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La distribuzione della probabilità della variabile casuale popolazione 𝑋 è di FORMA NOTA,
ma contenente uno o più parametri incogniti
Es.
- 𝑋 variabile casuale Bernoulliana con 𝜋 = 𝑃
incognita
𝜋 è il parametro incognito
- 𝑋 variabile casuale Normale 𝑁(𝜇, 𝜎
2
𝜇 e/o 𝜎
2
parametro incognito
In generale con 𝑋 la variabile casuale “popolazione”, e con 𝑓(𝑥; 𝜃) la sua distribuzione di
probabilità in cui 𝜃 = parametro incognito
Si effettuano 𝑛 osservazioni della popolazione condotte in modo indipendente
CAMPIONE CASUALE della popolazione 𝑋
1
2
𝑛
Collezione di 𝑛 variabili casuali:
1
= prima osservazione
2
= seconda osservazione
𝑛
= ennesima osservazione
Assunzione di base:
Le variabili casuali 𝑋 1
2
𝑛
sono indipendenti
Le variabili casuali 𝑋 1
2
𝑛
hanno tutte la stessa distribuzione di probabilità che è
uguale a 𝑓(𝑥; 𝜃)
(coincidente con quella della popolazione)
Del campione casuale 𝑋
1
2
𝑛
si osserva una realizzazione: 𝑥
1
2
𝑛
che da luogo ai
DATI STATISTICI CAMPIONARI
STATISTICA CAMPIONARIA = è una qualunque funzione del campione casuale 𝑋
1
2
𝑛
𝑛
1
2
𝑛
Funzione della variabile casuale 𝑋
1
2
𝑛
che formano il campione casuale, quindi è una
variabile casuale anch’essa
STIMA PUNTUALE
Variabile casuale 𝑋 “popolazione” con distribuzione di probabilità 𝑓(𝑥; 𝜃)
Di essa di osserva un campione casuale di numerosità 𝑛
1
2
𝑛
→ 𝑛 variabili casuali indipendenti e tutte con stessa distribuzione di probabilità
Problema: costruire una ragionevole approssimazione numerica per il parametro incognito
𝜃 sulla base dei dati forniti dal mio campione casuale
Il problema viene affrontato mediante la costruzione di una funzione del campione casuale
𝑛
1
2
𝑛
che prende il nome di STIMATORE di 𝜃
CAMPIONE CASUALE DATI STATISTICI CAMPIONARI
𝑛 variabili casuali 𝑛 numeri realizzazioni del campione
casuale
1
2
𝑛
1
2
𝑛
STIMATORE DI 𝜃 STIMA DI 𝜃
variabile casuale realizzazione dello stimatore (numero)
𝑛
1
2
𝑛
𝑛
1
2
𝑛
Lo stimatore deve fornire un’approssimazione numerica precisa di 𝜃 (parametro)
Dovrebbe essere poco disperso intorno a 𝜃: 𝐸
[
𝑛
]
Dispersione dello stimatore 𝑇 𝑛
1
2
𝑛
ERRORE DI STIMA AL QUADRATO
𝑛
2
→ variabile casuale, essendo 𝑇
𝑛
una variabile casuale
ERRORE QUADRATICO MEDIO dello stimatore 𝑇 𝑛
= valore atteso dell’errore di stima al quadrato, misura l’efficienza di uno stimatore
𝒏
= 𝑬[
𝒏
𝟐
]
si scompone in 𝐸𝑄𝑀
𝑛
𝑛
𝑛
2
Errore quadratico grande: stimatore cattivo
Errore quadratico piccolo: stimatore buono
𝑛
di 𝜃 è CORRETTO se 𝐸
[
𝑛
]
di 𝜃 è DISTORTO se non è corretto: 𝒅
𝒏
[
𝒏
]
𝑋 variabile casuale popolazione
Con valore atteso 𝜇 = 𝐸[𝑋] (media della popolazione)
E varianza 𝜎
2
= 𝐸[
2
]
1
variabile casuale con la stessa distribuzione della popolazione 𝑋 e con 𝐸
[
1
]
[
]
e 𝑉𝐴𝑅
1
2
𝑛
variabile casuale con la stessa distribuzione della popolazione 𝑋 e con 𝐸
[
𝑛
]
[
]
e 𝑉𝐴𝑅
𝑛
2
1
2
𝑛
sono indipendenti
Problema: stimare 𝜇 (valore atteso della popolazione) sulla base di un campione
casuale 𝑋
1
2
𝑛
di numerosità 𝑛
MEDIA CAMPIONARIA
Stimatore di 𝜇
𝑛
𝑖
𝑛
𝑖= 1
𝑛
1
2
𝑛
1
2
𝑛
Proprietà:
- Media campionaria è uno stimatore corretto della media della popolazione
[
𝑛
]
= 𝜇 =media della popolazione
[
𝑛
]
= 𝐸 [
1
2
𝑛
] =
[
1
]
[
2
]
[
𝑛
]
𝑛
𝑛
) perché la distorsione è 0
𝑛
1
2
𝑛
2
1
2
2
2
𝑛
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠𝑖𝑡à 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
Combinazione lineare delle
variabili casuali
𝑋
1
, 𝑋
2
, … , 𝑋
𝑛
con
coefficienti
1
𝑛
Cosa succede se 𝑛 aumenta?
