Marina Marino
Anno accademico 2016-’17
www.docenti.unina.it/marina.marino
mari@unina.it
Lezione:Argomento:
9
Corso di laurea in Culture Digitali e della Comunicazione
Corso di
Statistica per la
Ricerca Sociale (M-Z)
Interpolazione e Regressione
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Interpolazione e Regressione, Slide di Statistica
Statistica. Slide Prof. Marino Marina, Culture digitali e della comunicazione, Federico II di Napoli.
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Marina Marino
Anno accademico 2016-’
www.docenti.unina.it/marina.marino
Lezione: Argomento:
9
Corso di laurea in Culture Digitali e della Comunicazione
Corso di
Statistica per la
Ricerca Sociale (M-Z)
Interpolazione e Regressione
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
Date due variabili, X e Y , rappresentabili come assi di un piano
cartesiano, e data una nuvola di punti sul piano, costituita dalle n
coppie di valori osservati sulle unità statistiche, il problema
dell’ interpolazione consiste nel trovare l’equazione di una
curva passante per alcuni punti del piano, oppure “vicino” ai punti stessi.
L’interpolazione può essere di due tipi:
**- Interpolazione matematica
- Interpolazione statistica**
5000 10000 15000 20000 25000 30000
2000
1500
1000
500
AV
AT
AR
AQ
AP
AO
AN
AL
AG
Prezzo casa al mq
(in €)
Reddito p.c.
(in €)
L ’ interpolazione
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
Interpolazione statistica
Quando l’insieme dei punti a disposizione è numeroso, è molto probabile che questi si dispongano, sul
piano, definendo una nube di punti.
In questi casi, all ’ interpolante matematica si sostituisce
l’ interpolante statistica , che abbandona il vincolo di passare
per i punti, a favore di una condizione più realistica, di passare,
cioè, fra i punti dati.
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
25000
20000
15000
10000
5000
0
Reddito p.c.
(in €)
Consumi p.c.
(in €)
L ’ interpolazione
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
Interpolazione statistica
Quando l’insieme dei punti a disposizione è numeroso, è molto probabile che questi si dispongano, sul
piano, definendo una nube di punti.
X
Y
In questi casi, all ’ interpolante matematica si sostituisce
l’ interpolante statistica , che abbandona il vincolo di passare
per i punti, a favore di una condizione più realistica, di passare,
cioè, fra i punti dati.
Mentre, però, nell’interpolazione matematica avevamo un’unica
soluzione individuata dalla soluzione del sistema di equazioni,
nell ’ interpolazione statistica esistono infinite curve che
possono passare fra i punti.
E’ quindi necessario stabilire delle condizioni cui la funzione
interpolante deve soddisfare per far sì che il problema sia definito
in modo univoco.
Ancora, nell’interpolazione statistica non c’è una relazione fissa tra il numero dei parametri
dell’interpolante e il numero dei punti, risultando sufficiente che i secondi superino i primi.
L ’ interpolazione
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
Metodo dei minimi quadrati (Gauss, 1795 ; Legendre, 1805 )
X
Y
y^ ˆ i
= ϕ x
i
, a 0
, a 1
,…, a k
Funzione interpolante:
La condizione dei minimi quadrati determina i parametri incogniti in modo da rendere minima la somma dei quadrati degli
scarti fra valori interpolati e valori osservati:
La quantità da minimizzare, S , è funzione dei k + 1 parametri incogniti.
Condizione necessaria perché ciò si verifichi è che le k + 1 derivate parziali di S
rispetto ai parametri siano nulle. Si ha allora il sistema:
∂ S
∂ a
0
= 2 ϕ x
i
, a
0
, a
1
,..., a
( (^) k )
− y
i
∂ a
0
i
∂ S
∂ a
1
= 2 ϕ x
i
, a
0
, a
1
,..., a
k
( )
− y
i
∂ a
1
i
∂ S
∂ a
k
= 2 ϕ x
i
, a
0
, a
1
,..., a
( (^) k )
− y
i
∂ a
k
i
Sistema di equazioni
normali a minimi
quadrati
L ’ interpolazione
S = ϕ x
i
, a 0
, a 1
,..., a
( k )
− y i
⎡
⎣
⎤
⎦
i
∑
2
= min
S = y ˆ i
− y ( (^) i )
i
∑
2
= min
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
Metodo dei minimi quadrati (Gauss, 1795 ; Legendre, 1805 )
Funzione interpolante:
La condizione dei minimi quadrati determina i parametri incogniti in modo da rendere minima la somma dei quadrati degli
scarti fra valori interpolati e valori osservati:
0 1
Quando è k= 1 , la funzione interpolante è la retta e l’espressione si riduce a: y ˆ = a + a x
Che può anche essere trovata nelle forme:
y = a + bx ˆ
0 1
y = b + b x ˆ
L ’ interpolazione
X
Y
X
Y
X
Y
La soluzione individuata rende minima la somma dei quadrati degli scarti rispetto a
qualunque altra curva dello stesso tipo di quella scelta.
