Esercizi e Soluzioni di Statistica 1 per Economia Aziendale, Esercizi di Probabilità e Statistica

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Testi e soluzioni dei compiti di esame di STATISTICA 1

c.l. Economia Aziendale

6 febbraio 2010

Elenco

1 Compito del 17.12.

1.1 Testo

(1) Un’azienda sita in Firenze manda usualmente un proprio funzionario nelle sedi di Roma, Siena e Bologna. Il viaggio sempre effettuato con le Ferrovie dello Stato: Firenze-Roma il 20% delle volte, Firenze-Bologna il 55 % delle volte e il rimanente 25% Firenze-Siena. Il funzionario partito di prima mattina ha comunicato solamente di essere arrivato in ritardo. (I) Quale la probabilit che esso sia a Siena? (II) E che sia a Roma? Ricorrere alla Tabella 1 delle statistiche annuali di percorrenza.

Tabella 1: Statistiche annuali di percorrenza (numero treni nel 1997) sulle tratte considerate. Tratta Treni puntuali Treni totali Firenze-Siena 2714 3252 Firenze-Bologna 6911 9897 Firenze-Roma 7555 9524

(2) In una classe delle medie superiori 3 studenti hanno elevate capacit ed elevato impegno, 6 studenti impegno regolare e capacit elevate, 11 studenti con elevato impegno e capacit regolari ed 3 studenti con impegno e capacit regolari. Un nuovo docente chiama tre studenti per un’interrogazione orale. Quale la probabilit che i tre studenti siano: uno appartenente con elevato impegno e capacit, un’altro con gruppo regolare impegno ed elevate capacit, un’altro con regolare capacit?

(3) Nella Tabella 2 sono riportate le tonnellate di marmo estratte da 3 cave differenti (A,B,C) in 4 mesi. Calcolare media, varianza, coeff. di variazione per il mese I, poi per il mese II. Calcolare un’adeguato indice di connessione e ricavare la percentuale di variabilit`a spiegata dalla differenza tra cave.

Tabella 2: Tonnellate di marmo (in centinaia) estratte da tre cave differenti. Cava - Mese I II III IV A 4.773 4.116 5.6833 2. B 7.0678 3.2368 8.2897 7. C 2.1041 2.3533 1.204 1.

(4) Un’azienda produce fogli di materiale plastico trasparente di dimensione 3 m per 8 m, e con spes- sore assimilabile ad una variabile casuale gaussiana con media 0.528 mm e varianza uguale a 0.. Il prodotto ha mediamente 0.1 difetti per m^2. Al momento della consegna ogni foglio esaminato dal compratore che chiede un risarcimento economico pari al numero di difetti riscontrati per lire 262 pi 799 se il foglio ha spessore non incluso nell’intervallo [ 0.467 , 0.567 ]. Quale il valore atteso del risarcimento economico per un foglio prodotto da tale azienda? Si commenti brevemente la scelta della funzione di massa di probabilit per la variabile casuale ‘numero di difetti’.

1.2 Soluzioni

(1) P(Ritardo) = 0. (I) P(Siena|Ritardo) = 0. (II) P(Roma|Ritardo) = 0.

(2) P(1o^ = IE e CE) = 3/23, P(2o^ = IR e CE| 1 o^ = IE e CE) = 6/22, P(3o^ = CR| 2 o^ = IR e CE,1o^ = IE e CE) = 14/21. Siccome non interessa l’ordine occorre moltiplicare per le permutazioni di questi 3 elementi (3! = 6). Risultato =3/236/2214/21*6 = 0.

(3) Media(I) = 4.6483 Media(II) = 3. Varianza(I) = 4.1142 Varianza(II) = 0. CV(I) = 0.43636 CV(II) = 0. DevB = 44.17483 DevT = 64.18549 η^2 = 0.

E(Risarcimento) = 262E(difetti) + 799P(spessore ∈/ (0.467,0.567)) = 2620.138+7990.65499885 = 1152.

