura 1.2 possiamo osservare una rappresentazione delle leggi di De Morgan tramite diagrammi di Venn. Se si considera tutta la parte scura si evince la prima legge, mentre se si considera solo la parte a quadretti si evince la seconda legge. Due eventi E 1 e E 2 si dicono incompatibili se E 1 ∩ E 2 = ∅. Una classe importante di eventi tra loro incompatibili è rappresentato dagli eventi elementari {ω 1 , ω 2 , ...} di un esperimento casuale. Una classe di sottoinsiemi {E 1 , E 2 , ..., Ek} dell’insieme A è detta partizione di A se

∪^ k

i=

Ei = A e Ei ∩ Ej = ∅ ∀ i ̸= j.

La figura 1.1 contiene esempi di relazioni tra eventi rappresentate con diagrammi di Venn. Nella tabella 1. 1 riassumiamo alcuni interessanti casi della corrispondenza tra la terminologia della teoria degli insiemi, quella della probabilità e quella del mondo reale da noi descritto come esperimento casuale.

M. Di Marzio 3 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 2012)

1.2 Algebra degli eventi

Figura 1.1: Alcune operazioni tra insiemi rappresentate attraverso diagrammi di Venn.

B

A= B=B= Α A B=

A

Ω

Figura 1.2: Leggi di De Morgan tramite diagrammi di Venn.

Teoria degli insiemi Teoria della probabilità Esperimento casuale Insieme Ω Evento certo Tutti gli esiti ω elemento di Ω, ω ∈ Ω Evento elementare Singolo esito Insieme ∅ Evento impossibile Nessun esito E sottoinsieme di Ω, E ⊂ Ω Evento Insieme di esiti E 1 contenuto in E 2 , E 1 ⊂ E 2 E 1 implica E 2 Se E 1 accade, anche E 2 accade Negazione dell’insieme E, E Evento contrario ad E E non accade Intersezione di n insiemi,

∩n i=1 Ei^ Intersezione di^ n^ eventi^ E^1 , E^2 , ..., En^ accadono insieme Unione di n insiemi,

∪n i=1 Ei^ Unione di eventi^ Almeno uno tra^ E^1 , E^2 , ..., En^ accade Differenza tra due insiemi, E 1 − E 2 Differenza tra eventi E 1 accade e E 2 non accade

Tabella 1.1: Insiemi, probabilità ed esperimenti casuali.

Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 2012) 4 M. Di Marzio

1.4. Assiomi della probabilità

Esempio 1.10. Abbiamo ripetuto 1000 volte il lancio di una moneta bilanciata e osservato la frequenza relativa dell’esito ‘Testa’. La figura 1. 3 rappresenta l’andamento di tale frequenza relativa all’aumentare del numero delle prove. Questi dati costituiscono una chiara verifica empirica della tendenza della frequenza relativa alla probabilità, che sappiamo essere pari a 0. 5. 

0.4 0 200 400 600 800 1000

1

Numero prove

Frequenza relativa

Figura 1.3: Andamento della frequenza relativa di teste su 1000 lanci di una moneta.

1.4 Assiomi della probabilità

Qualunque sia la concezione di probabilità adottata, è possibile definire la probabilità come una funzione reale che rispetta certi assiomi verificati da ogni concezione. Tale approccio permette una trattazione matematica della probabilità esclusivamente basata sugli assiomi e valida per ogni concezione. Segue la definizione assiomatica di probabilità. Dato uno spazio Ω, una funzione P che associa un numero reale ad ogni sottoinsieme di Ω è detta probabilità se soddisfa i seguenti assiomi:

1. P(Ω) = 1 ;

2. P(E) ≥ 0 ;

3. P(E 1 ∪ E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) se E 1 ∩ E 2 = ∅ ;

dove E, E 1 e E 2 sono sottoinsiemi di Ω. Una rapida riflessione suggerisce che i tre assiomi elementari sono rispettati sia dalla concezione classica che dalla frequentista. Il terzo assioma ci fornisce la regola per ottenere la probabilità di un qualsiasi evento E ⊂ Ω. Infatti essendo gli eventi elementari incompatibili si ha

