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Esame di Statistica (24/01/2017) Soluzione compito 001
Università degli Studi di Salerno
Scienze Politiche e Relazioni Internazionali
Scienze dell’Amministrazione e dell’Organizzazione
- Problema Esercizio (pt.8) L’amministrazione comunale di una citta’ del Centro-Sud desidera valutare il gradimento delle strutture ricreative messe a disposizione della popolazione. A tal fine, un questionario viene somministrato ad un campione di cittadini che usufruiscono di tali strutture. La tabella seguente riporta alcuni dei dati rilevati: eta’ (misurata in anni), Sesso (codificato come 1=Maschio, 2=Femmina), quota di iscrizione (in euro) a seconda del servizio utilizzato, voto complessivo sulle informazioni (da 1 a 10, ottenuto come media di punteggi su aspetti vari relativi ai servizi offerti), servizio offerto (codificato come 1=strumento musicale, 2=sport, 3=ballo, e 4=giochi da tavolo). I risultati della rilevazione campionaria sono riportati nella tabella seguente:
Quota Voto Eta’ Sesso Servizio 1 118.1 6.8 34.0 1.0 3. 2 83.7 3.4 22.0 1.0 2. 3 77.3 2.7 19.3 1.0 2. 4 114.5 6.4 36.1 1.0 2. 5 87.8 3.8 23.0 1.0 3. 6 78.3 2.8 21.6 1.0 1. 7 83.7 3.4 22.0 1.0 2. 8 91.2 4.1 24.9 1.0 2. 9 111.2 6.1 32.6 1.0 2. 10 105.9 5.6 19.0 2.0 3. 11 121.2 7.1 30.5 2.0 2. 12 129.1 7.9 29.9 2.0 3. 13 124.4 7.4 28.4 2.0 2. 14 115.4 6.5 26.7 2.0 3. 15 134.7 8.5 33.0 2.0 1. 16 118.3 6.8 28.2 2.0 2. 17 102.6 5.3 20.4 2.0 2. 18 119.5 6.9 27.1 2.0 2. 19 119.8 7.0 31.5 2.0 3. 20 99.8 5.0 22.6 2.0 2.
a) Calcola la media e la deviazione standard del voto espresso dai cittadini e della quota di iscrizione. b) Calcola i quartili della distribuzione del voto, separatamente per i maschi e le femmine. Descrivi le caratteristiche della distribuzione cosi’ come evidenti dai quartili. c) Disegna lo scatterplot (o diagramma a dispersione) tra il voto espresso e la quota di iscrizione e commentalo brevemente. d) Verifica se esiste un legame lineare tra il voto espresso e la quota di iscrizione e commenta il risultato. e) Costruisci una distribuzione di frequenza semplice per il carattere servizi offerti. f) Costruisci la distribuzione delle frequenze relative per il carattere servizi offerti.
Soluzione
a) Calcola la media e la deviazione standard del voto espresso dai cittadini e della quota di iscrizione.
Tabella 1: Cittadini Spesa Voto Eta m 106.825 5.675 26. m2 11709.440 35.164 736. S2 pop 297.859 2.958 26. S pop 17.260 1.720 5. S2 313.540 3.110 27. S 17.710 1.760 5.
Tabella 2: Sintesi a cinque Maschi Femmine x1 2.700 5. Q1 3.100 5. Med 3.800 6. Q3 6.250 7. xn 6.800 8. H1 -1.630 2. H2 10.980 10.
b) Calcola i quartili della distribuzione del voto, separatamente per i maschi e le femmine. Descrivi le caratteristiche della distribuzione cosi’ come evidenti dai quartili. c) Disegna lo scatterplot (o diagramma a dispersione) tra il voto espresso e la quota di iscrizione e commentalo brevemente. d) Verifica se esiste un legame lineare tra il voto espresso e la quota di iscrizione.
Tabella 3: Cittadini x Misto 635. Cov 29. Corr 1. aHat -4. bHat 0.
e) Costuisci una distribuzione di frequenza semplice per il carattere servizi offerti.
Tabella 4: Tabella di frequenza V.A. Servizio 1 2 Servizio 2 12 Servizio 3 6 Servizio 4 0
f) Calcola la distribuzione delle frequenze relative per il carattere servizi offerti.
Tabella 5: Tabella di frequenza relativa V.A. Servizio 1 0. Servizio 2 0. Servizio 3 0. Servizio 4 0.
- Problema Esercizio (pt.8) L’agenzia delle entrate ha condotto una rilevazione statistica sui contribuenti cha hanno versato le imposte sul reddito nell’anno 2016 utilizzando il modello 730. Da questa indagine risulta che su 10 milioni di
dichiarazioni, il 52.1 percento di esse sono basate sul modello pre-compilato dall’agenzia, senza ulteriori modifiche. Viene selezionato un campione casuale di 1700 contribuenti.
a) Calcola il numero atteso e la deviazione standard dei contribuenti che, nel campione, scelgono di versare le imposte utilizzando il modello pre-compilato. b) Calcola la probabilita’ che, nel campione, il numero di contribuenti che sceglie di versare le imposte utilizzando il modello pre-compilato sia compreso tra 860 e 929. c) Calcola la probabilita’ che via siano almeno 843 contribuenti che scelgono di presentare il modello pre-compilato.