Secondo la legge debole dei grandi numeri dimostra che la media campionaria è consistente
in probabilità per 𝜇
𝑛
diminuisce, cioè diminuisce la dispersione di 𝑋
𝑛
intorno a 𝜇
𝑛
diventa sempre più precisa all’aumentare di 𝜇
Se 𝑛 → ∞, 𝑉𝐴𝑅
𝑛
𝜎
2
𝑛
Distribuzione della variabile casuale 𝑋 𝑛
media campionaria
Se vogliamo la distribuzione esatta della media campionaria, abbiamo pochi risultati
Distribuzione approssimata di 𝑋 𝑛
TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE
𝑋
𝑛
̅̅̅̅ −E[𝑋
𝑛
̅̅̅̅ ]
√𝑉𝐴𝑅
( 𝑋 𝑛
̅̅̅̅ )
≈ 𝑁( 0 , 1 ) per 𝑛 grande 𝐸
[
𝑛
]
= 𝜇 e 𝑉𝐴𝑅
2
2
𝑋 𝑛
̅̅̅̅ −𝜇
√
𝜎
2
𝑛
𝑋
𝑛
̅̅̅̅ −𝜇
𝜎
2
√
𝑛
≈ 𝑁( 0 , 1 ) per 𝑛 grande
In pratica significa che per 𝑛 grande (𝑛 > 30 𝑜 𝑛 > 50 ) posso approssimare la distribuzione
di 𝑋
𝑛
con una Normale 𝑁 (𝜇,
𝜎
2
𝑛
𝑛
2
PROPORZIONE CAMPIONARIA
= frequenza relativa dei successi nel campione
Popolazione costituita da parti classificate come favorevoli (= successo, 1) o sfavorevoli (=
insuccesso, 0)
Popolazione descritta dalla variabile casuale 𝑋~𝐵𝑒𝑟(𝜋) con 𝜋 = 𝐸[𝑋]
Per stimare 𝜋 si utilizza la proporzione di successi nel campione (𝑋
1
2
𝑛
1
2
𝑛
= numero di successi nel campione
Lo stimatore di 𝜋 è la PROPORZIONE CAMPIONARIA
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
Media campionaria di una popolazione bernoulliana
Stimatore non distorto: 𝐸
[
]
Consistente in probabilità per 𝜋
Varianza di una variabile casuale bernoulliana: 𝑉𝐴𝑅
METODI DI COSTRUZIONE DEGLI STIMATORI: Metodo della massima verosimiglianza
Sia 𝑋~𝑓(𝑥; 𝜃) variabile casuale che descrive la popolazione
Si considera come stima di 𝜃 il valore 𝑡 𝑛
per il quale è massima la probabilità del campione
Variabili campionarie 𝑋 1
2
𝑛
indipendenti con stessa funzione di densità 𝑓(𝑥; 𝜃)
Funzione di densità del campione: 𝑓
1
2
𝑛
FUNZIONE DI VEROSOMIGLIANZA: 𝐿(𝜃) = 𝑓(𝑥
1
2
𝑛
Esprime quanto è verosimile che il valore del parametro sia 𝜃
Stima massima di verosimiglianza: valore per il quale 𝐿
è massima
Modello Stimatori di massima verosimiglianza
𝑖
𝑛
𝑖= 1
2
𝑖
𝑛
𝑖= 1
2 ̂
𝑖
2
𝑛
𝑖= 1
DETERMINAZIONE DELLA NUMEROSITA’ CAMPIONARIA PER LA MEDIA
Vincolo: 𝑆 = 𝐶
𝐹
𝐼
quindi 𝑛 =
𝑆−𝐶
𝐹
𝐶
𝐼
< 𝜀 dove 𝜀 = errore ritenuto tollerabile
Poiché 𝑋
è consistente in probabilità, la certezza che
< 𝜀 si ha per 𝑛 infinitamente
grande