P(E) =

{j: ωj ∈E}

P(ωj ),

dove la sommatoria è estesa a tutti gli eventi elementari contenuti in E. Così la teoria della probabilità sviluppata a partire dagli assiomi fornisce le regole per calcolare la probabilità di un qualsiasi sottoinsieme di Ω quando gli eventi elementari hanno già avuta assegnata una probabilità secondo una data concezione.

Esempio 1.11. Lanciamo un dado di cui non sappiamo se sia regolare. La concezione classica fornisce le seguenti probabilità

P(2) = P(4) = P(6) = 1 6 mentre supponiamo che la concezione frequentista sostenga che

P(2) = 1 6 ; P(4) = 2 6 ; P(6) = 3 6 .

Si osservi che le due concezioni attribuiscono probabilità differenti ai singoli esiti. Ora consideriamo l’evento ‘numero pari’. La teoria assiomatica fornisce una regola di calcolo della probabilità di uscita del numero pari valida per ogni concezione; in particolare, il terzo assioma impone che

P(numero pari) = P(2) + P(4) + P(6)



Usando gli assiomi è facile dimostrare le seguenti proprietà:

i) P(∅) = 0 ;

Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 2012) 6 M. Di Marzio

1. PROBABILITÀ

A

B E

E =

E=

(^)

A=

B=

Figura 1.4: Riduzione dello spazio fondamentale per effetto del verificarsi di A (risp. B).

ii) P(E) = 1 − P(E) ;

iii) 0 ≤ P(E) ≤ 1 ;

iv) P(E 1 ∪ E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) − P(E 1 ∩ E 2 ) (Teorema delle probabilità totali).

Il teorema delle probabilità totali coincide con il terzo assioma se gli eventi sono incompatibili, essendo in questo caso P(E 1 ∩ E 2 ) = P(∅) = 0.

Esempio 1.12. Un ristorante ha rilevato che: il 75% dei clienti richiede un antipasto (evento A), il 50% richiede un secondo (evento S), il 40% li richiede entrambi. Calcoliamo la probabilità che un cliente richieda almeno uno tra antipasto e secondo. Anzitutto, applicando la concezione frequentista di probabilità, abbiamo che

P(A) = 0.75 ; P(S) = 0.50 ; P(A ∩ S) = 0. 40.

Applicando il teorema delle probabilità totali abbiamo

P(A ∪ S) = P(A) + P(S) − P(A ∩ S) = 0.75 + 0. 50 − 0 .40 = 0. 85. 

1.5 Probabilità condizionata e indipendenza

Dati due eventi E 1 e E 2 sottoinsiemi di Ω, se P(E 1 ) > 0 ci si può chiedere qual è la probabilità di E 2 sapendo che si è verificato E 1. Questa probabilità è detta condizionata ed è indicata con P(E 2 |E 1 ). Per definizione

P(E 2 |E 1 ) =

P(E 2 ∩ E 1 )

P(E 1 )

Tale rapporto è interpretabile come segue. Poiché sappiamo che l’esito dell’esperimento è contenuto in E 1 , per il calcolo della probabilità di E 2 non tutti gli eventi elementari di Ω sono da considerarsi possibili, ma solo quelli in E 1 , così come non tutti gli eventi elementari in E 2 sono casi favorevoli ma solo quelli in E 2 ∩ E 1.

Esempio 1.13. Nella figura 1. 4 si può notare che una volta verificatosi l’evento A (risp. B) i casi favorevoli per il verificarsi di E si riducono a quelli compresi in A ∩ E (risp. in B ∩ E), mentre i casi possibili sono contenuti in A (risp. in B). 

