Scarica Prove di esame di matematica generale e più Prove d'esame in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!
Esame 14 gennaio 2020
durata prevista: 2 ore
Cognome e Nome: Matricola:
Istruzioni
- Il testo dell’esame e tutti i fogli forniti devono riportare nominativo e matricola dello
studente e devono essere restituiti alla fine dell’esame.
- Le soluzioni devono essere riportate sui fogli forniti con tutti i passaggi necessari
opportunamente commentati e devono essere individuabili usando la numerazione
presente sul testo. Lo studente deve segnalare eventuali parti errate che non devono
essere corrette dal docente.
- Lo studente può usare i propri appunti, le note del docente e i libri di testo, che devono
riportare il nominativo e matricola dello studente. Questo materiale non può essere
condiviso con altri studenti.
- Lo studente può usare una calcolatrice scientifica non grafica e non programmabile, ma
non può usare telefoni e smartphone.
Testo
1) Dati:
𝐀 = [
], 𝐁 = [
] e 𝐛 = [
]
a) Calcolare 𝐀
T
e 𝐁
T
. ( 1 punti)
T
[
]
e 𝐁
T
[
]
b) Calcolare 𝐀𝐁. ( 1 punti)
𝐀𝐁 = [
] [
] = [
]
[
]
c) Calcolare det (𝐀), det (𝐁) e det (𝐀𝐁
2
). ( 2 punti)
det
= [
] =
det
= [
] =
det
2
= det
det
2
= (− 1 ) ×
2
d) Risolvere il sistema lineare 𝐀𝐱 + 𝐁𝐱 = 𝐛. ( 4 punti)
Se raccogliamo la 𝐱 possiamo riscrivere il sistema come:
Prima di risolvere il sistema calcoliamo 𝐂 = 𝐀 + 𝐁:
𝐂 = 𝐀 + 𝐁 = [
] + [
] = [
]
Risolviamo il sistema 𝐂𝐱 = 𝐛 applicando il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan:
[
]
= [
] ⟹ [
] ⟹ [
]
⟹ [
] ⟹ [
] ⟹ [
] ⟹ {
1
2
3
2) Un’azienda ha stimato che la domanda 𝑞 (in termini di unità vendute) in funzione del
prezzo 𝑝 (in Euro) del suo prodotto A è data dalla funzione:
a) Determinare il prezzo 𝑝 che massimizza il ricavo 𝑅 = 𝑞𝑝; ( 2 punti)
La funzione ricavo è: 𝑅(𝑝) = 𝑞𝑝 = − 100 𝑝
2
Per trovare il prezzo che massimizza il ricavo è necessario calcolare la derivata prima:
′
Applicando le condizioni del primo ordine troviamo dove la derivata prima è zero:
′
Siccome la derivata seconda 𝑅
′′
= − 200 in corrispondenza del prezzo 𝑝 = 24
abbiamo il massimo che stavamo cercando.
Il prezzo che massimizza il ricavo è 𝑝 = 24.
b) Determinare il prezzo 𝑝 per il quale si ottiene un ricavo 𝑅 = 38000. ( 2 punti)
Per ottenere il prezzo è necessario risolvere la seguente equazione:
2
- 4800 𝑝 = 38000 , ossia è necessario determinare il valore di 𝑝
per cui − 100 𝑝
2
- 4800 𝑝 − 38000 = 0. Essendo un’equazione di secondo grado, la
soluzione si ottiene applicando la formula: 𝑝 =
− 4800 ±√ 4800
2
− 4 ×(− 100 )×(− 38000 )
− 200
le cui
soluzioni sono sempre 𝑝
1
− 4800 + 2800
− 200
= 10 e 𝑝
2
− 4800 − 2800
− 200
3) Data la funzione:
𝑥
𝑥
Calcolare:
a) Il limite lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥); ( 1 punti)
lim
𝑥→−∞
4 𝑒
𝑥
1 +𝑒
𝑥
0
1
⟹ lim
𝑥→−∞
4 𝑒
𝑥
1 +𝑒
𝑥
b) Il limite lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥); ( 1 punti)
lim
𝑥→+∞
4 𝑒
𝑥
1 +𝑒
𝑥
∞
∞
⟹ applicando de l
′
Hopital lim
𝑥→+∞
4 𝑒
𝑥
1 +𝑒
𝑥
= lim
𝑥→+∞
4 𝑒
𝑥
𝑒
𝑥
c) L’integrale ∫ 𝑓(𝑥)
2
0
𝑑𝑥. ( 3 punti)
4 𝑒
𝑥
1 +𝑒
𝑥
Se applichiamo la sostituzione 𝑢 = 1 + 𝑒
𝑥
, abbiamo 𝑑𝑥 =
1
𝑒
𝑥
𝑑𝑢, da cui:
4 𝑒
𝑥
1 +𝑒
𝑥
4 𝑒
𝑥
𝑢
1
𝑒
𝑥
4
𝑢
𝑑𝑢 = 4 ln|𝑢| + 𝐶
d) il grafico; ( 2 punti)
5) Data la funzione
2
2
a) Calcolare il gradiente ∇𝑓(𝑥, 𝑦). ( 1 punti)
= [
]
b) Calcolare la matrice Hessiana 𝐇(𝑓(𝑥, 𝑦)). ( 1 Punti)
𝐇(𝑓(𝑥, 𝑦)) = [
]
c) Trovare i punti stazionari (punti critici) e classificarli (e.g., massimo
locale, minimo locale, punto di sella). ( 2 punti)
- Condizioni del primo ordine per ottenere i punti critici:
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = [
] = [
] ⟹ {
- Condizioni del secondo ordine per classificare I punti critici:
) = [
] ⟹ det (𝐇(𝑓
Siccome det (𝐇(𝑓
)) < 0 , il punto critico
è un punto di sella.
d) Trovare il minimo della funzione 𝑓
per i punti che soddisfano
l’equazione 𝑥 − 𝑦 = 0. (2 punti)
Se 𝑥 − 𝑦 = 0 , allora 𝑥 = 𝑦. Quindi possiamo sostituire 𝑥 con 𝑦, ottenendo:
2
2
2
2
Siccome 𝑓
′
= 12 𝑦 − 2 , applicando le condizioni primo ordine otteniamo:
′
1
6
Inoltre, 𝑓
′′
= 12 > 0 , per cui le condizioni del secondo ordine indicano che il
minimo è nel punto (
1
6
1
6