Determinare 𝑛 tale che 𝑃
INTERVALLI DI CONFIDENZA
Plausibili valori per un parametro se lo stimatore è una variabile casuale continua
Riassume il grado di incertezza sul valore del parametro
La lunghezza degli intervalli si riduce quando la numerosità campionaria aumenta
𝑋~𝑓(𝑥; 𝜃) variabile casuale che descrive la popolazione
Intervallo di confidenza = stimatore di 𝜃 determinato in base a un campione casuale
1
2
𝑛
Produce come stima un insieme di plausibili valori per 𝜃
1
1
2
𝑛
2
1
2
𝑛
Intervallo di confidenza (𝐿
1
2
) è un intervallo casuale
Funzioni del campione osservato:
1
1
1
2
𝑛
2
2
1
2
𝑛
Insieme di valori che verosimilmente comprende il parametro con alta probabilità
Probabilità = LIVELLO DI CONFIDENZA
1
2
= 1 − 𝛼 (frequenza relativa)
INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA MEDIA DI POPOLAZIONE CON VARIANZA NOTA
Variabile casuale normale 𝑋~𝑁
2
[
]
= 𝜇 incognita
2
nota
Per costruire intervallo di confidenza: QUANTITA’ PIVOT = funzione del campione e del
parametro
In questo caso si può usare la media campionaria standardizzata:
2
2
2
2
Funzione di ripartizione = Φ (𝑧
𝑎
2
1 −𝛼
2
Può essere riscritta in modo tale da ottenere un intervallo di confidenza per 𝜇
2
2
𝛼
2
𝛼
2
𝛼
2
𝛼
2
Estremi:
1
𝑧 𝛼
2
𝜎
√
𝑛
2
𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
Si ottiene intervallo di confidenza (𝐿
1
2
) tale che 𝑃(𝐿
1
2
Statistiche campionarie: variabili casuali
Estremi:
1
𝑧 𝛼
2
𝜎
√
𝑛
2
𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA PROBABILITA’ DI SUCCESSO DI UNA VARIABILE
CASUALE DI BERNOULLI
Variabile casuale Bernoulliana 𝑋~𝐵𝑒𝑟
Stimatore della media: 𝑝̂
Stimatore della varianza: 𝑝̂ ( 1 − 𝑝̂ )
Di conseguenza la proporzione campionaria standardizzata è:
Per 𝑛 sufficientemente grande, ha distribuzione approssimativamente normale
standardizzata
2
2
2
2
𝛼
2
𝛼
2
𝛼
2
𝛼
2
Estremi:
1
𝛼
2
𝑝̂
( 1 −𝑝̂
)
𝑛
2
𝛼
2
𝑝̂( 1 −𝑝̂)
𝑛
Estremi
VARIANZA NOTA
𝑍 =
𝑋
̅
− 𝜇
𝜎/ √
𝑛
𝑃
( −𝑧
𝛼
2
<
𝑋
̅
− 𝜇
𝜎/ √
𝑛
< 𝑧
𝛼
2
) = 1 − 𝛼
𝑃 (𝑋
̅
−
𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
< 𝜇 < 𝑋
̅
𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
) = 1 − 𝛼
𝐿
1
= 𝑋
̅
−
𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
𝐿
2
= 𝑋
̅
𝑧 𝛼
2
𝜎
√𝑛
VARIANZA INCOGNITA
𝑍 =
𝑋
̅
− 𝜇
𝜎̂ /√𝑛
𝑃 (−𝑡
𝑛− 1 ,
𝛼
2
<
𝑋
̅
− 𝜇
𝜎̂ / √
