Stima di una Popolazione: Intervalli di Confidenza, Dispense di Statistica

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Cap. 8- 1

Capitolo 8

Stima di una Singola Popolazione

Statistica

Obbiettivi del Capitolo

Dopo aver completato il capitolo, sarete

in grado di:

 Distinguere una stima puntuale da un intervallo di

confidenza

 Costruire ed interpretare un intervallo di confidenza

per la media di una singola popolazione usando sia

Z che T

 Formare ed interpretare un intervallo di confidenza

per la proporzione di una singola popolazione

Definizioni

 Uno stimatore di un parametro della

popolazione è

 una variabile aleatoria che dipende dall’informazione

contenuta nel campione (a priori)

 il cui valore fornisce un’approssimazione del valore

sconosciuto del parametro (a posteriori, dopo

l’estrazione del campione)

 Uno specifico valore della variabile aleatoria

viene chiamato stima puntuale

Stima Puntuale e per Intervallo

 Una stima puntuale è un valore specifico

 Un intervallo di confidenza fornisce ulteriori

informazioni circa la variabilità della stima

Stima Puntuale

Limite Inferiore

Intervallo di

Confidenza

Limite Superiore

Intervallo di

Confidenza

Ampiezza Intervallo di

Confidenza

Non distorsione

 Uno stimatore puntale viene definito

stimatore non distorto per il parametro  se il

suo valore atteso, o media, della distribuzione

campionaria di è ,

 Esempi:

 La media campionaria è uno stimatore non distorto per μ

 La varianza campionaria è uno stimatore non distorto per σ

2

 La proporzione campionaria è uno stimatore non distorto per p

θ

ˆ

E

 è uno stimatore non distorto, è distorto:

1

ˆ

θ

2

ˆ

θ

θ

θ

1

ˆ

θ

2

ˆ

θ

Non distorsione

(continuazione)

Stimatore più Efficiente

 Supponiamo esistano diversi stimatori non distorti per 

 Lo stimatore più efficiente o stimatore non distorto con

varianza minima per  è lo stimatore non distorto con la

varianza più piccola

 Siano e due stimatori non distorti per , basati sullo

stesso numero di osservazioni campionarie. Allora,

 è più efficiente di se

 L’efficienza relativa di rispetto a è il rapporto tra le

loro varianze:

)

ˆ

) Var(

ˆ

Var( 1 2

θ  θ

)

ˆ

Var(

)

ˆ Var(

Efficienza Relativa

1

2

θ

θ



1

ˆ

θ 2

ˆ

θ

1

ˆ

θ 2

ˆ

θ

1

ˆ

θ

2

ˆ

θ

Intervalli di Confidenza

 Quanta incertezza è associata ad una stima

puntuale di un parametro della popolazione?

 Rispetto ad una stima puntuale, una stima per

intervallo fornisce maggiori informazioni sulla

caratteristica della popolazione oggetto di studio

 Tali stime per intervallo sono chiamate intervalli di

confidenza

Intervallo di Confidenza

e Livello di Confidenza

 Se P( A <  < B ) = 1 -  allora l’intervallo da A a

B viene definito intervallo di confidenza a livello

100(1 - )% per  ; la componente aleatoria

nell’espressione è data dagli estremi A e B

 La quantità (1 - ) viene definita livello di

confidenza dell’intervallo ( compreso tra 0 e 1)

 Se si estraggono ripetutamente campioni dalla

popolazione, il vero valore del parametro  sarà

contenuto nel 100(1 - )% degli intervalli calcolati

 A posteriori, considerando il campione effettivamente

estratto, l’intervallo di confidenza calcolato è pari a a <

 < b e viene ancora definito intervallo di confidenza a

livello 100(1 - )%

Processo di Stima

(media, μ ,

non nota)

Popolazione

Campione aleatorio

Media

x = 50

Campione

Sono

confidente al

95% che μ è

fra 40 & 60.

Formula Generale

 La formula generale per tutti gli intervalli

di confidenza è:

 Il valore del fattore di affidabilità dipende

dal livello di confidenza desiderato

Stima Puntuale  (Fattore di Affidabilità)(Errore Standard)

Intervalli di Confidenza

Media di una

Popolazione

Normale

σ

2 non nota

Intervalli di

Confidenza

Proporzione della

Popolazione

Con n grande

σ

2 nota

Media di una

Popolazione

qualunque ma

n grande

σ

2 non nota

Caso A Caso B Caso C

Caso D

CASO A Margine di Errore

 L’intervallo di confidenza,

 Può anche essere scritto come

dove ME è noto come margine di errore

 L’ ampiezza dell’intervallo, w , è uguale al doppio del

margine di errore

n

σ

μ x z

n

σ

x z

α/2 α/

x  ME

n

σ

ME z α/



CASO A Ridurre il Margine di Errore

Il margine di errore può essere ridotto se

 La deviazione standard della popolazione può essere

ridotta ( σ ↓)

 La dimensione del campione aumenta ( n ↑)

 Il livello di confidenza diminuisce, (1 – ) ↓

n

ME z

α/