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Esame di Statistica (12/01/2017) Soluzione compito 001
Università degli Studi di Salerno
Scienze Politiche e Relazioni Internazionali
Scienze dell’Amministrazione e dell’Organizzazione
- Problema Esercizio (pt.8) L’amministrazione comunale di un piccolo centro turistico organizza un punto informativo per il periodo estivo (1 giugno - 30 settembre 2016). Per valutare il gradimento delle informazioni fornite, un questionario viene somministrato ad un campione di turisti scelti casualmente, al termine del loro soggiorno. La tabella seguente riporta alcuni dei dati rilevati: Eta’ (misurata in anni), Sesso (codificato come 1=Maschio, 2=Femmina), spesa del soggiorno (in migliaia di euro) e voto complessivo sulle informazioni (da 1 a 10, ottenuto come media di punteggi su aspetti vari relativi al servizio informativo). I risultati della rilevazione campionaria sono riportati nella tabella seguente:
Spesa Voto Eta’ Sesso 1 10.4 8.1 39.6 1. 2 9.9 7.6 37.9 1. 3 10.2 7.9 41.7 1. 4 11.8 9.5 49.4 1. 5 8.2 5.9 31.2 1. 6 11.8 9.5 46.3 1. 7 7.1 4.8 29.8 1. 8 8.4 6.1 34.5 1. 9 8.0 5.7 28.8 1. 10 11.8 9.4 39.9 2. 11 10.2 7.9 33.4 2. 12 11.7 9.4 38.8 2. 13 10.8 8.5 36.4 2. 14 8.8 6.5 23.8 2. 15 11.8 9.5 36.6 2. 16 9.6 7.3 30.2 2. 17 10.3 8.0 32.8 2. 18 10.8 8.5 36.4 2. 19 8.4 6.2 22.9 2. 20 10.2 7.9 34.5 2. 21 10.1 7.8 32.8 2. 22 11.7 9.4 39.4 2. 23 8.0 5.7 23.1 2. 24 8.7 6.4 25.0 2.
a) Calcola la spesa media e la deviazione standard della spesa sostenuta dai turisti. b) Calcola i quartili della distribuzione della spesa, separatamente per i maschi e le femmine. c) Rappresenta graficamente la distribuzione della spesa, separatamente per i maschi e le femmine, mediante box-plot paralleli. Descrivi le caratteristiche delle due distribuzioni cosi’ come evidenti dal grafico. d) Costuisci una distribuzione di frequenza doppia per il sesso e la spesa. Per la variabile spesa si considerino due classi a seconda che la spesa sia minore o maggiore/uguale della media. e) Calcola le distribuzioni marginali percentuali per i caratteri spesa e genere. f) Rappresenta graficamente la distribuzione marginale percentuale del genere.
Soluzione
a) Calcola la spesa media e la deviazione standard della spesa sostenuta dai turisti.
Tabella 1: Turisti Spesa Voto Eta m 9.946 7.646 34. m2 100.936 60.448 1227. S2 pop 2.013 1.987 45. S pop 1.420 1.410 6. S2 2.100 2.070 47. S 1.450 1.440 6.
b) Calcola i quartili della distribuzione della spesa, separatamente per i maschi e le femmine.
Tabella 2: Sintesi a cinque Maschi Femmine x1 7.100 8. Q1 8.100 8. Med 9.900 10. Q3 11.100 11. xn 11.800 11. H1 3.600 4. H2 15.600 16.
c) Rappresenta graficamente la distribuzione della spesa, separatamente per i maschi e le femmine, mediante box-plot paralleli. Descrivi le caratteristiche delle due distribuzioni cosi’ come evidenti dal grafico. d) Costuisci una distribuzione di frequenza doppia per il sesso e la spesa. Per la variabile spesa si considerino due classi a seconda che la spesa sia minore o maggiore/uguale della media.
Tabella 3: Tabella di contingenza < mu >= mu M 5 4 F 5 10
e) Calcola le distribuzioni marginali percentuali per i caratteri spesa e genere M F 37.5 62.
< mu >= mu 41.7 58. f) Rappresenta graficamente la distribuzione marginale percentuale del genere
- Problema Esercizio (pt.8) Sulla base degli incidenti registratisi in un recente anno, il Dipartimento di Sicurezza Stradale della Florida ha diffuso i conteggi dei sopravvissuti (S) o morti (M) distinguendoli in base al fatto che indossassero (s`ı) o meno (no) le cinture di sicurezza. I dati sono riportati nella tabella di contingenza:
Cinture Sopravvissuti Morti Totale S`ı 4500 590 5090 No 2300 620 2920 Totale 6800 1210 8010
a) Qual e l’insieme dei possibili esiti (spazio campionario) per un individuo scelto a caso fra quelli coinvolti in un incidente d’auto? Usa il diagramma al albero per mostrare le possibili alternative. b) Usa i dati a disposizione per calcolare P (M ) e P (no). c) Calcola la probabilita che un individuo non indossi la cintura di sicurezza e muoia.
Soluzione
a) Qual `e l’insieme dei possibili esiti (spazio campionario) per un individuo scelto a caso fra quelli coinvolti in un incidente d’auto? Usa il diagramma al albero per mostrare le possibili alternative.
Ω = {(S, S); (S, M ); (N o, S); (N o, M )}
b) Usa i dati a disposizione per calcolare P (M ) e P (no).
