Intervalli di Confidenza per la Stima delle Medie e delle Proporzioni, Appunti di Biostatistica

Scarica Intervalli di Confidenza per la Stima delle Medie e delle Proporzioni e più Appunti in PDF di Biostatistica solo su Docsity!

http://www.biostatistica.unich.it

L’INTERVALLO DI

CONFIDENZA

CAMPIONE

POPOLAZIONE

CAMPIONAMENTO

Stimare i Parametri della Popolazione

• La media del gruppo (campione) è una stima puntuale del

parametro della popolazione

• La stima puntuale non da indicazioni sulla variabilità della stima
• L’intervallo di confidenza è la stima intervallare del parametro

della popolazione

• Ogni media di gruppo fornisce una diversa stima connessa alle

fluttuazioni casuali dovute al campionamento

• Costruisco un intervallo centrato intorno alla media di gruppo sul

quale ho una certa confidenza che il parametro della popolazione

cada nell’intervallo

Intervallo di Confidenza e Parametro

Nel 95% circa dei campioni possibili l’intervallo di confidenza al

95% comprende il parametro della popolazione (171.5 cm)

Intervallo di Confidenza

• Gli intervalli di confidenza sono definiti come un intervallo di valori

costruito a partire dai dati

• All’interno dell’intervallo ho una certa probabilità (tipicamente

95%) che sia compreso il parametro della popolazione

• Per calcolare l’intervallo utilizzo le proprietà della distribuzione di

campionamento delle medie

Pr X −1.96^ σ^ n

≤μ ≤ X +1.96^ σ^ n

{ }

= 0.

Intervallo di Confidenza

• Maggiore è l’ampiezza dell’ Intervallo di Confidenza minore è la

precisione della stima

• La sua ampiezza, e quindi la precisione della stima, varia con la

numerosità dello studio e il grado di confidenza desiderato

 All’aumentare della numerosità l’ampiezza diminuisce e la

precisione aumenta

 All’aumentare del grado di confidenza (es. 99% invece di

95%) l’ampiezza aumenta e la precisione diminuisce

Proprietà

Se s è sconosciuta?

Problema

Se la varianza della popolazione s² non è nota?

(NB se  non è nota, è probabile che anche s² non sia nota)

Soluzione

Utilizzo la varianza campionaria s ² come stima di s²

(NB nella formula della varianza divido per (n-1) : i gradi di libertà)

PROBABILITA' (2 code) PROBABILITA' (1 coda)

Percentili della distribuzione t di Student

• 4.0 - 3.0 - 2.0 - 1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 x

f(x)

La distribuzione t di Student

1. È una distribuzione continua
2. È simmetrica rispetto alla media: 
3. Media , mediana e moda coincidono
4. È una distribuzione di probabilità
5. Se n è basso i valori nelle code sono più probabili
6. Al crescere di n la distribuzione approssima la

gaussiana standardizzata

Caratteristiche

Distribuzione t di Student e

Intervallo di Confidenza

Occorre modificare la formula precedente

tenendo conto delle nuove informazioni

Quali valori della distribuzione t di Student con 19 gradi di

libertà lasciano un’area nelle due code pari a 0.05?

Pr 1. 96 1. 96  0. 95 









       n

X n

X s ^ s

Pr X − tn −1, α /2 ∗ S n

≤μ≤ X + tn −1, α /2 ∗ S n

{ }

= 1 −α

PROBABILITA' (2 code) PROBABILITA' (1 coda)

Percentili della distribuzione t di Student

• 4.0 - 3.0 - 2.0 - 1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 x

f(x)