3 Compito del 26.01.

3.1 Testo

( A ) Un produttore di nastri magnetici deve consegnare un lotto di 1174 unit. Prima di inviare il lotto, vengono estratti casualmente e controllati 18 pezzi. Nel caso in cui non siano riscontrati difetti, il lotto viene spedito, altrimenti si procede al controllo di ogni nastro. Quale e la probabilita che il lotto non sia consegnato se si assume che:

1. vi siano 22 nastri con difetti nel lotto;
2. vi siano 25 nastri con difetti nel lotto

( B ) Il fatturato annuale di 5 aziende toscane `e risultato nel 1997 pari a:

2.9638 ; 2.0367 ; 1.2293 ;2.433 ; 2.7007 miliardi di lire

1. Procedere al calcolo di un appropriato indice di variabilit`a;
2. Rappresentare graficamente la concentrazione del fenomeno.

( C ) Un catalizzatore chimico e impiegato per aumentare il prodotto utile di una reazione (in Kg). La reazionee ripetuta in analoghe condizioni per 7 volte senza catalizzatore e per altre 7 volte con il catalizzatore. Sapendo che il catalizzatore non modifica la varibilita dei risultati, si effettui un test delle ipotesi per saggiare se vi siano differenze significative imputabili al catalizzatore. Effettuare i calcoli a livello di significativita : 0.10 ed 0.01.

Tabella 1: Campione di 7 osservazioni (spessori in mm).

Senza: 2.3482 5.0204 4.6712 3.8549 1.2232 3.1651 5. Con: 9.402 6.2065 6.7958 7.5236 9.8812 8.2425 9.

( D ) Il carico di rottura in Kg di una barra di materiale plastico assimilabile ad una variabile casuale gamma, con parametro α = 26 e β incognito. Una barra prodotta con un nuovo procedimento ha mostrato un carico di rottura pari a 62.1 Kg. Impiegando il rapporto di verosimiglianza, saggiare l’ipotesi nulla H 0 : β = 0.26 verso l’alternativa H 1 : β nell’insieme { 0. 15 , 0. 30 , 0. 50 }, con significativit uguale a 0.10, e in seguito con con significativit pari a 0.01 (si usi un chiquadro con un grado di libert). La funzione di densit di probabilit gamma definita da: f (x; α, β) = β

α Γ(α) ·^ x

α− (^1) · e(−β·x).

3.2 Soluzioni

(A)

(1) P (N C) = 1 − P (X = 0) = 1 −

(2) P (N C) = 1 − P (X = 0) = 1 −

Se si utilizza l’approssimazione binomiale i risultati vengono leggermente diversi.

(B)

(1) R =

2 M

i 1 2 3 4 5 pi 0.2 0.4 0.6 0.8 1 qi 0.1081 0.2874 0.5015 0.7392 1

(C) Occorre fare un confronto fra medie per dati non appaiati. x = 3.63407, y = 8.1822, s^2 X = 2.17446, s^2 Y = 1.95372, s^2 p = 2. 06409 Valore campionario della statistica test = 5. α = 0.1: regione accettazione = [− 1. 7823 , 1 .7823] α = 0.01: regione accettazione = [− 3. 0545 , 3 .0545]

(D) valore campionario della statistica test = 4. α = 0.1: regione accettazione = [0, 2 .7055435] α = 0.01: regione accettazione = [0, 6 .6348966]

α = 0.10: Regione di rifiuto = (1. 4398 , +∞) α = 0.05: Regione di rifiuto = (1. 9432 , +∞)

(D) Valore campionario della statistica test = 5. α = 0.10: Regione di rifiuto = (2. 7055 , +∞) α = 0.01: Regione di rifiuto = (6. 6349 , +∞)

5 Compito del 08.06.

5.1 Testo

(A) In un mazzo regolare di 52 carte, due carte sono estratte senza reimmissione. (I) Sapendo che la prima non una figura e che superiore a 5, calcolare la probabilit che essa non sia un 9 di colore rosso. (II) Sapendo che la prima un 9, quale la probabilit che la seconda carta sia di picche?