𝑛
< 𝑡
𝑛− 1 ,
𝛼
2
) = 1 − 𝛼
𝑃 (𝑋
̅
− 𝑡
𝑛− 1 ,
𝛼
2
𝜎̂ /√𝑛 < 𝜇 < 𝑋
̅
𝑛− 1 ,
𝛼
2
𝜎̂ /√𝑛) = 1 − 𝛼
𝐿
1
= 𝑋
̅
− 𝑡
𝑛− 1 ,
𝛼
2
𝜎̂ / √
𝑛
𝐿
2
= 𝑋
̅
𝑛− 1 ,
𝛼
2
𝜎̂ /√𝑛
NON NORMALE
𝑍 =
𝑋
̅
− 𝜇
𝜎/ √
𝑛
𝑃 (−𝑧𝛼
2
<
𝑋
̅
− 𝜇
𝜎/ √
𝑛
< 𝑧𝛼
2
) ≅ 1 − 𝛼
𝑃 (𝑋
̅
− 𝑧𝛼
2
𝜎̂ /√𝑛 < 𝜇 < 𝑋
̅
2
𝜎̂ /√𝑛) = 1 − 𝛼
𝐿
1
= 𝑋
̅
−
𝑧 𝛼
2
𝜎
√𝑛
𝐿
2
= 𝑋
̅
𝑧𝛼
2
𝜎
√
𝑛
BERNOULLI
𝑍 =
𝑝̂ − 𝜋
√
𝑝̂ ( 1 − 𝑝̂ )
𝑛
𝑃 (−𝑧𝛼
2
<
𝑝̂ − 𝜋
√𝑝̂
( 1 − 𝑝̂
) /𝑛
< 𝑧𝛼
2
) ≅ 1 − 𝛼
𝑃 (𝑝̂ − 𝑧
𝛼
2
√
𝑝̂( 1 −𝑝̂ )
𝑛
< 𝜋 < 𝑝̂ + 𝑧
𝛼
2
√
𝑝̂ ( 1 −𝑝̂)
𝑛
) ≅ 1 − 𝛼
𝐿
1
= 𝑝̂ − 𝑧
𝛼
2
√
𝑝̂
( 1 −𝑝̂
)
𝑛
𝐿
2
= 𝑝̂ + 𝑧
𝛼
2
√
𝑝̂ ( 1 −𝑝̂ )
𝑛
ERRORI NEL TEST DELLE IPOTESI
Decisione 𝐻
0
vera 𝐻
0
falsa
0
respinta ERRORE I TIPO
Decisione corretta
0
non respinta Decisione corretta
ERRORE II TIPO
𝛼 e 𝛽 sono legate inversamente
Nel test delle ipotesi si fissa la probabilità dell’errore di tipo I (ritenuto più grave)
Procedimento di verifica di un sistema di ipotesi:
- Si fissa il livello di significatività di 𝛼
- Si individua la statistica test 𝑇
𝑛
- Nell’insieme di valori assunti da 𝑇 𝑛
si individua una regione critica tale che la probabilità
dell’errore di tipo I sia pari ad 𝛼
TEST UNIDIREZIONALE SULLA MEDIA DI UNA POPOLAZIONE NORMALE CON VARIANZA
NOTA
- Confrontiamo un’ipotesi nulla semplice sulla media con un’ipotesi alternativa composita
unidirezionale
0
0
verso 𝐻
1
0
Se l’ipotesi nulla è vera, la media campionaria standardizzata ha distribuzione nota
𝑛
0
𝐻
0
𝑛
𝛼
Dove 𝑧
𝛼
è determinato in modo che
0
0
𝑛
0
𝑛
𝛼
0
0
𝛼
0
Valore della funzione di ripartizione di 𝑍 in 𝑧
𝛼
è Φ
𝛼
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎
√𝑛
𝛼
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎
√
𝑛
𝛼
- Se l’ipotesi nulla è un’ipotesi composita del tipo 𝐻
0
0
e si confrontano le due
ipotesi unidirezionali
0
0
verso 𝐻
1
0
Regola di decisione = {
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎
√𝑛
𝛼
0
𝑛𝑜𝑛 è 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎
√𝑛
𝛼
0
è 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎
La regola di decisione rimane inalterata
Il livello di significatività 𝛼 diventa la massima probabilità di commettere l’errore di tipo I
2
con 𝜎
2
nota
Sottoponiamo a test un’ipotesi nulla del tipo 𝐻
0
0
o 𝐻
0
0
verso 𝐻
1
0
0
𝛼
0
𝛼
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎
√𝑛
𝛼