Quindi il condizionamento opera una riduzione dello spazio fondamentale: esso non è più Ω ma E 1. Ovvia- mente ogni evento è condizionato al proprio spazio fondamentale, infatti per ogni evento E in Ω si ha

P(E) = P(E|Ω) = P(E ∩ Ω)/P(Ω) = P(E)/1 ;

inoltre P(E|E) = 1 per ogni E ⊂ Ω. Dalla probabilità condizionata si evince il teorema delle probabilità composte: P(E 1 ∩ E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 |E 1 ),

come si vede, la probabilità di una intersezione è calcolata in base alle probabilità dei singoli eventi. Per la legge commutativa P(E 1 ∩ E 2 ) = P(E 2 ∩ E 1 ), così

P(E 1 ∩ E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 |E 1 ) = P(E 2 ∩ E 1 ) = P(E 2 )P(E 1 |E 2 ).

M. Di Marzio 7 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 2012)

1. PROBABILITÀ

Incompatibilità Indipendenza Definizione E 1 ∩ E 2 = ∅ P(E 1 ∩ E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 ) Relazione tra eventi tra probabilità Rappresentazione su diagrammi di Venn non si rappresenta Conseguenza su P(E 1 ∪ E 2 ) su P(E 1 ∩ E 2 )

Tabella 1.2: Incompatibilità ed indipendenza.

Essendo molto diffusa una certa confusione tra i concetti di incompatibilità e indipendenza tra gli eventi, è opportuno riportarne schematicamente le differenze nella tabella 1.2.

Infine si può facilmente dimostrare che due eventi che hanno probabilità positiva non possono essere contem- poraneamente incompatibili e indipendenti. Infatti se sono indipendenti la probabilità della loro intersezione è data dal prodotto di due numeri positivi e quindi è un numero positivo. D’altro canto se sono incompat- ibili la probabilità della loro intersezione deve essere nulla. Se due eventi non sono indipendenti si dicono dipendenti. Due eventi dipendenti E 1 e E 2 si dicono positivamente correlati se

P(E 1 ) < P(E 1 |E 2 ) ,

negativamente correlati se P(E 1 ) > P(E 1 |E 2 ).

Oltre che tra eventi appartenenti allo spazio fondamentale di un singolo esperimento casuale, il concetto di indipendenza esiste anche tra esperimenti casuali come segue. Dati n esperimenti casuali, diremo che essi sono mutuamente indipendenti se

P(A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ An) =

∏^ n

i=

P(Ai)

Dove Ai è il generico evento appartenente allo spazio fondamentale Ωi associato all’i-esimo esperimento casuale, e A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ An è un elemento dello spazio fondamentale prodotto Ω = Ω 1 × Ω 2 × ... × Ωn (sez. 1.1).

Esempio 1.16. Consideriamo l’esperimento casuale composto dai seguenti due: 1) osservare la difettosità un manufatto e 2) osservare il sesso di un dipendente. Il manufatto può essere difettoso o non difettoso, per cui Ω 1 = {D, N }, mentre il dipendente può essere maschio o femmina, per cui Ω 2 = {M, F }. Si assuma inoltre che P(D) = 0. 6 e P(M ) = 0. 7 L’esperimento composto ha il seguente spazio campionario prodotto Ω = Ω 1 × Ω 2 = {(D, M ), (D, F ), (N, M ), (N, F )}. Si dirà che i due esperimenti sono indipendenti se e solo se:

P(D, M ) = P(D)P(M ) = 0.42 ; P(D, F ) = 0.18 ; P(N, M ) = 0.28 ; P(N, F ) = 0. 12. 

1.6 Proprietà degli eventi indipendenti

L’indipendenza ha un certo numero di proprietà, le più importanti delle quali sono di seguito riportate.