• 171. Intervallo di Confidenza e Parametro
• 171. Intervallo di Confidenza e Parametro
• GL 0,1 0,05 0,02 0,01 0,05 0,025 0,01 0,00
• 1 6,31 12,71 31,82 63,66 6,31 12,71 31,82 63,
• 2 2,92 4,30 6,96 9,92 2,92 4,30 6,96 9,
• 3 2,35 3,18 4,54 5,84 2,35 3,18 4,54 5,
• 4 2,13 2,78 3,75 4,60 2,13 2,78 3,75 4,
• 5 2,02 2,57 3,36 4,03 2,02 2,57 3,36 4,
• 6 1,94 2,45 3,14 3,71 1,94 2,45 3,14 3,
• 7 1,89 2,36 3,00 3,50 1,89 2,36 3,00 3,
• 8 1,86 2,31 2,90 3,36 1,86 2,31 2,90 3,
• 9 1,83 2,26 2,82 3,25 1,83 2,26 2,82 3,
• 10 1,81 2,23 2,76 3,17 1,81 2,23 2,76 3,
• 11 1,80 2,20 2,72 3,11 1,80 2,20 2,72 3,
• 12 1,78 2,18 2,68 3,05 1,78 2,18 2,68 3,
• 13 1,77 2,16 2,65 3,01 1,77 2,16 2,65 3,
• 14 1,76 2,14 2,62 2,98 1,76 2,14 2,62 2,
• 15 1,75 2,13 2,60 2,95 1,75 2,13 2,60 2,
• 16 1,75 2,12 2,58 2,92 1,75 2,12 2,58 2,
• 17 1,74 2,11 2,57 2,90 1,74 2,11 2,57 2,
• 18 1,73 2,10 2,55 2,88 1,73 2,10 2,55 2,
• 19 1,73 2,09 2,54 2,86 1,73 2,09 2,54 2,
• 20 1,72 2,09 2,53 2,85 1,72 2,09 2,53 2,
• 21 1,72 2,08 2,52 2,83 1,72 2,08 2,52 2,
• 22 1,72 2,07 2,51 2,82 1,72 2,07 2,51 2,
• 23 1,71 2,07 2,50 2,81 1,71 2,07 2,50 2,
• 24 1,71 2,06 2,49 2,80 1,71 2,06 2,49 2,
• 25 1,71 2,06 2,49 2,79 1,71 2,06 2,49 2,
• 26 1,71 2,06 2,48 2,78 1,71 2,06 2,48 2,
• 27 1,70 2,05 2,47 2,77 1,70 2,05 2,47 2,
• 28 1,70 2,05 2,47 2,76 1,70 2,05 2,47 2,
• 29 1,70 2,05 2,46 2,76 1,70 2,05 2,46 2,
• 30 1,70 2,04 2,46 2,75 1,70 2,04 2,46 2,
•  1,64 1,96 2,05 2,33 1,64 1,96 2,05 2,
• 1. Area nella coda superiore
• 0, Area nelle due code
• 0,
• 0,
• 0,
• 0,
• 0,
• GL 0,1 0,05 0,02 0,01 0,05 0,025 0,01 0,00
• 1 6,31 12,71 31,82 63,66 6,31 12,71 31,82 63,
• 2 2,92 4,30 6,96 9,92 2,92 4,30 6,96 9,
• 3 2,35 3,18 4,54 5,84 2,35 3,18 4,54 5,
• 4 2,13 2,78 3,75 4,60 2,13 2,78 3,75 4,
• 5 2,02 2,57 3,36 4,03 2,02 2,57 3,36 4,
• 6 1,94 2,45 3,14 3,71 1,94 2,45 3,14 3,
• 7 1,89 2,36 3,00 3,50 1,89 2,36 3,00 3,
• 8 1,86 2,31 2,90 3,36 1,86 2,31 2,90 3,
• 9 1,83 2,26 2,82 3,25 1,83 2,26 2,82 3,
• 10 1,81 2,23 2,76 3,17 1,81 2,23 2,76 3,
• 11 1,80 2,20 2,72 3,11 1,80 2,20 2,72 3,
• 12 1,78 2,18 2,68 3,05 1,78 2,18 2,68 3,
• 13 1,77 2,16 2,65 3,01 1,77 2,16 2,65 3,
• 14 1,76 2,14 2,62 2,98 1,76 2,14 2,62 2,
• 15 1,75 2,13 2,60 2,95 1,75 2,13 2,60 2,
• 16 1,75 2,12 2,58 2,92 1,75 2,12 2,58 2,
• 17 1,74 2,11 2,57 2,90 1,74 2,11 2,57 2,
• 18 1,73 2,10 2,55 2,88 1,73 2,10 2,55 2,
• 19 1,73 2,09 2,54 2,86 1,73 2,09 2,54 2,
• 20 1,72 2,09 2,53 2,85 1,72 2,09 2,53 2,
• 21 1,72 2,08 2,52 2,83 1,72 2,08 2,52 2,
• 22 1,72 2,07 2,51 2,82 1,72 2,07 2,51 2,
• 23 1,71 2,07 2,50 2,81 1,71 2,07 2,50 2,
• 24 1,71 2,06 2,49 2,80 1,71 2,06 2,49 2,
• 25 1,71 2,06 2,49 2,79 1,71 2,06 2,49 2,
• 26 1,71 2,06 2,48 2,78 1,71 2,06 2,48 2,
• 27 1,70 2,05 2,47 2,77 1,70 2,05 2,47 2,
• 28 1,70 2,05 2,47 2,76 1,70 2,05 2,47 2,
• 29 1,70 2,05 2,46 2,76 1,70 2,05 2,46 2,
• 30 1,70 2,04 2,46 2,75 1,70 2,04 2,46 2,
•  1,64 1,96 2,05 2,33 1,64 1,96 2,05 2,
• 1. Area nella coda superiore
• 0, Area nelle due code
• 0,
• 0,
• 0,
• 0,
• 0,
• 2, - 4,0 - 3,0 - 2,0 - 1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 t