ECONOMIA – Matematica Generale E
1. E’ data la funzione 𝑓(𝑥): ℝ → ℝ definita da
𝑓(𝑥)={−3𝑥 − 𝑎 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
−2log (𝑥 + 3) 𝑠𝑒 𝑥 > 1.
a) Disegnarne il grafico nel caso 𝑎 = −4.
b) Calcolare l’inversa nel caso 𝑎 = −4.
c) Stabilite per quali valori del parametro 𝑎 ∈ ℝ la
funzione è invertibile.
2. Si consideri la funzione:
𝑓(𝑥)= 5log(𝑥2+1)− 3𝑥
definita nel suo campo di esistenza. a) Determinarne
l’immagine. b) Determinarne gli eventuali sup, inf,
min e max e i relativi punti. c) Determinarne gli
eventuali punti di min/max relativo. d) Disegnarne il
grafico.
3. a) Calcolare
lim
𝑥→−∞ 2𝑥3+ 4𝑥
𝑥 − 3𝑥−5𝑥3
b) Calcolare per ogni valore del parametro 𝑎𝜖ℝ
lim
𝑥→0+1 − cos (3𝑥) − ax
3𝑥2+ 𝑥3
4. E’ data la funzione:
𝑓(𝑥)= 𝑒4𝑥−𝑥2
definita nel suo campo di esistenza.
Determinarne gli intervalli di convessità e di concavità
e gli eventuali flessi.
5. a) Calcolare: ∫2sin (3𝑥 − 1)𝑑𝑥
b) Calcolare: ∫𝑥+1
2𝑥+1𝑑𝑥
c) Calcolare l’integrale improprio: ∫3
𝑥2−𝑒−2𝑥𝑑𝑥
+∞
1 .
6. Disegnare le curve di livello -1,0,1 di:
𝑓(𝑥,𝑦)=(𝑥 − 1)2
𝑦
7. a) Calcolare i punti di Lagrange nel caso della
funzione 𝑓:[0,3] → ℝ definita da: 𝑓(𝑥)=2
𝑥+1
b) Dare un esempio di funzione 𝑓: [0,3] → ℝ che non
possiede minimo.
8. a) Scrivere la definizione di punto di minimo
relativo.
b) Calcolare i punti di minimo e massimo relativo della
funzione 𝑓:[0,3] → ℝ definita da: 𝑓(𝑥)= 𝑥4−𝑥