1. Simmetria Se E 1 è indipendente da E 2 , allora anche E 2 è indipendente da E 1. È facile dimostrare questa proprietà ricordando che P(E 2 ∩ E 1 ) = P(E 1 ∩ E 2 ) e quindi che

P(E 2 )P(E 1 |E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 |E 1 ),

applicando la definizione di indipendenza P(E 1 |E 2 ) = P(E 1 ) si ha:

P(E 2 )P(E 1 ) = P(E 1 )P(E 2 |E 1 ),

da cui si ricava P(E 2 ) = P(E 2 |E 1 ), cioè E 2 è indipendente da E 1.

2. Indipendenza tra i complementi Se E 1 e E 2 sono indipendenti, lo sono anche E 1 e E 2. Infatti dire che la probabilità del verificarsi di E 1 non cambia al verificarsi di E 2 è esattamente lo stesso che dire che essa non cambia al non verificarsi di E 2. Sfruttando la simmetria, ricaviamo anche che E 1 e indipendente da E 2.

M. Di Marzio 9 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 2012)

1.7. Formula di Bayes

3. Indipendenza dei complementi Se E 1 e E 2 sono indipendenti, lo sono anche E 1 e E 2. Infatti per la seconda legge di De Morgan P(E 1 ∩ E 2 ) = P(E 1 ∪ E 2 ),

ora applicando il teorema delle probabilità totali e ricordando che E 1 e E 2 sono indipendenti, si ottiene

P(E 1 ∪ E 2 ) = 1 − P(E 1 ∪ E 2 ) = 1 − (P(E 1 ) + P(E 2 ) − P(E 1 ∩ E 2 )) = 1 − P(E 1 ) − P(E 2 ) + P(E 1 )P(E 2 ) = (1 − P(E 1 ))(1 − P(E 2 )) = P(E 1 )P(E 2 ).

Infine P(E 1 ∩ E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 ).

4. Indipendenza di un evento da se stesso Affinché E sia indipendente da se stesso si deve verificare che P(E ∩ E) = P(E)P(E),

cioé, essendo E ∩ E = E, si deve avere P(E) = P(E)P(E). Ma ciò è falso se 0 < P(E) < 1 , infatti in questo caso P(E) < P(E)P(E) e quindi in generale esiste sempre dipendenza tra un evento e se stesso. Comunque due eventi fanno eccezione, nel senso di essere indipendenti da se stessi. Essi sono l’evento impossibile e l’evento certo. Infatti per entrambi si ha

P(∅) = P(∅)P(∅) = 0 e P(Ω) = P(Ω)P(Ω) = 1.

1.7 Formula di Bayes

Sia la classe di k insiemi {C 1 , C 2 , ..., Ck} una partizione dello spazio Ω, e sia E un sottoinsieme non vuoto di Ω. Applicando la proprietà distributiva si ottiene:

E = E ∩ Ω = E ∩ (C 1 ∪ C 2 ∪ ... ∪ Ck) = (E ∩ C 1 ) ∪ (E ∩ C 2 ) ∪ ... ∪ (E ∩ Ck)

∪^ k

i=

(E ∩ Ci).

Così la partizione {C 1 , C 2 , ..., Ck} di Ω induce la partizione {E ∩ C 1 , E ∩ C 2 , ..., E ∩ Ck} di E.

Esempio 1.17. Nella figura 1. 5 la partizione {A∩E, B∩E, C ∩E, } dell’evento E è indotta dalla partizione {A, B, C} dello spazio fondamentale Ω. 

A E =

C E =

E= B E =

C=

B=

A=

Figura 1.5: Scomposizione di E indotta dalla partizione {A, B, C}.

Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 2012) 10 M. Di Marzio

Esercizi svolti

Esercizio 2.1. Si consideri un esperimento casuale che consiste nel lanciare tre volte una moneta, e si determini lo spazio fondamentale nel caso si osservino:

a) le sequenze di testa (T ) e croce (C);

b) il numero di teste nei tre lanci.

