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Regressione, retta di interpolazione. Corso di Economia
Tipologia: Dispense
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nuvola di punti mediante una retta, al fine di
descrivere l’andamento di Y rispetto a X e allo
scopo di “prevedere” (o stimare) il valore di Y in
corrispondenza di un dato valore di X.
(m.q.) per studiare e misurare la relazione lineare
tra due caratteri X e Y, sapendo (o supponendo) a
priori che sia X a influenzare Y e non viceversa.
Le relazioni tra caratteri quantitativi possono essere di tipo
deterministico o di tipo statistico.
Relazioni deterministiche. Due variabili X e Y sono legate
da una relazione deterministica (o funzionale) se, scelto
un valore di X, il valore di Y risulta univocamente
determinato. In altre parole, quando ad ogni dato valore
di X corrisponde uno e un solo valore di Y.
Una relazione deterministica implica una dipendenza
perfetta di Y da X, in quanto la conoscenza del valore
assunto dalla X consente di ‘prevedere’ con certezza il
valore di Y.
Supponiamo di voler studiare la relazione fra le spese
pubblicitarie (X) sostenute da un collettivo di aziende e i loro
profitti (Y).
Ci si aspetta che esista una relazione positiva fra le due variabili,
ma non potrà accadere che una data cifra x spesa per la
pubblicità determini un unico valore y per il profitto.
Infatti ci sono altri fattori, oltre alla pubblicità, che concorrono a
determinare il profitto, quali il tipo di prodotto, il luogo in cui si
produce o si vende, le abilità imprenditoriali, ecc.
Supponiamo di effettuare il nostro studio su N aziende per
ciascuna delle quali si conoscono i valori assunti dalle due
variabili. In concreto si avranno N coppie di valori:
(x
1
,y
1
); (x
2
,y
2
); ... (x
N
,y
N
)
E’ possibile notare che le due variabili sono in relazione, in
quanto i punti sul grafico possono essere descritti da una retta
interpolante.
Tuttavia ad ogni valore x di spesa pubblicitaria può
corrispondere anche più di un livello y di profitto.
Esempio riadattato da Pelosi e Sandifer
Si vede come, al
crescere dell’età,
tenda a crescere
anche l’altezza
(relazione
positiva),
seguendo un
andamento di tipo
lineare.
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
5 6 7 8 9 10 11 12 13
Età (anni)
A
l
t
e
z
z
a
(
c
m
)
esempio 1
Riportando i valori delle due variabili in un diagramma a
punti otteniamo il seguente grafico:
Riempite da
voi la tabella
con gli altri
risultati
parziali
Andiamo a calcolare I parametri della retta dei minimi quadrati:
X = 8 , 7 , Y = 132 , 3
Sogg.
1 -2,7 7,29 -17,3 46,
2 3 4 5 6 7 8 9
10 3,3 10,85 18,7 61,
Totale 42,31 212,
X − X
( X − X )
2
Y − Y
( X − X )( Y − Y )
2
y = 0,224x + 1,
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10 12
y = 0,224x + 1,
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10 12
Qui i punti
sono più
distanti dalla
retta
(maggiore
variabilità della Y)
Qui i punti
sono più
vicini alla
retta
(minore variabilità
della Y)
In entrambi i
casi, la retta
disegnata è
quella che si
adatta
meglio alla
situazione
specifica
Stessa variabilità della X, ma
diversa variabilità della Y
Elevando al quadrato i termini della precedente uguaglianza
e sommando membro a membro (per i = 1,…, N), dopo
alcuni passaggi si ottiene il seguente risultato:
Devianza Totale
della Y
( ) ( ) ( )
∑ ∑ ∑
= = =
− = − + −
N
i
i i
N
i
i
N
i
i
y y y y y y
1
2
1
2
1
2
ˆ ˆ
Quota di Devianza
di Y Spiegata dalla
X (tramite il
modello)
Quota di Devianza di Y
Residua (non spiegata
dal modello)
39
Osserviamo cosa succede in due situazioni estreme.
1. Se la devianza spiegata è nulla, significa che la retta dei m.q.
è orizzontale e coincide con
Infatti,
In tal caso, la X non influenza la Y à assenza di dipendenza
lineare.
2. Se è nulla la devianza residua, significa che tutti i punti
giacciono sulla retta:
e pertanto vi è perfetta dipendenza lineare di Y da X
Devianza Totale
( ) ( ) ( )
∑ ∑ ∑
= = =
− = − + −
N
i
i i
N
i
i
N
i
i
y y y y y y
1
2
1
2
1
2
ˆ ˆ
Devianza
Spiegata
Devianza Residua
Y = y
ˆ
i
i
i
a = 3,07 è il valore
assunto dalla Y per X = 0
Riprendiamo i dati del primo esempio e andiamo a calcolare R
2
ˆ
Calcoliamo l’indice di adattamento sui dati del primo
Significa che il 76,4%
della variabilità di Y è
spiegata tramite il
modello (cioè dipende)
dalla variabilità di X
Ad esempio:
ˆ
y
1
= 3 , 07 + 1 , 03 ⋅ 1
ˆ
y
2
= 3 , 07 + 1 , 03 ⋅ 3
ecc.
€
y = 7 , 4
44
Esercizio :
eccellente)
Fonte: Pacini, Picci (2001) Introduzione alla
statistica
b = 83/72 = 1,
a = 77/8 - 1,153 * 48/8 = 2,
Disegnate da voi il diagramma
a punti e la retta dei m.q.
45
2 2
2
Dev Y
b Dev X
Completiamo i calcoli della tab. precedente al fine di calcolare R
2
( ) ( ) 107 , 875
2
= − =
∑
Dev Y y y
i
La variabilità
della X (tramite il
modello) spiega
l’88,7% della
variazione totale
della Y
In altri termini, il n. di incidenti dipende in misura
abbastanza forte dalle condizioni del tempo
Commento : In effetti può apparire strano che gli incidenti aumentino al
migliorare del tempo. La spiegazione sta nel fatto che il Comune
analizzato si trova in una zona turistica di mare in cui il traffico (motorini
e biciclette inclusi) aumenta quando il tempo è buono. Pertanto è
verosimile che il n. di incidenti aumenti proprio in quanto con il bel tempo
aumenta il traffico. Pertanto non vi è dipendenza logica tra il tempo e il n.
di incidenti, ma solo associazione statistica (spuria).
