Problema spanning tree, Slide di Algoritmi E Strutture Di Dati

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Albero di supporto a peso minimo

Esempio introduttivo

In una rete di computer abbiamo la possibilit`a di attivare delle comunicazioni dirette tra coppie di computer.

Esempio introduttivo

In una rete di computer abbiamo la possibilit`a di attivare delle comunicazioni dirette tra coppie di computer.

Attivare la comunicazione tra un computer i e un computer j ha un costo pari a wij > 0.

I computer hanno la possibilit`a di comunicare anche in maniera indiretta sfruttando le comunicazioni dirette tra altre coppie di computer.

Esempio introduttivo

In una rete di computer abbiamo la possibilit`a di attivare delle comunicazioni dirette tra coppie di computer.

Attivare la comunicazione tra un computer i e un computer j ha un costo pari a wij > 0.

I computer hanno la possibilit`a di comunicare anche in maniera indiretta sfruttando le comunicazioni dirette tra altre coppie di computer.

Problema di decisione: vogliamo stabilire quali comunicazioni dirette attivare in modo tale che ogni coppia di computer possa comunicare in maniera diretta o indiretta. Si vuole fare questo riducendo al minimo i costi totali di attivazione delle comunicazioni dirette.

Riformulazione dell’esempio come problema su grafo

Sia dato il grafo non orientato G = (V , E ) dove: ▶ (^) V coincide con l’insieme di tutti i computer;

Riformulazione dell’esempio come problema su grafo

Sia dato il grafo non orientato G = (V , E ) dove: ▶ (^) V coincide con l’insieme di tutti i computer; ▶ (^) E coincide con l’insieme di tutte le potenziali comunicazioni dirette tra computer (con il valore wij associato a ogni arco (i, j) ∈ E che indica il costo di attivazione della comunicazione diretta).

Riformulazione dell’esempio come problema su grafo

Sia dato il grafo non orientato G = (V , E ) dove: ▶ (^) V coincide con l’insieme di tutti i computer; ▶ (^) E coincide con l’insieme di tutte le potenziali comunicazioni dirette tra computer (con il valore wij associato a ogni arco (i, j) ∈ E che indica il costo di attivazione della comunicazione diretta). Vogliamo individuare un sottoinsieme ET ⊂ E tale che (V , ET ) sia un grafo connesso. Infatti, se `e connesso, garantiamo che ci sia un cammino tra ogni coppia di nodi, ovvero dal punto di vista del sistema reale una comunicazione diretta o indiretta tra computer.

Riformulazione dell’esempio come problema su grafo

Se (V , ET ) contiene cicli, potremmo togliere archi da ET senza perdere la connessione e riducendo i costi.

Riformulazione dell’esempio come problema su grafo

Se (V , ET ) contiene cicli, potremmo togliere archi da ET senza perdere la connessione e riducendo i costi.

Siccome vogliamo minimizzare i costi di attivazione, possiamo restringere l’attenzione a grafi parziali (V , ET ) che siano sia connessi che aciclici, ovvero che siano alberi di supporto.

Dato un albero di supporto T = (V , ET ), il suo costo/peso totale sar`a w (T ) =

X

(i,j)∈ET

wij.

Riformulazione dell’esempio come problema su grafo

Se (V , ET ) contiene cicli, potremmo togliere archi da ET senza perdere la connessione e riducendo i costi.

Siccome vogliamo minimizzare i costi di attivazione, possiamo restringere l’attenzione a grafi parziali (V , ET ) che siano sia connessi che aciclici, ovvero che siano alberi di supporto.

Dato un albero di supporto T = (V , ET ), il suo costo/peso totale sar`a w (T ) =

X

(i,j)∈ET

wij.

Indicando con T la collezione di tutti i possibili alberi di supporto, il problema di albero di supporto a peso minimo o, in inglese, Minimum Spanning Tree (MST), viene definito come segue: min T =(V ,ET )∈T

w (T ).

Bound sulla cardinalit`a di T

Sia |E | = m e |V | = n.

Un albero di supporto e definito da un sottoinsieme di E di cardinalita n − 1.

Bound sulla cardinalit`a di T

Sia |E | = m e |V | = n.

Un albero di supporto e definito da un sottoinsieme di E di cardinalita n − 1.

Quindi, il numero totale di alberi di supprto e limitato dal di sopra dal numero di possibili sottoinsiemi di archi cardinalita n − 1 che possiamo formare con gli m archi di E , ovvero:

|T | ≤

m n − 1

Algoirtmi di risoluzione

Vedremo tre diversi approcci risolutivi per questo problema:

Algoirtmi di risoluzione

Vedremo tre diversi approcci risolutivi per questo problema: ▶ (^) Algoritmo greedy