Primitive e integrali, Appunti di Matematica

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PrimitiveE integrali Bolu

PRIMITIVE (^) INTEGRAY 'NDE FINITE s (^).^ DaTa^ Ja^ funzione LiI - sIR^ CI^ intervallo) voylis (^) suphre re Ce sotts^ quali comlicioun) è^ la^ derivata^ di^ uicultra^ fledide,^ Cisi (^) se esiste (^) Calmens ) unas frazione Fi IR derivator in I Tale che^ : I (^) ': f in I (^) ( Fce's: Lees Yee I) ECxs (^) = Loox I=IR^ Faxs^ :^ sinx^ è^ denivats F'Cx) (^) =Csinx)' =Gox F (^) 'lxs=coox p in (^) Cognita îlats 2, Questa (^) equacione FIL in I i (^) um (^) exempis di (^) equazione differeciale del (^) is andive done (^) L ruppresenta il Tenive (^) nots , Fela (^) fuz imoymita^ , " diffnel ion^ " pach

• Fe Ginualtan (^) nell ' e 9. Can ba (^) rean deiv ea Es. F (^) 'ces =coox FceJe (^) sinx è (^) una (^) soluzione ,^ ma^ cane^ obns^ altre (^) come sinx (^) to VaEIR è amcona sdrzinore (^) GCI= siLX (^) + (^) C Ouiasti (^) citos inficnte sdluzeon Ce (^) re sons (^) altre ? In (^) quests case us (^) parch sins (^) so I=IR (^) che ea inTercallo (^). Se (^) I (^) mon (^) Lorse intervell le (^) ose vans divessamense

=s (^) allora (^) VXoGF VYEIR esiste un^ Unica primmitiva F^ d (^) L cha^ pussa ^ (^) per il^ perts Cxo, 70) cisi sfF (^) { F'cxs (^) :fuxs (^) XxEI Fexo 1 = go d s Xo I

4. (^) ( Teonema Londanentale deel (^) calcsl (^) integrales Se (^) L : I-sIR à (^) continua e I inteall (^) albora existe^ almers^ awn primttion do^ f su I Defi L 'insieme do Tuete le (^) primitve d . f su^ un^ inTervall^ I^ si^ dice^ integrae indefinits di^ f or^ I.^ Notazione^ Sf^ opp^ Sfcxsdx Eo.Jooxdy= sinx ta, XEIR

OG (^112) Quiz L (^).^ IR^ -3IR,^ egexs^ LE^ C^ CIR^ ) Tale te fixse-14t (^164) to(x) .f HexiO allorai ol) (^4) o=s mue relut, dig Dats che^ Lo CCR] =s (^) è 9 me (^) Lormle st. Tayboa dicentsrs^ O=7^8 cos: flos

• fos n f (^4) n? 2! =- z 81" !=To^ Primutie (^) e integrale indefinets Defi dico Si (^) pricntivon d^ L an I opn . frut F:I-sR^ slewvate^ in^ I (^) etaleck

F'= (^) fouI L'imnere d^.^ Tuta^ le^ funt^ primtive diL (^) on I^ è^ deets^ inintegrale di (^) fmnt è à indica: (^) Sf Ricondo: a 3 sef (^) ha almens^ ema^ priutivn Fr (^) I=s (^) alloza Hxe Ftc (^) è (^) primution (^) dif

2. Se I^ intervalls e (^) F.G sous de primutive difar^ I^ =3G-Fè costurnte (^) ser I Dim (^23) supponiums FifeEag^ ru I^ , Voylis (^) dim costante^ G-Fè)^ in^ I^ deHt^ :

exempis d^ studis^ Cqualitatios ) del grafico di^ uena^ primition ^ f : Jo,bL =3 (^) IR continu L seppongo^ 78' Par il (^) Texnema fondumentcle ddl . M. a "". s^ Calcole^ inteprale duto^ ch^ fè Continua su^ w^ intervall, existe alvews (^) cona (^) sue (^) pricmitiva F (^). Voyls (^) dsegune lo^ primmitiva che parss paloos^ tale ch FloKo m

• F F (^) =f (^) fzo cs Fso^ Frex (^). LEOCs F'lo^ F^ descres.^ op F^ ":f! fro es (^) fbesoEs F Grver ** kh?..^ J'Lx^ cs^ L^ dercres^.^ EsF^ Comcawa in (^) Lo, (^4) o} (^8) Eo=s I deve denlessere in (^) Ces ,^ b}^ fs^0 =s^ F^ bes. in (^) Co, (^4) i 3 folacese^ =s^ F^ conceva in (^) C 4,^ F 2 fhesk^ =s^ F (^) cenvessa inCx , b 3 f decese^ =s^ F^ conceus N (^) .B. iwalo d. F (^) possom ere enati (^) (Trame Flos :o)^ mentre^ sous^ canetti^ le^ prop d monstshia (^) e convessiti