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎
√𝑛
𝛼
TEST UNIDIREZIONALE SULLA MEDIA DI UNA POPOLAZIONE NORMALE CON VARIANZA
INCOGNITA
2
) e supponiamo di voler confrontare due ipotesi unidirezionali
0
0
verso 𝐻
1
0
Se la varianza non è nota, non è possibile utilizzare come statistica test la media
campionaria standardizzata
Quando 𝜇 = 𝜇
0
, la media campionaria studentizzata ha distribuzione nota:
𝑛
0
𝜇=𝜇
0
𝑛− 1
Dove 𝜎̂
2
è lo stimatore non distorto della varianza
Valore critico:
𝑛
𝑛− 1 ,𝛼
0
0
𝑛− 1 ,𝛼
0
𝑛− 1
𝑛− 1 ,𝛼
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎
√𝑛
𝑛− 1 ,𝛼
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎
√𝑛
𝑛− 1 ,𝛼
- Quando le ipotesi da sottoporre al test sono 𝐻
0
0
verso 𝐻
1
0
0
𝑛− 1 ,𝛼
0
𝑛− 1
𝑛− 1 ,𝛼
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎
√𝑛
𝑛− 1 ,𝛼
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎
√𝑛
𝑛− 1 ,𝛼
Regola di decisione = {
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎
√
𝑛
𝛼
0
𝑛𝑜𝑛 è 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎
√𝑛
𝛼
0
è 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎
√
𝑛
𝛼
- Per verificare il sistema di ipotesi bidirezionale 𝐻
0
0
verso 𝐻
1
0
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎
√𝑛
𝛼
2
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎
√𝑛
𝛼
2
dove 𝑧
𝛼
2
è tale che 𝑃(𝑍 < −𝑧
𝛼
2
𝛼
2
𝛼
2
TEST SULLA PROBABILITA’ DI SUCCESSO DI UNA VARIABILE CASUALE DI BERNOULLI
Se 𝜋 = 𝜋
0
allora 𝐸
[
]
0
e 𝑉𝐴𝑅
0
0
Per la proporzione campionaria risulta: 𝐸[𝑝̂ ] = 𝜋
0
e 𝑉𝐴𝑅(𝑝̂ ) =
𝜋
0
( 1 −𝜋
0
)
𝑛
si può quindi utilizzare come statistica test:
𝑝̂ −𝜋
0
√
𝜋
0
( 1 −𝜋
0
)
𝑛
ossia la media campionaria standardizzata per una Bernoulliana
Per il Teorema del limite centrala, quando 𝜋 = 𝜋
0
la statistica test ha distribuzione
asintoticamente normale e per 𝑛 sufficientemente grande si ha
0
0
0
- Per verificare il sistema di ipotesi 𝐻
0
0
verso 𝐻
1
0
oppure 𝐻
0
0
verso
1
0
𝑝̂−𝜋
0
√
𝜋
0
( 1 −𝜋
0
)
𝑛
𝛼
𝑝̂−𝜋 0
√
𝜋 0
( 1 −𝜋 0
)
𝑛
𝛼
dove 𝑧
𝛼
è tale che 𝑃(𝑍 > 𝑧
𝛼
- Per verificare il sistema di ipotesi 𝐻 0
0
verso 𝐻
1
0
oppure 𝐻
0
0
verso
1
0
𝑝̂−𝜋
0
√
𝜋
0
( 1 −𝜋
0
)
𝑛
𝛼
𝑝̂−𝜋
0
√
𝜋
0
( 1 −𝜋
0
)
𝑛
𝛼
- Per verificare il sistema di ipotesi bidirezionale 𝐻 0
0
verso 𝐻
1
0
𝑝̂ −𝜋
0
√
𝜋
0
( 1 −𝜋
0
)
𝑛
𝛼
2
𝑝̂ −𝜋
0
√
𝜋
0
( 1 −𝜋