( B ) Nella Tabella 1 riportato il numero di blocchi di marmo estratti da 3 cave differenti (1,2,3) in 3 mesi differenti (1,2,3). Calcolare un’adeguato indice di associazione e spiegare brevemente il risultato ottenuto.

Tabella 1: Numero di blocchi di marmo estratti da tre cave differenti. Cava - Mese 1 2 3 1 4 2 0 2 4 5 0 3 0 15 12

(C) L’effetto di un nuovo integratore alimentare viene saggiato impiegando un gruppo di 5 corridori ciclisti. In Tabella 2 sono riportati i tempi di percorrenza della pista senza e con il nuovo integratore. Effettuare il test delle ipotesi (con significativit 0.10) che l’integratore diminuisca il tempo di percorrenza. La decisione finale sarebbe cambiata scegliendo un valore di significativit uguale a 0.01?

Tabella 2: Campione di 5 osservazioni (tempi). Corridore I II III IV V Senza: 61 64 55 63 62 Con: 57 56 53 52 50

(D) Si ipotizzi che il voto medio negli esami universitari dipenda linearmente dal numero di ore dedicate al sonno, a parit di ore di studio effettuate. Impiegare il metodo dei minimi quadrati per stimare coefficienti del modello impiegando i dati in Tabella 3, e verificare statisticamente l’ipotesi formulata.

Tabella 3: Campione di 5 osservazioni (tempi). Voto Medio: 18 30 20.5 27.5 23. Ore sonno: 5.9 7.8 5.9 7.1 7.

5.2 Soluzioni

(A)

(1) P(1a^ non(9Rosso)| 1 a^ non(Figura) e maggiore di 5) = 1-2/(5*4) = 0. (2) P(2a^ picche| 1 a^ = 9) = 1/4 = 0.

(B) Valori dei principali indici di associazione C 1 C 2 C 1 rel C 2 rel T CP χ^2 0.18747 0.73168 0.1406 0.51737 0.26767 0.590495 22.

(C) Dati appaiati. Valore campionario della statistica test = -3. α = 0.1: regione critica = (−∞, − 1 .533206) α = 0.01: regione critica = (−∞, − 3 .746947)

(D) (1) β̂ 1 = 5. 55086 β̂ 0 = − 13. 58381 σ̂^2 = 3. 514926 (2) Valore campionario della statistica test = 4.947204; regione accettazione (-3.182446,3.182446).

7 Compito del 13.07.

7.1 Testo

(A) L’ufficio federale americano di investigazione effettua un controllo sulla regolarit delle assunzioni in una azienda. Nei precedenti 10 anni, vi sono state 1271 domande da parte di bianchi e di neri, con assunzioni riassunte in Tabella 1.

Tabella 1: Assunzioni per razza, dati decennali. Bianchi Neri Assunti 274 127 Rifiutati 583 287

Utilizzando le frequenze in tabella: (I) Quale la probabilit di assunzione per un bianco? E quale per un nero? (II) Quale la probabilit che un nuovo assunto sia nero?

(B) Un reagente chimico prodotto in lotti. Sia X la variabile casuale associata alla qualit del lotto, con funzione di massa di probabilit riportata in Tabella 2.

Tabella 2: Funzione di massa di probabilit. X -2 0 2 p(X) 0.269 0.494 0.

L’utile ricavabile dalla vendita di un lotto all’estero dato da Y 1 = 5x^3 + 100, mentre dalla vendita in Italia Y 2 = 2x + 50. Sapendo che la probabilit di effettuare la vendita di un lotto all’estero 0.192, (I) Quale l’utile atteso dalla vendita di un lotto? (II) Quale la varianza dell’utile per la vendita all’estero, e quale la varianza complessiva?