Inslitre F han (^) min Asslets in Xo (^) ed han max relut^ inoeb (^) leans dei dre è (^) assoleto) Primitiva (^) e Ordine di (^) Infinitesius Tuppohians fi^3 xs-S, YaTOL - Tale che (^) feesz o ( Ce-x?") x-x W e suppoticums JF:Z-IR (^) primitiva di (^) frar o Tale^ cha^ FCx):O x FCxs =oCe-xojt X (^) -3Xo diomni

• sFCxo)=o FCx) lim (^) = (^) (83 Dato che (^) FF:f, (^) poop ussme de el (^) Hop. aust, Cx-togats^ = lim Fixs^ I fexs = 0 xuytn antosut mas^ Ce^
• to) Is him xsx, (^) tguts 70 Applicazione :^ Calcol^ formle^ do^ Tuglen di^ Fprirmitiva dif st^ cai^ comos 6 lo Fsrnmulen d (^) Tunyler Trowne le^ formle di (^) Tayler di ardine s (^) Gnto (^) xoio di (^) arctyx arctyxs ': txx 2 = e
• ftxt F ItE
• t-txt2-E 3 t EC (^). E8+ (^) oCto )^ t^

Lexs. Fxxe

• Le-xxx 43

Primitie (^) di (^) fenz. I Trattie finte a Dini Gees. E (^5) se (^) xaa A s se (^) xcs A^ o domf = R: I^ @ D s LECCR) =3^ la^ primitiva ( peie Teo (^) Ronlamesale) De (^) costruve FIIR -31R (^2) in most dhe (^) sin devivabile (^) mu (^) R, (^) quiursi anch^ Continua o tale^ che^ FlCxI (^) : Gexs UXEIR { XxC sexas Nhene FaxstEtez (^) sexss U Impovrianns cheF^ sicn^ continua^ arcn im 4=^ s: Ty (^) =xxe. lem Fces (^) : lim ese? Fces x -3.Àà cisè lim CxtC .)=limxxzxC*tc2) fusÁ cèoê ste (^) ,=ętcz Abbicrms (^) quinsli Cr (^) - cith-;^ =^ c.+?^

• s (^) Fces (^). E 4 te,^ re^ tae Erjts (^) , rex - e Fcos:

Se (^) cenchions Trun Tuase^ le (^) primmitive (^) quelle che (^) F 13 :3, allora (^) dobbicus impome c^ ,^ = ^ Is Faes^ :^4 t^3 rexer ętętsreeze (^) Ue (^3) B 8 I Calcols di Primitive I (^) matodi di calabe (^) delle (^) primitive si bassurs swall'iden di ' (^) inwatire " le (^) rezale di (^) derivaziona Invertine^ le^ formale delle^ devivate^ delle^ fenz. elementani Jendy =s tC^ thEttl Sfexidd - Fcxstc Verfica : ( Fceste)' : (^) Flces= Laxs N.B. è (^) sempre poorible controllanre^ re^ hs^ Trowats^ e'espressione^ Comettan (^) pen F , burta Calcslan^ Fl (^) e controllare de - L Sxxbx = X +, to (^) YxcRıŞ-aŞ SEdx :^ CnIxita^ Y^4 to (^) ( UB. t (^) 4.^2 e^4 x^ tcz rexco )

Dim tiams F.^ G^ prim stive^ di^ f .y.^ Dews^ Dim^ che^ GF+C^2 G è (^) ema pricanitivs di^ h=^ c,ftcays. Basta denivare (^) ( CF+CG)': C.FtC 2 E:Cftcay =h Ex (^). S C 3 xrn^ Wx (^) t 2)^ dx^ =

• sSe ..Sxi - fe= 348- t + te (^) : -}x^3 + (^) xtC Styzx (^) : Stxta^ - s)- SCtgxte )-Ss = (^) Tyx uxtC

2. Integrazione Per pati di (^) fig gy )2 gigt fys Tcaoremn Se L ,g^ som^ derive^ su Fe^ glg ssir^ integrabile su^ I^ allora^ anche^ (Ligi) è integabile su? Formula d^ integrazione S 8 g'= 8 g-Sf'g pur (^) pati Eri Shx dx - Shuasdx^ =^ lnx^ - ces- JIx dx g .g. Y (^) g: (eux) : Ã y=x

=s (^) Slux dx^ :^ x^ lux^ -^ fldx = xhx - x (^) to f genx^ laxarx^. thx-Soix fl g'

3. Priomitiee^ Funz^. composte Teorema se Fè^ primit. d. (^) S sn en inter. J (^) 8,FIJ (^) - DIR e qp In (^3) J è^ derivabile (^) qi I -3 (^) J ^ i^1 SS (Ecx). (^4) ixs o = FCQCx) tC divon FCECD)'") FCECD)-q'exs Eg f (ecxs)-y'cas Eti fedx : X 7 ux