0
)
𝑛
𝛼
2
dove 𝑧
𝛼
2
è tale che 𝑃(𝑍 < −𝑧
𝛼
2
𝛼
2
𝛼
2
UNIDIREZIONALE DX
𝐻
0
: 𝜇 = 𝜇
0
o 𝐻
0
: 𝜇 ≤ 𝜇
0
verso
𝐻
1
: 𝜇 > 𝜇
0
UNIDIREZIONALE SX
𝐻
0
: 𝜇 = 𝜇
0
o 𝐻
0
: 𝜇 ≥ 𝜇
0
verso
𝐻
1
: 𝜇 < 𝜇
0
BIDIREZIONALE
𝐻
0
: 𝜇 = 𝜇
0
verso
𝐻
1
: 𝜇 ≠ 𝜇
0
NORMALE VARIANZA
NOTA
𝑇 𝑛
= (
𝑋
̅ −𝜇 0
𝜎
√
𝑛
)
𝐻
0
~𝑁( 0 , 1 )
𝑅. 𝐴. =
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎
√
𝑛
≤ 𝑧
𝛼
𝑅. 𝐶. =
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎
√
𝑛
𝑧
𝛼
𝑅. 𝐴. =
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎
√
𝑛
≥ −𝑧
𝛼
𝑅. 𝐶. =
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎
√
𝑛
< −𝑧
𝛼
NORMALE VARIANZA
INCOGNITA
𝑇 𝑛
= (
𝑋
̅ −𝜇
0
𝜎̂
√𝑛
)
𝜇=𝜇 0
~𝑡
𝑛− 1
𝑅. 𝐴. =
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎̂
√𝑛
≤ 𝑧
𝛼
𝑅. 𝐶. =
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎̂
√
𝑛
𝑧
𝛼
𝑅. 𝐴. =
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎̂
√𝑛
≥ −𝑡
𝑛− 1 ,𝛼
𝑅. 𝐶. =
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎̂
√
𝑛
< −𝑡
𝑛− 1 ,𝛼
𝑅. 𝐴. = |
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎̂
√𝑛
| ≤ 𝑡
𝑛− 1 ,
𝛼
2
𝑅. 𝐶. =
|
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎̂
√
𝑛
|
𝑡
𝑛− 1 ,
𝛼
2
NON NORMALE
𝑇 𝑛
=
𝑋
̅ −𝜇 0
𝜎̂
√
𝑛
𝑅. 𝐴. =
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎̂
√𝑛
≤ 𝑧
𝛼
𝑅. 𝐶. =
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎̂
√
𝑛
𝑧
𝛼
𝑅. 𝐴. =
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎̂
√𝑛
≥ −𝑧
𝛼
𝑅. 𝐶. =
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎̂
√
𝑛
< −𝑧
𝛼
𝑅. 𝐴. = |
𝑥̅ −𝜇
0
𝜎̂
√𝑛
| > 𝑧
𝛼
2
𝑅. 𝐶. =
|
𝑥̅ −𝜇 0
𝜎̂
√
𝑛
| ≤ 𝑧
𝛼
2
BERNOULLI
𝑇 𝑛
=
𝑝̂−𝜋 0
√
𝜋 0
( 1 −𝜋 0
)
𝑛
𝑅. 𝐴. =
𝑝̂−𝜋
0
√
𝜋
0
( 1 −𝜋
0
)
𝑛
≤ 𝑧
𝛼
𝑅. 𝐶. =
𝑝̂ −𝜋 0
√
𝜋 0
( 1 −𝜋 0
)
𝑛
𝑧
𝛼
𝑅. 𝐴. =
𝑝̂−𝜋
0
√
𝜋
0
( 1 −𝜋
0
)
𝑛
≥ −𝑧
𝛼
𝑅. 𝐶. =
𝑝̂ −𝜋 0
√
𝜋 0
( 1 −𝜋 0
)
𝑛
< −𝑧
𝛼
𝑅. 𝐴. =
|
𝑝̂−𝜋 0
√
𝜋 0
( 1 −𝜋 0
)
𝑛
|
𝑧
𝛼
2
𝑅. 𝐶. = |
𝑝̂ −𝜋 0
√
𝜋 0
( 1 −𝜋 0
)
𝑛
| ≤ 𝑧
𝛼
2
TEST CHI QUADRATO
𝑡 𝑛
=
𝑟 𝑋𝑌
√ ( 1 −𝑟
𝑋𝑌
2
)/(𝑛− 2 )
𝑅. 𝐴. : |𝑡
𝑛
| ≤ 𝑡
𝑛− 2 ,
𝛼
2
𝑅. 𝐶. :
| 𝑡
𝑛
|
𝑡
𝑛− 2 ,
𝛼
2
POTENZA DEL TEST 𝜸
= probabilità di respingere l’ipotesi nulla quando è falsa
Probabilità dell’errore di II tipo (𝛽)
A differenza di 𝛼 e di 𝛽, la potenza del test esprime la probabilità che si assuma una
decisione corretta
0
1
𝑛
1
Riducendo il livello di significatività si riduce la potenza del test (si riduce la probabilità di
