Programmazione lineare - basi e soluzioni di base, Appunti di Ricerca Operativa

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Programmazione lineare: basi e

soluzioni di base

Variabili di base e variabili fuori base

Consideriamo il problema della PL in forma standard

dove

c, x R

n , A R

m×n , b R

m

Rappresentazione compatta

min c

T x : Ax = b, x ≥ 0

Il vettore c

T

è anche detto vettore dei costi.

ν = min c

T x A x = b

x ≥ 0

DEFINIZIONE.

Una collezione di m colonne linearmente indipendenti di A

si dice base di A.

Le variabili xj associate alle colonne nella base si dicono

variabili di base.

Le rimanenti variabili si dicono fuori base.

Le variabili di base possono essere sempre ricavate,

univocamente, da quelle fuori base.

Infatti, supponiamo per semplicità che la base B sia

costituita dalle prime m colonne di A.

Indichiamo con

B = [A 1 , A 2 ,... , Am] , N = [Am+1, Am+2,... , An]

Allora:

A = [B, N ]

B N B N

Per la lineare indipendenza delle prime m colonne di A, la

matrice B è non singolare (cioè è invertibile):

Bx = b − Nx = x = B

− b −B

− Nx

e la soluzione

x =

xB

xN

B

− b −B

− NxN

=

xN

soddisfa sempre, per costruzione, il sistema Ax = b dato.

Il ragionamento vale anche se la base non è costituita dalla

prime m colonne di A.

In generale, si definisce l’insieme β {1, 2 ,... , n} di m

elementi tali che la matrice

B =

A

β(1)

, A

β(2)

,... , A

β(m)

(dove β(1),... , β(m) è un arbitrario ordinamento di β e Aβ(j)

indica con η = {1, 2 ,... , n} \ β l’insieme complementare di β.

indica la colonna β(j)-sima di A) costituisce una base, e si

N B

B

DEFINIZIONE.

La soluzione ottenuta ponendo

x = 0 e x = B

− b

si dice soluzione di base associata alla base B.

La soluzione di base (e, per estensione, la base B stessa)

si dice ammissibile se

In particolare: x^ =^ B

− b ≥ 0.

è non degenere se xB > 0

è degenere se esiste almeno un j β tale che xj = 0

Esempio

• min −x 1 − 2x
  • x 1 + x 2 ≤
  • x 1 ≤
  • x 2 ≤
  • x 1 ≥ 0, x 2 ≥

β = (1, 2 , 3), B =

x 4

xN =

x 5

B

La base è non ammissibile poiché x 3 < 0.

x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = −1, x 4 = 0, x 5 = 0

x = B

− 1 b =  0 0 1   2

β = (1, 2 , 4), B =

B ^ 

La base è ammissibile non degenere.

x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 1, x 5 = 0

x = B

− 1 b =  0 0 1   2

β = (2, 3 , 4), B =

B

La base è ammissibile non degenere.

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 1, x 4 = 2, x 5 = 0

x = B

− 1 b =  (^1 0) −1   2

Esercizio

min −x 1 − 2 x 2

6 x 1 + 4x 2 ≤ 24

3 x 1 − 2x 2 ≤ 6

x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

Individuare e classificare tutte le basi.

Alcune considerazioni.

Per determinare l’ottimo di un problema di PL possiamo

limitarci all’esplorazione delle soluzioni di base, poiché

tra di esse, se il problema ammette ottimo, si troverà la

soluzione.

Ciò non vuol dire che non possano esistere soluzioni

ottimali non di base, ma almeno una delle soluzioni

ottimali deve essere di base.

Il teorema permette di passare da un problema in cui lo

spazio delle soluzioni da analizzare per trovare l’ottimo

è un insieme continuo, ad un insieme di candidati ottimi

finito.

Poichè le soluzioni di base nascono dall’identificazione

di una sottomatrice B invertibile costituita da m colonne

della matrice A, il numero complessivo di possibili basi

non potrà superare il numero di modi in cui è possibile

scegliere m colonne da un insieme di n, e cioè:

n m!

m n!(n^ −^ m)!