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MATEMATICA GENERALE
Simulazione 4 della prima prova parziale Tempo disponibile: 1 ora e 30 minuti (32 punti totali)
Esercizio 1
Data la funzione f (x) = x^2 ex
determinarne: i) (7 punti) dominio, eventuali simmetrie ed intersezioni con gli assi, segno; ii) (5 punti) limiti signiÖcativi ed eventuali asintoti; iii) (4 punti) derivata prima, monotonia ed eventuali estremi; iv) (2 punti) derivata seconda e concavit‡/convessit‡; v) (2 punti) il graÖco sommario.
Esercizio 2 (6 punti)
Data la funzione f (x) = 1 (jxj)^3 ;
disegnarne il graÖco e (sulla base del graÖco stesso) trovarne il suo unico punto di minimo relativo/locale.
Esercizio 3
(3 punti)
Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata:
max x;y (x 10)^2 (y 10)^2 sotto il vincolo x + 2y = 20:
Denotando con il moltiplicatore di Lagrange, la soluzione (x; y; ) Ë tale che:
- ^ = 8;
- ^ = 2;
- x^ = 7;
- y^ = 9;
- nessuna delle precedenti risposte vale.
Esercizio 4
(3 punti)
Data la funzione f (x) =
2 x + 2 per x 0 1 x^2 per x > 0
la sua inversa f ^1 (y) Ë:
- f ^1 (y) =
p^1 ^12 y^ per^ y^ ^3 y^2 1 per y < 1
- f ^1 (y) =
p^2 ^12 y^ per^ y^ ^4 y^2 1 per y < 2
- f ^1 (y) =
p^2 ^ y^ per^ y^ ^0 1 + y^2 per y < 0
- f ^1 (y) =
1 12 y per y 2 p 1 y per y < 1
- nessuna delle precedenti risposte vale.
i) INTERSEZIONI CON GLI ASSI
I La coppia (0; 0) Ë la sola intersezione con líasse y:
( y = x^2 ex x = 0
y = 0 x = 0
I La coppia (0; 0) Ë la sola intersezione con líasse x:
( y = x^2 ex y = 0
x^2 ex^ = 0 y = 0
x = 0 y = 0
i) SEGNO
I La funzione Ë positiva nellíintervallo ( 1; 0) [ (0; + 1 ):
x^2 ex^ > 0 () x^2 > 0 () x 6 = 0.
I Si puÚ dunque gi‡ a§ermare che x = 0 Ë punto di minimo assoluto forte.
ii) LIMITI AGLI ESTREMI DEL DOMINIO ED ASINTOTI
I Líasse x Ë asintoto orizzontale sinistro poichË:
x ! 1^ lim^ x
2 e x^ =^ u !lim+^1
( u)^2 eu^ =^0
- (^) (gerarchie di inÖnito).
I La funzione diverge a + 1 senza avere un asintoto obliquo destro:
x !^ lim+ 1 x
(^2) ex x =^ +^1 (ëmínon esiste Önito)^ :
iii) DERIVATA PRIMA
d dx
x^2 ex
= 2 x ex^ + x^2 ex
= ex^
2 x + x^2
iii) MONOTONIA ED ESTREMI
I La funzione Ë strettamente crescente nellíintervallo ( 1; 2) e nellíintervallo (0; + 1 ):
f 0 (x) = ex^
2 x + x^2
0 , x (2 + x) > 0 , x < 2 _ x > 0.
v) GRAFICO DI f (x) = x^2 ex
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
x
y
Esercizio 2 (6 punti)
Data la funzione f (x) = 1 (jxj)^3 ;
disegnarne il graÖco e (sulla base del graÖco stesso) trovarne il suo unico punto di minimo relativo/locale.
SOLUZIONE DELLíESERCIZIO 2
Possiamo ricostruire il graÖco della f usando passo per passo líe§etto graÖco della composizione. Quindi:
-2 -1 1 2
2
4
x
y
(a) y = x^3
-2 -1 1 2
2
4
x
y
(^) (b) y = (jxj)^3
-2 -1 1 2
2
4
x
y
(^) (c) y = (jxj) 3
-2 -1 1 2
2
4
x
y
(d) y = 1 (jxj)^3
-2 -1 1 2
2
4
x
y
(^) (e) y = 1 (jxj)^3
-2 -1 1 2
2
4
x
y
(^) (f) y = 1 (jxj) 3
Dallíanalisi graÖca segue che líunico punto di minimo relativo/locale per f Ë x = 0. Ad esempio, per ogni x 2 I 12 (0) con x 6 = 0 Ë chiaro dal graÖco che f (x) > f (0) = 1.
La funzione obiettivo ottimizzata raggiunge il livello
(x^ 10)^2 (y^ 10)^2 = 22 42 = 20 :
Naturalmente, il punto di massimo non vincolato Ë (10; 10) dove la funzione raggiunge il livello 0.
Per maggiore intuizione segue líanalisi graÖca basata sulle curve di livello (la sua derivazione analitica non Ë richiesta).
(^00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 )
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
y
x + 2y = 20 (vincolo)
curva di livello c = - 20
Esercizio 4
(3 punti)
Data la funzione f (x) =
2 x + 2 per x 0 1 x^2 per x > 0
la sua inversa f ^1 (y) Ë:
- f ^1 (y) =
p^1 ^12 y^ per^ y^ ^3 y^2 1 per y < 1
- f ^1 (y) =
p^2 ^12 y^ per^ y^ ^4 y^2 1 per y < 2
- f ^1 (y) =
p^2 ^ y^ per^ y^ ^0 1 + y^2 per y < 0
- f ^1 (y) =
1 12 y per y 2 p 1 y per y < 1
- nessuna delle precedenti risposte vale.
SOLUZIONE DELLíESERCIZIO 4
La risposta esatta Ë la 4).
-1 1 2 3
1
2
3
v. indipendente
v. dipendente
( graÖco di f ^1 in rosso )