(C) In uno studio sulla prontezza di riflessi, un campione casuale di 5 individui devono premere un pulsante appena udito un segnale di allarme. In Tabella 3 sono riportati i tempi di risposta, assimilabili ad una gaussiana con varianza 25 ms^2. (I) Calcolare la stima puntuale e quella per intervallo (confidenza 90%) del parametro incognito. (II) Effettuare il test d’ipotesi che il parametro sia uguale a 50 ms, in alternativa ad un valore maggiore ( α = 0.05 ).

Tabella 3: Campione di 5 osservazioni. 77 74 77 66 79

( D ) Un’azienda produce componenti elettronici la cui durata assimilabile ad una variabile casuale gamma, con parametro α = 26 e β incognito. Un componente si guastato dopo 63.5 ore di funzionamento. Saggiare l’ipotesi nulla H 0 : β = 0.26 verso l’alternativa H 1 : β nell’insieme { 0. 15 , 0. 30 , 0. 50 }, ricorrendo al rapporto di verosimiglianza con significativit uguale a 0.10, e in seguito con con significativit pari a 0.01. La funzione di densit di probabilit gamma definita da: f (x; α, β) = β

α Γ(α) ·^ x

α− (^1) · e(−β·x).

7.2 Soluzioni

(A)

(I) P (A|B) =

= 0.319720, P (A|N ) =

(II) P (N |A) =

(B)

(I) E(Y ) = 59. 2508

(II) V (Y 1 ) = 8. 07962 V (Y 2 ) = 807. 9616 V (Y ) = 531. 8312

(C)

(I) μ = 74.6, Intervallo per μ = [70.822,78.178] (II) Valore campionario della statistica test = 11.0015; regione critica = (1. 6448 , +∞)

(D) valore campionario della statistica test = 3. α = 0.05: regione accettazione = [0, 3 .84146] α = 0.01: regione accettazione = [0, 6 .6349]

rapporto varianze: 0. Intervallo : 0.09811 ; 9.

(D) Rifiuto Potenza = 0.

9 Compito del 14.12.

9.1 Testo

(A) Tre tennisti A, B e C partecipano ad un torneo. L’ordine degli incontri e stabilito mediante il lancio di una moneta. I tennisti che hanno ottenuto un esito identico giocano per primi. I lanci sono effettuati in ordine alfabetico, prima il tennista A e poi il B, mentre il tennista C lancia la moneta solo se i primi due lanci hanno dato esito diverso. Sapendo che la probabilita dell’evento testa `e 0.898:

1. Quale e la probabilite che A e C giochino insieme?
2. Quale e la probabilita che B e C giochino insieme dato che il lancio di A ha dato esito croce?

(B) Ad un campione casuale di 7 studenti universitari `e stato chiesto di indicare il numero di ore di sonno prima dell’esame di statistica ed il voto ottenuto il giorno successivo all’esame (Tabella 1).

Tabella 1: Campione di 7 studenti. Voto d’esame ed ore di sonno nella notte precedente. Ore: 9.44 9.54 6 6.27 6.79 7.94 10. Voto: 25.52 23.5 18.47 23.58 25.51 29.54 18.

(1) Rappresentare graficamente i risultati in tabella. (2) Calcolare un indice relativo di associazione tra voto e ore di sonno. (3) Discutere brevemente i risultati ottenuti.

(C) In uno studio sulle vendite annuali di formaggio nei supermercati, sono stati ottenuti i valori relativi ad un campione casuale di 5 supermercati di caratteristiche similari. Impiegando i dati riportati in tabella ed assumendo un modello normale: (1) Effettuare la stima della media con affidabilita 0.99. (2) Calcolare l’informativita ottenuta.

Tabella 2: Campione di 5 supermercati: vendite in migliaia di Kg. 153.8 143.4 149.9 147.3 151.