Soluzione a) Abbiamo il seguente spazio fondamentale composto da 8 esiti elementari

Ω = {CCC, CCT, CT C, T CC, CT T, T CT, T T C, T T T }.

b) Abbiamo il seguente spazio fondamentale composto da 4 esiti elementari

Ω = { 0 , 1 , 2 , 3 }.

Esercizio 2.2. Da un sacchetto di quattro palline contrassegnate da 1 a 4 estraiamo due palline. Si determini lo spazio fondamentale nel caso

a) si reintroduca la prima pallina estratta nell’urna;

b) non si reintroduca la prima pallina estratta nell’urna.

Soluzione a) Abbiamo il seguente spazio fondamentale composto da 16 esiti elementari

b) Abbiamo il seguente spazio fondamentale composto da 12 esiti elementari

Esercizio 2.3. Un esperimento consiste nel lanciare un dado fino a che esca il 6. Si determini lo spazio fondamentale nei seguenti casi

a) si osservino le sequenze dei risultati;

b) si contino i lanci fino a che esca 6.

Soluzione a) Lo spazio campionario è infinito, esso è del seguente tipo:

b) anche in questo caso lo spazio fondamentale è infinito, ed è del tipo seguente:

Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ....}.

Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 2012) 12 M. Di Marzio

2 Esercizi svolti

Esercizio 2.4. Un concessionario di autoveicoli offre automobili con le seguenti opzioni

a) con o senza airbag;

b) con o senza climatizzatore;

c) con o senza impianto stereo;

d) con tre diversi motori.

Determinare l’insieme di tutte le possibili automobili offerte.

Soluzione L’insieme delle possibili macchine definisce uno spazio prodotto

Ω = {Ωa × Ωc × Ωs × Ωm} ,

cioè il prodotto cartesiano di quattro spazi fondamentali, dove

Ωa = {a, ¯a}; Ωc = {c, c¯}; Ωs = {s, s¯}; Ωm = {m 1 , m 2 , m 3 }.

La cardinalità di Ω è (2 × 2 × 2 × 3) = 24.

Esercizio 2.5. Si scelga a caso una carta da un mazzo di 52 carte. Definiamo i seguenti eventi:

A = la carta scelta è un asso; B = la carta scelta è di picche.

Determinare se i due eventi sono indipendenti.

Soluzione Controlliamo se P(A ∩ B) = P(A)P(B). Ora,

P(A ∩ B) = P({la carta scelta è un asso di picche}) = 1/ 52 ,

e P(A)P(B) = 4/ 52 × 13 /52 = 1/ 52.

Quindi gli eventi sono indipendenti. Notiamo, invece, che A e B non sono incompatibili, e quindi la compatibilità non implica l’indipendenza.

Esercizio 2.6. Si lancino due monete non truccate, ossia si ritiene che i possibili esiti siano equiprobabili. Definiamo i seguenti eventi:

A = la prima moneta dà croce; B = la seconda moneta dà testa.

Determinare se i due eventi sono indipendenti.

Soluzione Controlliamo se P(A ∩ B) = P(A)P(B). Ora,

P(A ∩ B) = P({C, T }) = 1/4;

inoltre P(A) = P({C, T } ∪ {C, C}) = 1/ 2 e P(B) = P({T, C} ∪ {T, T }) = 1/ 2.

Così i due eventi sono indipendenti.

Esercizio 2.7. Si lanciano due dadi non truccati. Definiamo i seguenti eventi:

A = la somma è 6; B = il primo dado dà 4.

Determinare se i due eventi sono indipendenti.

Soluzione Controlliamo se P(A ∩ B) = P(A)P(B). Ora,

P(A ∩ B) = P({ 4 , 2 }) = 1/36;

e P(A) = P({ 1 , 5 } ∪ { 2 , 4 } ∪ { 3 , 3 } ∪ { 4 , 2 } ∪ { 5 , 1 }) = 5/ 36

e P(B) = 1/ 6.

Allora i due eventi non sono indipendenti.

M. Di Marzio 13 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 2012)