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1 © Zanichelli Editore, 2006
� PROBLEMA 1 In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (O xy ), è assegnata la curva k di equazione y � f ( x ), dove è:
f ( x ) � �^ x x
2 3
a) Determinare per quali valori di x essa è situata nel semipiano y � 0 e per quali nel semipiano y � 0. b) Trovare l’equazione della parabola passante per l’origine O degli assi e avente l’asse di simmetria paral- lelo all’asse y , sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa �1 ( N.B.: si dice che una curva incide ortogonalmente un’altra in un punto se le rette tangenti alle due curve in quel punto sono perpendicolari ). c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa �1 ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza. d) Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all’asse x. e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f ( x ) assegnata, relativamente all’intervallo �� 2 � � x � 0.
� PROBLEMA 2 Si considerino le lunghezze seguenti: [1] a � 2 x , a � x , 2 a � x , dove a è una lunghezza nota non nulla ed x è una lunghezza incognita. a) Determinare per quali valori di x le lunghezze [1] si possono considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere. b) Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze [1], ne esiste uno di area massima o minima. c) Verificato che per x � �^ a 4 � le [1] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costru- zione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ot- tusangolo. d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c, in modo che BC sia il lato maggiore, si con- duca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo a : calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell’ampiezza dell’angolo formato dai due piani DBC e ABC.
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO • 2002
Sessione ordinaria
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
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lelo all’asse y , sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa �1 ( N.B.: si dice che una curva incide ortogonalmente un’altra in un punto se le rette tangenti alle due curve in quel punto sono perpendicolari ). c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa �1 ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza. d) Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all’asse x. e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f ( x ) assegnata, relativamente all’intervallo �� 2 � � x � 0.
� PROBLEMA 2
Si considerino le lunghezze seguenti: [1] a � 2 x , a � x , 2 a � x , dove a è una lunghezza nota non nulla ed x è una lunghezza incognita. a) Determinare per quali valori di x le lunghezze [1] si possono considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere. b) Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze [1], ne esiste uno di area massima o minima. c) Verificato che per x � �^ a 4
� le [1] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costru- zione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ot- tusangolo. d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c, in modo che BC sia il lato maggiore, si con- duca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo a : calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell’ampiezza dell’angolo formato dai due piani DBC e ABC.
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� PROBLEMA 1 a) Si discute la positività della funzione: si ha �^ xx
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� 2 � 0 per x � � � (^32) �, � x x
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� 2 � 0 per x � � � (^32) �. Per-
tanto il grafico è situato nel semipiano y � 0 per x � � �^32 � e nel semipiano y � 0 per x � � �^32 �. b) Il punto della curva k di ascissa �1 ha ordinata f (�1) � 3 e quindi coordinate (�1; 3). La parabola richiesta ha equazione y � ax^2 � bx. Il passaggio per (�1; 3) implica che a � b � 3 e quindi l’equazione diventa y � ax^2 � ( a � 3) x. Il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola è dato da y ′ � 2 ax � a � 3 e nel punto di ascissa �1 vale m � � a � 3. Il coefficiente angolare m ′ della retta tangente alla curva k nel punto x � � 1 è uguale a f ′(�1). Poiché f ′( x ) � �
� x ( (
x x
3 3
x )^2
�, m ′ � f ′(�1) � � 11. Imponendo la condizione di perpendicolarità tra le due tangenti, m � m ′ � � 1, si trova � 11(� a � 3) � � 1 → a � � �
1 �^.
L’equazione della parabola cercata è: y � � �^3141 � x^2 � �^6171 � x. c) Per le considerazioni al punto b , la retta passante per (�1; 3) e tangente alla curva k ha equazione: y � 3 � � 11( x � 1) → y � � 11 x � 8. Le intersezioni tra tale ret- ta e la curva si trovano risolvendo il sistema:
. L’equazione risolvente è
11 x^4 � 8 x^3 � x^2 � 22 x � 18 � 0. Poiché x � � 1 è un punto di tangenza, il polinomio sarà divisibile due volte per il binomio ( x � 1). Applicando la regola di Ruffini, esso si scompone nel modo seguente: ( x � 1)^2 (11 x^2 � 14 x � 18). Il discriminante di 11 x^2 � 14 x � 18 vale: �� 4
� � 49 � 198 � 0; pertanto non esistono soluzioni reali del po- linomio diverse da x � � 1. Se ne conclude che la retta tangente interseca la curva k solo nel punto (�1; 3). d) Si tratta di determinare i punti stazionari della funzione f , dove, cioè, la derivata prima si annulla. Nel punto b ) si era calcolato f ′( x ) � ��^ x^ ((^ xx
3 3
x )^2 �^ �^ 4). Pertanto si hanno punti stazionari per x � 0 e nelle eventuali soluzioni dell’equazione x^3 � 6 x � 4 � 0. Poiché quest’ultima non è risolvibile per via elemen- tare, si consideri la funzione g ( x ) � x^3 � 6 x � 4. Essa è continua e assume in R sia valori positivi che ne- gativi. Per il teorema dell’esistenza degli zeri, ammette almeno uno zero e, essendo la derivata prima g ′( x ) � x^2 � 6 di segno costante, per non andare contro il teorema di Rolle, esisterà un solo zero. In conclusione, i punti in cui la curva k ha tangente parallela all’asse x sono due, x � 0 e l’unica radice dell’equazione x^3 � 6 x � 4 � 0. e) Il teorema di Lagrange afferma che se una funzione f ( x ) è continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] ed è derivabile in ogni punto interno a esso, allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che: �^ f^ ( b b
f a
�^ ( a ) � f ′( c ).
