PROGRAMMAZIONE LINEARE
La ricerca operativa utilizzata in ambito militare, oggi viene applicata all’industria, nel settore
pubblico e nell’economia, si occupa della risoluzione di problemi che richiedono una scelta e cerca
di determinarne la soluzione ottimale.
La programmazione lineare occupa una parte importante della ricerca operativa e molti sono i
campi in cui è possibile applicarla, dai problemi di programmazione industriale, dove si richiede di
massimizzare gli utili e minimizzare i costi, ai problemi di miscuglio e di trasporto.
Quindi, è una tecnica matematica usata nella pianificazione amministrativa ed economica per
trovare il massimo o il minimo di funzioni lineari soggette a “vincoli”, il ricavo (o il costo) assume la
forma di funzione, che viene indicata spesso con z e viene detta “funzione obiettivo”.
Esempio : Un’ azienda produce quotidianamente una quantità x di divani e una quantità y di
poltrone, l’azienda, quindi, ricava 600€ per ogni divano e 400€ per ogni poltrona.
La funzione obiettivo (il ricavo) sarà così rappresentato z=600y+400y
Quanto vale il massimo ricavo per l’azienda? Al variare di x e di y, ovvero del numero di articoli
prodotti dell’uno e dell’altro tipo, varia il ricavo giornaliero.
La funzione z = 600 x + 400 y nello spazio viene rappresentata con un piano.
Da un punto di vista matematico, questa funzione ricavo non ha limitazioni, mentre da un punto di
vista pratico ci rendiamo conto che x e y non possono assumere valori qualsiasi, ma devono
obbedire a dei “vincoli”.
Si è in presenza di un problema di programmazione lineare in due variabili quando, il problema si
traduce in un modello matematico costituito da:
Una funzione obiettivo, lineare in 2 variabili (le variabili hanno tutte esponente uno) dette
variabili di decisione, che normalmente esprime un costo (da minimizzare) oppure un
ricavo o un guadagno (da massimizzare);
Un sistema di vincoli, espressi da equazioni o disequazioni lineari nelle 2 variabili (cioè di
primo grado): esprimo, che per esempio, in un processo produttivo possono intervenire
quantità limitate da una certa materia prima;
Un sistema di vincoli di segno, che esprimono la non-negatività delle variabili, trattandosi
di grandezze misurabili.
I vincoli sono dati da un insieme di disequazioni e/o equazioni , le cui soluzioni, sul piano
cartesiano, individuano un poligono convesso o una regione illimitata.
Quando l’insieme delle soluzioni ammissibili di un problema di programmazione lineare è un
poligono convesso, allora la soluzione ottimale (ossia il punto di massimo o di minimo della
funzione obiettivo), esiste sempre e si trova in uno dei vertici del poligono.