( D ) Un corriere di Firenze consegna pacchi in tre regioni del nord Italia. Il 6% delle volte si reca in Lombardia ed il numero medio di pacchi da consegnare e 54. Il 17% delle volte consegna in Veneto ed il numero medio di pacchie 58. In Piemonte il numero medio di pacchi per consegna e di 17. Il corriere decide di partire nonostante abbia smarrito i documenti di consegna. Verso quale regione deve dirigersi avendo da consegnare 56 pacchi? Perche?

9.2 Soluzioni

(A)

Pro[AC] = 0. Pro[BC|A==C] = 0.

(B) Correlaz: -0. Stat test: 0. Valore critico: 6.

(C) Media : 149. Varianza : 16. Int.inf : 140. Int.sup : 157. Informativit`a : 16.

(D) Lombardia : 0.

10 Compito del 11.01.

10.1 Testo

(A) Un’azienda produce fuochi d’artificio a doppia camera. Se la camera C 1 esplode, la probabilita che la camera C 2 esplodae 0.841. Se la camera C 1 non esplode, la probabilita che non esploda C 2 0.723. Sapendo che la camera C 1 non esplode con probabilita 0.138:

1. Qual e la probabilita che effettuando il lancio non avvengano scoppi?
2. Avendo effettuato un lancio ed udito un solo scoppio, quale e la probabilita che esso sia avvenuto per l’esplosione di C 2?

(B) In una citta vi sono 5 autoscuole. Il numero di promossi all’esame di guida durante il 1999e riportato in Tabella 1. Impiegando i dati riportati: (1) Valutare l’equidistribuzione nel numero dei promossi per le autoscuole considerate. (2) Rappresentare graficamente i valori componenti il calcolo effettuato al punto (1).

Tabella 1: Campione di 5 autoscuole: numero di promossi all’esame. A1 A2 A3 A4 A 490 100 360 490 170

(C) I risultati di un’indagine finanziaria sull’evasione fiscale in 1828 aziende sono stati riassunti per classi di dimensione aziendale (D, numero di dipendenti) e per classi di ammontare evaso (M, milioni).

Tabella 2: Numero di aziende indagate per classi di evasione (M) e di dimensione (D). D: [1,50] (50,200] (200,∞) M: 0 18 78 13 (0 , 99] 290 426 297 (99,∞) 270 191 245

(1) Tabellare la funzione di massa di probabilit`a condizionata di D dato M=0. (2) Calcolare un indice di interconnessione relativo tra M e D che colga qualsiasi tipo di associazione eventualmente esistente.

(D) Un’azienda effettua uno studio sull’efficacia del trattamento vitaminico SUPERLAV. Il rendimento lavorativo `e stato misurato su di un campione casuale di 4 segretarie che hanno assunto per un mese il preparato SUPERLAV ed su un secondo campione casuale di 3 segretarie che non hanno assunto SUPERLAV. Impiegando i dati riportati in tabella 2 ed assumendo un modello normale per la variabile casuale rendimento lavorativo: (1) Decidere circa l’efficacia del preparato SUPERLAV con probabilit di un errore di tipo I pari a 0.01, assumendo che il preparato SUPERLAV non diminuisca il rendimento. (2) Come aumentare la potenza senza cambiare la dimensione dei due campioni? Con quali ulteriori effetti?

Tabella 3: Rendimento lavorativo di due campioni di segretarie. Con SUPERLAV 36 49 48 55 Senza SUPERLAV 54 43 39

10.2 Soluzioni

(A)

Pro[0 botti] = 0.