Essendo la funzione f ( x ) � �
x x
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� 2 non definita nel punto x � � � (^32) � e �� 2 � � � � (^32) � � 0, essa non è
quindi continua nell’intervallo [�� 2 �; 0]. Di conseguenza il teorema di Lagrange non è applicabile.
y � � 11 x � 8 y � �^ x x
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SOLUZIONE DELLA PROVA D’ESAME
CORSO DI ORDINAMENTO • 2002
Sessione ordinaria
� (^) Figura 1.
O x
y
3
k k
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� PROBLEMA 2
a) Tenendo conto che x e a , in quanto lunghezze, sono non negative, le condizioni che devono essere soddisfatte sono la positività delle lunghezze dei lati e le disuguaglianze triangolari: a � 2 x � 0 a � 2 x � 0 sempre verificato a � x � 0 x � a 2 a � x � 0 →
x � 2 a → x � �
a 2 �^.
a � 2 x � a � x � 2 a � x
x � �^ a 2 � a � x � a � 2 x � 2 a � x 2 x � 2 a � 0 sempre verificato 2 a � x � a � 2 x � a � x 2 x � 0 sempre verificato
Per avere un triangolo non degenere deve essere 0 � x � �^ a 2 �. b) Per calcolare l’area del triangolo, noti i lati, si usa la formula di Erone: S � � p �(� p �� � a )(� p ��� � b )(� p ��� � c )�, ove p è il semiperimetro. p � 2 a → S ( x ) � � 2 � a �( a �� � 2 x �)(� a �� � x )� x � � 2 � a ��� � 2 x �^3 �^ � � ax �^2 �^ � � a �^2 x.
La funzione S è continua nell’intervallo (^) �0; �
a 2 ��; la sua derivata prima è S ′( x )� � 2 � a. Studiando il suo
segno si ricava che S ′( x ) � 0 quando � 6 x^2 � 2 ax � a^2 � 0, che ha soluzione 0 � x � a ��^1 � 6 �^ �^7 �. Lo schema che si ottiene è il seguente (figura 2). Pertanto il triangolo non degenere ha area massima per x � a ��^1 � 6 �^ �^7 �. Si osservi che per x � 0 e
x � �^ a 2
� la superficie assumerebbe il valore minimo zero ma questi casi corrispondono a triangoli dege- neri. c) Nel punto a) si è trovato che le lunghezze sono lati di un triangolo non degenere quando 0 � x � �^ a 2 � ,
allora ciò è vero per x � �^ a 4
�. In tal caso i lati hanno lunghezze �^3 2
� a , �^3 4
� a e �^7 4
� a , tutti e tre multipli di a secondo numeri razionali. Dato un segmento che assumiamo di lunghezza a , si costruisce il segmento di lunghezza �^ m n
� a , per esempio, �^3 2
� a , nel seguente modo (figura 3). Tracciato il segmento AB che misura a , si disegna da A una se- miretta non contenente B. Su essa si sceglie un generico punto P 1 e col compasso si riporta per tre volte (il massimo tra m e ed n nel caso generale) il segmento AP 1. Congiunto B con P 2 , si manda da P 3 la parallela a BP 2. Il segmento AC per il teorema di Talete ha lunghezza �
2 �^ a^. Allo stesso modo si ottengono i segmenti di lunghezza �^34 � a e �^74 � a. La costruzione del triangolo ABC avviene nel piano con
� 6 x^2 � 2 ax � a^2 ��� 2 ��� � 2 x � (^3) � (^) � � ax � (^2) � (^) � � a � (^2) x S'(x)S(x) 0
0
max
a ––––– a 2 –
� (^) Figura 2.
A a^ B^ C
P 1
P 2
P 3
� (^) Figura 3.