Soluzione
a) Chiaramente la variabile casuale X definita come il numero di contribuenti che sceglie di versare le imposte utilizzando il modello pre-compilato e’ una variabile casuale Binomiale con parametri n = 1700 e p = 0.521. Pertanto E[X] = np = 885. 7 ds[X] =
np(1 − p) = 20.5973. b) Utilizziamo l’approssimazione Gaussiana alla Binomiale Y ∼ N (885. 7 , 424 .2488). Pertanto: Pr(860 ≤ X ≤ 929) ≈ Pr(860 ≤ Y ≤ 929) = Pr(− 1. 2477 ≤ Z ≤ 2 .1022) = Φ(2.1022) − Φ(− 1 .2477) = 0. 9822 − 0. 1061 = 0. 8761 c) Pr(X ≥ 843) ≈ Pr(Y ≥ 843) = Pr(z ≥ − 2 .0731) = 1 − Φ(− 2 .0731) = 1 − 0. 0191 = 0. 9809
- Problema Esercizio (pt.8) Il progetto di Mimma per il suo corso introduttivo di Statistica prevedeva di confrontare i prezzi di vendita dei libri di testo su due diversi siti Internet. Prima ha selezionato un campione casuale di 10 libri usati durante il semestre nei corsi della sua universit`a, basandosi sulla lista di testi compilata dalla libreria universitaria. I prezzi di quei libri di testo nei due siti Internet erano: Sito A: 115; 105; 125; 75; 55; 60; 100; 90; 120; 85 Sito B: 75; 105; 35; 65; 115; 45; 140; 30; 85; 110
a) I campioni sono dipendenti o indipendenti? Giustifica la tua risposta. b) Trova la media per ogni campione. Trova la media della differenza nei prezzi. Confronta ed interpreta il risultato. c) Costruisci l’intervallo di confidenza per la differenza fra le medie dei prezzi della popolazione dei libri di testo utilizzati nel semestre nell’universita di Mimma, al livello 0.9. Interpreta e commenta i risultati dell’intervallo di confidenza. d) Sottoponi a test l’ipotesi che il prezzo medioe piu basso in uno dei due siti Internet, considerando un livello di significativita del 0.1. Interpreta e commenta i risultati del test.
Soluzione
a) I campioni sono dipendenti. b) La media per ogni campione `e data da
x¯ 1 =
n
i
xi 1 = 93
x¯ 2 =
n
i
xi 2 = 80. 5
Per calcolare la media della differenza nei prezzi, dobbiamo dapprima calcolare la differenza per ogni unit`a dei prezzi dei due siti Internet.
di = xi 1 − xi 2
Di tale quantit`a dobbiamo calcolarne la media:
d¯ =^1 n
i
di = 12. 5
c) L’intervallo di confidenza per la differenza tra le medie dei prezzi, al livello 0.9 `e
d¯ ± t(n−1),α/ 2 ×
s^2 d n Il percentile sulla T di student con gdl pari a 10-1 al livello del 1 − 0 .9 = 0.1 `e 1.383. Sostituendo, abbiamo il limite inferiore pari a
12. 5 − 1. 383 × 4 .6083 = 6. 127
ed il limite superiore `e pari a 12 .5 + 1. 383 × 4 .6083 = 18. 873
d) La differenza tra le medie dei prezzi e 12.5, e dividendo per lo standard error 4.6083 si ottiene il valore della statistica test chee 2.7125 mentre il pvalue `e 0.0033.
- Problema Domanda (pt.2) Cosa `e la distribuzione campionaria? Soluzione Capitolo 7
- Problema Domanda (pt.2) Quali sono le assunzioni che bisogna fare sul metodo di raccolta dei dati e sulla forma delle distribuzioni della popolazione, per gli intervalli di confidenza e i test di significativit`a su un parametro o per confrontare due parametri? Soluzione Capitolo 8
- Problema Domanda (pt.1) In uno studio sugli studenti laureati che hanno sostenuto il GRE, il Educational Testing Service ha registrato una correlazione di 0.37 tra il GPA dei laureati e quello degli iscritti al primo anno. Questo significa che
(a) La relazione tra GPA degli universitari e quello degli iscritti al primo anno segue una curva piuttosto che una linea retta. (b) Se il GPA degli universitari aumenta di una unita, il GPA degli iscritti al primo anno aumenta di 0.37. (c) Poich´e la correlazionee diversa da zero, possiamo predire il GPA degli iscritti al primo anno se conosciamo il GPA degli universitari. (d) Se una delle variabili aumenta, c’`e una debole tendenza all’aumento anche per l’altra variabile.
Soluzione In uno studio sugli studenti laureati che hanno sostenuto il GRE, il Educational Testing Service ha registrato una correlazione di 0.37 tra il GPA dei laureati e quello degli iscritti al primo anno. Questo significa che
(a) FALSE La relazione tra GPA degli universitari e quello degli iscritti al primo anno segue una curva piuttosto che una linea retta.
