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buonissimi
Tipologia: Esercizi
1 / 12
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Media aritmetica
n
x
n
x x x x
n
i
i n
=
= 1 2 K 1
Per distribuzioni di frequenza si ha
∑
∑
=
=
=
=
= (^) n
i
i
N
i
i i
n
n n
n N
xn
n n n
xn xn xn x
1
1
1 2
11 2 2
K
K
Media armonica
Mar=
n
i i x 1
Per distribuzioni di frequenza si ha:
Mar=
n
i i
i
x
n
1
Media geometrica
n
n
i
i
n M (^) g = x⋅x ⋅ ⋅xn= ∏x = 1
1 2 K
Per distribuzioni di frequenza: N
N
i
g n i M xnxn xnn xni = = ∏ = 1
1 2
(^1 2) K.
Media quadratica
N
xn
M
N
i
i i
q
1
2
Dimostrazioni valori medi
=
n
ii
=
n
ii
=
n
i i
xi nx.
2) La somma dei quadrati degli scarti di ciascuna modalità dalla media aritmetica è un minimo
(Seconda proprietà):
=
n
i
xi x
1
2 ( ) minimo
Al fine di dimostrare la proprietà enunciata, consideriamo un generico valore a diverso da x e
poniamo la relazione seguente:
a – x = d, da cui:
a = x + d
Pertanto, la somma dei quadrati degli scostamenti dei valori xi da a può essere scritta come segue:
=
n
i
xi a 1
2
=
n
i
xi 1
[ ( x + d )]
2
=
n
i
xi
1
( x – d )
2
=
n
i
xi 1
[( x ) – d ]
2 .
Svolgendo il quadrato si ottiene:
=
n
i
xi
1
[( x )
2
2
- 2 d ( xi – x )].
Variabilità
Intervalli di Variazione
Campo di variazione
W =xn −x 1
Differenza Interquartilica
Scostamenti Medi
Varianza
n
x x
n
i
=
−
=
1
2
2 σ
Nel caso si abbia una distribuzione di frequenza si ha:
N
x x n
N
i
−
=
1
2
2 σ.
Scarto quadratico medio (s.q.m.)
n
x x
n
i
1
2
σ
Nel caso di distribuzione di frequenza si ha:
N
x x n
N
i
−
= 1
2
σ.
Devianza
E’ il numeratore della varianza. La sua espressione analitica è: (^) ( ) (^) ∑( )
=
= −
n
i
Dev X xi x 1
2 .
N
i
Dev X = (^) ∑ xi −x n = 1
Differenze Medie
Differenza semplice media senza ripetizione
1 1
−
∑∑ = =
n n
x x
n
i
n
j
i j
Differenza semplice media con ripetizione
2
1 1
n
x x
n
i
n
j
i j
R
∑∑ = =
Differenza quadratica media senza ripetizione
1 1
2
2
−
∑∑ = =
n n
x x
n
i
n
j
i j
Differenza quadratica media con ripetizione
2
1 1
2
2
n
x x
n
i
n
j
i j
R
∑∑ = =
Variabilità relativa
Coefficiente di variazione
= ⋅ 100 μ
σ CV
n
x x
n
xy nxy
Var X
Co X Y b n
i
i
n
i
i i
y x 2
1
1
/
( )
var( , )
∑
∑
=
=
2
1
1 /
( )
y y
xy nxy
DevY
CodevX Y b n
i
i
n
i
i i
xy
−
∑
∑
=
=
Dimostrazioni
n
i
xi x yi y
1
n
i
xi yi nxy
1
n
i
xi yi xiy xyi xy
1
n
i
xi yi nxy nxy nxy
1
n
i
xi yi nxy
1
Indice di determinazione
Dev Y
DevE
DevY
DevR R = = −
Scomposizione devianza
( ) (^) ∑ ( ) (^) ∑(^ ) = =
∗ ∗ = − = − + − =
n
i
n
i
Dev y yi y yi yi yi y 1 1