Pr(M ) =
Pr(no) =
c) Calcola la probabilit`a che un individuo non indossi la cintura di sicurezza e muoia.
Pr(N oeM ) =
- Problema Esercizio (pt.8) Uno studio statistico ha come obbiettivo l’analisi del consumo eccessivo di alcol tra i giovani nel fine settimana. Basandosi su campioni casuali lo studio afferma che il numero di giovani che si sono ubriacati almeno 3 volte nelle ultime 4 settimane era 150 (in un campione di 400 giovani) nel 2006 e di 255 (su un campione di 800 giovani) nel 2016.
a) Stima la differenza tra le proporzioni nel 2006 e nel 2016 ed interpreta il risultato. b) Calcola l’errore standard per questa differenza ed interpreta il risultato. c) Costruisci l’intervallo di confidenza per la differenza delle proporzioni, al livello 95%. Interpreta e commenta i risultati dell’intervallo di confidenza. d) Sottoponi a test l’ipotesi che la proporzione non sia variata dal 2006 al 2016. Effettua il test (di tipo bidirezionale) considerando un livello di significativita’ del 5%. Interpreta e commenta i risultati del test.
Soluzione
a) Le due proporzioni campionarie sono pari a
pˆ 1 =
X 1
n 1
pˆ 2 =
X 2
n 2
La differenza tra le proporzioni e’ ˆp 1 − pˆ 2 = 0.0562. b) L’errore standard per questa differenza e’
SE =
p ˆ 1 (1 − pˆ 1 ) n 1
pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) n 2
c) L’intervallo di confidenza per la differenza delle proporzioni, al livello 95% e’
pˆ 1 − pˆ 2 ± zα/ 2 ×
p ˆ 1 (1 − pˆ 1 ) n 1
pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) n 2
Il percentile sulla gaussiana al livello del 2.5% e’ 1.96. Sostituendo, abbiamo il limite inferiore pari a
- 375 − 0. 3188 − 1. 96 × 0 .0293 = − 0. 003
ed il limite superiore e’ pari a
- 375 − 0 .3188 + 1. 96 × 0 .0293 = 0. 115
d) La differenza tra le proporzioni campionarie e’ 0.375 - 0.3188 = 0.0562, e dividendo per lo standard error si ottiene il valore della statistica test che e’ 1.9379 mentre il pvalue e’ 0.0526.
- Problema Domanda (pt.2)
- Cosa `e il margine di errore per un intervallo di confidenza? Soluzione Capitolo 8
- Problema Domanda (pt.2) Come `e possibile descrivere la distribuzione normale? Soluzione Capitolo 6
- Problema Domanda (pt.1) In uno studio sugli studenti universitari che hanno sostenuto il test GRE, il Educational Testing Service riporta che per un esame con punteggi quantitativi, i cittadini U.S. hanno un valore medio di 529 e una deviazione standard di 127, mentre i cittadini non-U.S. hanno una media di 649 e una deviazione standard di 129. Quale delle seguenti affermazioni
e vera? (a) Entrambi i gruppi hanno una medesima variabilita nei punteggi, ma i cittadini non-U.S. hanno una migliore performance in media rispetto ai cittadini U.S. (b) I cittadini non-U.S. che hanno un punteggio di 3 deviazioni standard sotto la media, hanno un punteggio di 200. (c) Se i punteggi variano tra 200 e 800, allora probabilmente i punteggi per i cittadini non-U.S. sono simmetrici e hanno una forma a campana. (d) Se la distribuzione dei punteggi hanno approssimativamente una forma a campana, allora quasi nessun cittadini non-U.S. ha un punteggio sotto 400. Soluzione In uno studio sugli studenti universitari che hanno sostenuto il test GRE, il Educational Testing Service riporta che per un esame con punteggi quantitativi, i cittadini U.S. hanno un valore medio di 529 e una deviazione standard di 127, mentre i cittadini non-U.S. hanno una media di 649 e una deviazione standard di 129. Quale delle seguenti affermazioni `e vera?
(a) tRUE Entrambi i gruppi hanno una medesima variabilit`a nei punteggi, ma i cittadini non-U.S. hanno una migliore performance in media rispetto ai cittadini U.S. (b) FALSE I cittadini non-U.S. che hanno un punteggio di 3 deviazioni standard sotto la media, hanno un punteggio di 200. (c) FALSE Se i punteggi variano tra 200 e 800, allora probabilmente i punteggi per i cittadini non-U.S. sono simmetrici e hanno una forma a campana. (d) FALSE Se la distribuzione dei punteggi hanno approssimativamente una forma a campana, allora quasi nessun cittadini non-U.S. ha un punteggio sotto 400.
- Problema Domanda (pt.1) Una correlazione uguale a 0.30 pu
o essere intepretata come (a) ˆy cambia di 0.30 unita per un incremento unitario di x. (b) il 30% del tempo ˆy = y. (c) una associazione piu forte rispetto a due variabili con una correlazione uguale a -0.70. (d) una debole, positiva assocazione. Soluzione Una correlazione uguale a 0.30 puo essere intepretata come
(a) FALSE ˆy cambia di 0.30 unita per un incremento unitario di x. (b) FALSE il 30% del tempo ˆy = y. (c) FALSE una associazione piu forte rispetto a due variabili con una correlazione uguale a -0.70. (d) TRUE una debole, positiva assocazione.