respingere l’ipotesi nulla sia quando è vera sia quando è falsa
Quando l’ipotesi alternativa è COMPOSITA è possibile calcolare la potenza del test per
particolari valori del parametro compresi sotto l’ipotesi alternativa
1) NORMALE CON VARIANZA NOTA
2
Vogliamo verificare le ipotesi 𝐻
0
0
verso 𝐻
1
0
sulla base di un campione di
numerosità 𝑛
È possibile calcolare la potenza del test quando la media assume un valore 𝜇
1
tale che
1
0
Poiché la varianza è nota si utilizza la media campionaria come statistica test e la regione
critica è:
0
𝛼
Ciò significa che l’ipotesi nulla è respinta quando il valore osservato della media
campionaria 𝑥̅ è maggiore di 𝜇
0
𝛼
𝜎
√
𝑛
e quindi la regione critica può essere ridefinita
come:
0
𝛼
Potenza del test quando la media è 𝜇
1
è data da:
1
0
𝛼
1
- Per valori del parametro compresi sotto l’ipotesi alternativa la potenza del test varia tra
il livello di significatività 𝛼 e 1
- Aumentando la numerosità campionaria è possibile che la potenza del test tenda più
rapidamente a 1
2) BERNOULLIANA
Vogliamo verificare le ipotesi 𝐻
0
0
verso 𝐻
1
0
0
0
0
2
0
𝛼
2
0
0
0
𝛼
2
0
0
Potenza del test quando la probabilità di successo assume il valore 𝜋
1
𝛾
( 𝜋
1
) = 𝑃 (𝑝̂ < 𝜋
0
− 𝑧
𝛼
2
√𝜋
0
( 1 − 𝜋
0
)/𝑛
| 𝜋 = 𝜋
1
) 𝑃 (𝑝̂ > 𝜋
0
𝛼
2
√𝜋
0
( 1 − 𝜋
0
)/𝑛
| 𝜋 = 𝜋
1
)
- La potenza varia fra il livello di significatività 𝛼 e 1
- Aumenta quando il valore del parametro si allontana dai valori considerati sotto l’ipotesi
nulla
- Aumentando il livello di significatività è possibile aumentare la potenza del test
- La potenza del test tede tanto più rapidamente a 1 quanto maggiore è la numerosità
campionari
INTERVALLI DI CONFIDENZA E TEST DELLE IPOTESI BIDIREZIONALI
Se la statistica test e la quantità pivot hanno la stessa espressione, avendo a disposizione un
intervallo di confidenza, è possibile predire l’esito del test
Un intervallo di confidenza è costituito da tutti i valori del parametro 𝜃
0
per i quali l’ipotesi
nulla 𝜃 = 𝜃 0
non è respinta
Popolazione normale
2
Vogliamo verificare le ipotesi 𝐻 0
0
verso 𝐻
1
0
sulla base di un campione di
numerosità 𝑛 al livello di significatività 𝛼
0
𝑛− 1 ,
𝛼
2
La statistica test assume valori tra:
𝑛− 1 ,
𝛼
2
0
𝑛− 1 ,
𝛼
2
𝑛− 1 ,
𝛼
2
0
𝑛− 1 ,
𝛼
2