2 2
∑ (^ )^ ∑ (^ )^ ∑(^ )(^ ) = = =
∗ ∗ ∗ ∗ = − + − + − −
n
i
n
i
n
i
yi yi yi y yi yi yi y 1 1 1
2 2 2
Per dimostrare l’uguaglianza suddetta occorre dimostrare che il doppio prodotto è nullo:
∑ (^ )(^ )^ ∑ (^ )^ ∑(^ ) = =
∗ ∗ ∗
=
∗ ∗ − − = − − −
n
i
n
i
i i i i i
n
i
yi yi yi y y y y y y y 1 1 1
=
n
i
yi 1
=
∗
n
i
yi 1
(la media dei
valori osservati coincide con la media dei valori teorici), l’ultima sommatoria è nulla. Inoltre,
essendo yi =a+b 1 xi
∗ si ha:
=
∗
=
∗ ∗ − = − + =
n
i
i i i
n
i
y (^) i yi yi y y a bx 1
1 1
=
∗
=
∗ − + − =
n
i
i i i
n
i
yi yi a y y bx
1 1
= = =
∗
n
i
n
i
i i
n
i
b yi xi yi xi b xiyi x a bx 1 1 1
= = =
n
i
i
n
i
i
n
i
b xi yi a x b x 1
2
1 1
L’espressione contenuta nelle parentesi quadre coincide con la derivata parziale della
2
1
=
n
i
a b yi a bxi calcolata rispetto al parametro b che è stata posta pari a zero per la
stima del parametro stesso con il metodo dei minimi quadrati, ossia:
=
n
i
yi a bxi xi b
ab
1
Si giunge quindi a dimostrare che Dev(Y)=Dev(E)+Dev(R), da cui si ricava l’ indice di
determinazione.
Coefficiente di correlazione
= =
=
n
i
i
n
i
i
n
i
i i
x y
xy xy
x x y y
x x y y
r
1
2
1
2
1
rxy =± by/ x⋅bx/ y
Media e varianza della v.c. Binomiale
x n x p p x
n x
− ^ −
Pr = 1
La distribuzione binomiale può essere ottenuta considerando la somma di n v.c di Bernoulli,
indipendenti ed identicamente distribuite ( X 1 , X 2 ,...Xn).
E^ ( X)^ E(^ X X X )^ p p p np = 1 + 2 +....+ n = + +...+ =
Var ( X) = Var( X 1 +X 2 +...+Xn ) =p( 1 −p) +p( 1 −p)+....+p( 1 −p)=np( 1 −p)
Media e varianza della v.c. media campionaria
( ) = ∑ ( )= ∑μ = μ
= =
=
n
i
n
i
i
n
i
i
n
n n
1 1
( ) ( ) n n
VarX n n
Var X Var
n
i
n
i
i
n
i
i 2
1 1
2 2 2
= =
=
Media e varianza della v.c proporzione o percentuale campionaria
( )
( ) p n
np
n
n
( )
( ) ( ) ( )
n
p p
n
np p
n
VarX
n
Var P Var
2 2
Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza
2 σ nota.
α α = −
Pr − 2 ≤ ≤ + 2 1 n
X z n
X z
Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza
2 σ non nota.
Pr − (^2) ; − 1 ≤ ≤ + 2 ; − 1 1 n
s X t n
s X t n n
Intervallo di confidenza per la proporzione (o percentuale) di una popolazione normale.
( ) ( ) α π^ α = −^ α
Pr ˆ 2 2 n
P z n
P z
Statistica test verifica di ipotesi sulla media di una popolazione con varianza.nota
n
Statistica test verifica di ipotesi sulla media di una popolazione con varianza.non nota
n
s
Statistica Test Verifica di ipotesi sulla proporzione o percentuale campionaria (grandi
campioni)
( )
n
0 0
0
1