P [C 2 |un solo scoppio] =

(B)

(C)

• 1. Compito del 17.12.
• 2. Compito del 08.01.
• 3. Compito del 26.01.
• 4. Compito del 10.02.
• 5. Compito del 08.06.
• 6. Compito del 23.06.
• 7. Compito del 13.07.
• 8. Compito del 28.09.
• 9. Compito del 14.12.
• 10. Compito del 11.01.
• 11. Compito del 02.02.
• 12. Compito del 17.02.
• 13. Compito del 03.05.
• 14. Compito del 06.06.
• 15. Compito del 22.06.
• 16. Compito del 12.09.
• 17. Compito del 28.09.
• 18. Compito del 15.12.
• 19. Compito del 15.01.
• 20. Compito del 31.01.
• 21. Compito del 15.02.
• 22. Compito del 06.04.
• 23. Compito del 07.06.
• 24. Compito del 26.06.
• 25. Compito del 11.07.
• 26. Compito del 20.09.
• 27. Compito del 19.12.
• 28. Compito del 09.01.
• 29. Compito del 23.01.
• 30. Compito del 12.02.
• 31. Compito del 04.04.
• 32. Compito del 11.06.
      • 33. Compito del 26.06.
      • 34. Compito del 16.07.
      • 35. Compito del 17.12.
      • 36. Compito del 08.01.
      • 37. Compito del 23.01.
      • 38. Compito del 10.02.
      • 39. Compito del 23.04.
      • 40. Compito del 29.05.
      • 41. Compito del 04.06.
      • 42. Compito del 25.06.
      • 43. Compito del 17.07.
      • 44. Compito del 05.09.
      • 45. Compito del 18.09.
      • 46. Compito del 17.12.
      • 47. Compito del 13.01.
      • 48. Compito del 27.01.
      • 49. Compito del 10.02.
      • 50. Compito del 15.04.
      • 51. Compito del 28.05.
      • 52. Compito del 03.06.
      • 53. Compito del 18.06.
      • 54. Compito del 07.07.
      • 55. Compito del 14.09.
      • 56. Compito del 15.12.
      • 57. Compito del 11.01.
      • 58. Compito del 26.01.
      • 59. Compito del 10.02.
      • 60. Compito del 31.05.
      • 61. Compito del 09.06.
      • 62. Compito del 28.06.
      • 63. Compito del 13.07.
      • 64. Compito del 16.12.
      • 65. Compito del 19.01.
      • 66. Compito del 02.02.
• 67. Compito del 16.02.
• 68. Compito del 16.03.
• 69. Compito del 31.05.
• 70. Compito del 21.06.
• 71. Compito del 12.09.
• 72. Compito del 18.01.
• 73. Compito del 01.02.
• 74. Compito del 15.02.
• 75. Compito del 30.03.
• 76. Compito del 31.05.
• 77. Compito del 05.06.
• 78. Compito del 26.06.
• 79. Compito del 10.07.
• 80. Compito del 07.09.
• 81. Compito del 19.12.
• 82. Compito del 16.01.
• 83. Compito del 31.01.
• 84. Compito del 13.02.
• 85. Compito del 21.04.
• 86. Compito del 18.06.
• 87. Compito del 02.07.
• 88. Compito del 03.09.
• 89. Compito del 18.12.
• 90. Compito del 15.01.
• 91. Compito del 29.01.
• 92. Compito del 12.02.
• 93. Compito del 21.04.
• 94. Compito del 10.06.
• 95. Compito del 24.06.
• 96. Compito del 08.07.
• 97. Compito del 09.09.
• 98. Compito del 16.12.
• 99. Compito del 27.01.
• Veneto : 0.
• Piemonte: 4.6802e-
• Denominatore : 0.
• Post Lombardia : 0.
• Post Veneto : 0.
• Post Piemonte :
• Pi : 0.
• Pi : 0.
• Pi : 0.
• Pi : 0.
• Pi :
• Qi : 0.
• Qi : 0.
• Qi : 0.
• Qi : 0.
• Qi :
• R : 0.
• C1Rel: 0.
• C2Rel: 0.
• Cp: 0.
• Tschup: 0.
• Media1 : (D)
• Media2 : 45.
• Var 1 : 63.
• Var 2 : 60.
• Test stat : 0.
• Valore critico : 3.