• (^) C =3 (^) S 8(4cs).^ pcesolx^ =^ SCQces^ ]?, pixi dx : $Cx 9 has to SfCxsdx :Fexstc

Inte grazione Con (^) Cambis Di Voniabile Teronemai se (^) F:J-3IR è (^) primmition d.^ FiJ-IR^ eqiI-35 è derivabile v Sf (Qces).Q'cxs dx =FCqcxs)tc se insttue^ q è (^) invertibule e 4 exs=y, x = 4443 allona per composizione^ com 4= Qly)^ vottiere^ : (S flecss - eicas olx ) = [FCqcantaJ^ : S (^) fcysdly ouI Xzöşgı x=æçy 3 Es. a s eebte dap f^ X E^ * iJ TJ (^) IlC fE .*x) x =et e (^2) x (^) ; y:bx=quxs pîx^ >': (^) *

• fuktll tc ) = hnlettalto-s e =^ et fe ?ete = he lettalte (^) HyEIR

0711 z INTEGRALE DEFINITO concelti be^ si^ introdercons^ per davo^ nerso estrementi (^) si callob alle^ arce^ di sott^ oimsition^ dal picors biomatati^ cint^. definitos e^ illimmitats^ (int^ impropr.) Voglicums consderune^ invicrni^ picmin^ ancbe^ +^ generali^ di^ quell^ trattati (^) iss geometria euchokea, (^) parsamssb da^ poligori .... a^ insiton^ che^ posso^ suddvidere in an no^ fiouts^ di purti ciaiocemaus^ delle^ qual si^ posooms rapprestare come (^) sottsgraf. cos sto easn (^) frnt.^ Eetima^. ry (^) - fexs öii A= (^) ECXYJEIR ' inax 4 b, (^84 44) fas (^3) ann S (^) "1= fexnolaasb , fex so obb (^). Definine S "fces^ in moad che^ nel caso in wni acbe 8 zo ess calcd l'Aran^ d^. A La (^) stensa opennziau si^ potrobbe^ effettuare per clcslare^ le^ arce^ B.C.D^ a^ pete. rapprescitare le^ lers^ front^ iena^ rispetts ad^ appostuni^ sistemi^ di^ riferients Con (^) flvez. (^) Y=yix) di (^) Cauchy Ci (^) sons (^) vare definaion di (^) ŞPg int .def. Kol. Rieman tratti Can (^) chy: vale (^) feorz. continue (^) a Riemann: "^ pict (^) yenerali iont. secomdo Carchy N.B. il ualone di dre (^) integsul è Riemnumo identicn (^) perle (^) f contunee a traati

ésempio sopponiums (^) LEC CCaibJ) (^) efto su^ Eaib} Pu è^ sommor d^ area di^ rettcongal Cdi altezze (^) mu) duve^ sols^ contementi ñéee one oottsgrafico A=ECtiy) ER?-acxub,^ Oxye^ fees}^ ' - d. f Su è^ somnu d^ aree di^ rettanjal.^ la^ wi^ unione contiene A (^).^ Quind^ rappresertai elmas^ " approsionshide t d-fetts", Sa^ eccesper^ " dell' Aread. (^) A che uoyl (^) deinive =3 è^ nagioneude definie ana^ (A) - SL CaçbJ Eo. fcese x^ xe (a,s) A =BCX,Y): OEXEL, oky 4 x?^ y =^ X ."": 611 i A (^) = II=Ì Prous an calcslere (^) Sa, (^) sw o Qx^ š y r tiso (^) uas Calcole (^) sn ( in ozon In devs (^) calcolare ^ \ il (^) max Md.f sn Ix)

• Ms Mz:?.... (^) Tk : En Tt (^) y Bu =ExûnMob=E.žÅ.E:G.Žzê* à (^) ttn ßn t 2 (lt 2 t 3 t-t)

exzt 2 t. to Etcrit^ .. the Gnmea^ weewne JB (^) J -%o HttCnt)t... (^). (^ R+) =H +).W= 29 gopfate ) D Sh: 72-^ y: GeC (^) MCt )^ hnsto,^ = osterwaziioni

L ' exempis mostra ren (^) caso in (^) cn le^ def d cea (^) attnavens limite yeverale di^ Canchy^ coincde^ a il valere del aa endolea (^2) s b^ def^ d. Sf Carby Mov E^ Coroba pa fan il calcst (^). OBB. (^) dimostrone (^) che. D Teoremu:^ Se^ Le^ continua^ in^ Caib^ } Jalmers s^ primmitive F^ diL fonsturentale Chella dorm^ Flxs^ vieme^ Costrenta^ con^ intey^ df O Formula^ :^ se LEC Carb )leF èunn^ suem^ primitiva fond. =3 allora (^) SG : FCb)-Fcas CaibJ Oss (^). I dice^ whe^ com imnto (^) sof oi^ possoms costruine^ pricmiture 2 dice^ whe^ com^ primitive ri parsens calcslane^ jient. def