X
Y
X
Y
X
Y
y ˆ i
= ϕ x i
, a 0
, a 1
,..., a
( k )
S = ϕ x
i
, a 0
, a 1
,..., a
( k )
− y i
⎡
⎣
⎤
⎦
i
∑
2
= min
S = y ˆ i
− y ( (^) i )
i
∑
2
= min
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
Interpolante lineare 0 1
y^ ˆ = b + b x
( ) ( )
2
0 1 0 1
1
, min
n
i i
i
S b b y b b x
=
å
0 1 0 1
0 1
S b b S b b
b b
¶ é ù ¶é ù
ë û ë û
Metodo dei minimi quadrati (Gauss, 1795 ; Legendre, 1805 )
L ’ interpolazione
2
i i
i
S = y - y = min
å
NOTA:
La derivata di una funzione quadratica è uguale a due volte la funzione non derivata moltiplicato la
derivata della funzione:
D f
2
x
( (^ ))
= 2 f x
⋅ f ′ x
Quindi, le derivate, rispetto a b
0
e a b
1
di y sono: i
− b 0
− b 1
x i
2
i = 1
n
∂
∂ b
0
y i
− b 0
− b 1
x i
2
i = 1
n
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= 2 y i
− b 0
− b 1
x i
i
⋅ − 1
= − 2 y i
− b 0
− b 1
x i
i
∂
∂ b 1
y i
− b 0
− b 1
x i
2
i = 1
n
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= 2 y i
− b 0
− b 1
x i
i
⋅ − x i
= − 2 x i
y i
− b 0
− b 1
x i
i
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
Interpolante lineare 0 1
y^ ˆ = b + b x
x 1 x 2 x 3 x 4
y 1
y 4
y 3
y 2
X
Y
( ) ( )
2
0 1 0 1
1
, min
n
i i
i
S b b y b b x
=
å
( ) ( ) 0 1 0 1
0 1
S b b S b b
b b
¶ é ù ¶é ù
ë û ë û
2
0 1
i i i i
i i i
x y b x b x
é ù
- = ê ú
ë û
å å å
0 1
i i
i i
y nb b x
é ù
- = ê ú
ë û
å å
Metodo dei minimi quadrati (Gauss, 1795 ; Legendre, 1805 )
L ’ interpolazione
( )
2
i i
i
S = y - y = min
å
( )
é ù
- = ê ú
ë û
å (^0 )
i i
i
y b b x
( )
é ù
- = ê ú
ë û
å 0 1
i i i
i
x y b b x
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
0 1
b = y - b x
( )
2
2
1
i
i
i i
i
x
x y xy b x
n n
é ù
ê ú
- =
ê ú
ê ú
ë û
å
å
Cov(XY) Var(X)
( )
( )
1
Cov XY
b
Var X
Þ =
0 1
b = y - b x
( )
( )
1
Cov XY
b
Var X
( ) ( )
2
0 1 0 1
1
, min
n
i i
i
S b b y b b x
=
å
( ) ( ) 0 1 0 1
0 1
S b b S b b
b b
¶ é ù ¶é ù
ë û ë û
Þ
Interpolante lineare
0 1
y^ ˆ = b + b x
Metodo dei minimi quadrati (Gauss, 1795 ; Legendre, 1805 )
L ’ interpolazione
( )
2
i i
i
S = y - y = min
å
Parametri della interpolante lineare
ricavati con il metodo dei minimi quadrati:
( ) ( ) 1
Cov XY - b × Var X = 0
La retta costruita con i valori di b
0
e b
1
ottenuti dalla risoluzione del sistema, sarà dunque
quella più “vicina” ai punti, ossia quella che rende minima la somma dei quadrati delle distanze
tra valori osservati e valori teorici della variabile dipendente y.
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
X Variabile indipendente (data)
Y Variabile dipendente
Dipendenza funzionale (o deterministica):
Y = f (^) ( X ; q)
Da un punto di vista analitico , i valori della Y possono essere determinati senza errore a partire dai soli valori
della X ;
Dipendenza statistica:
Y = f (^) ( X ; q)+ e
Il valore della variabile dipendente non è univocamente determinato a
partire dal solo valore della variabile esplicativa , potendosi
osservare, per ciascun di X , più valori di Y ;
Da un punto di vista grafico , la dipendenza statistica implica una funzione che passi fra i punti
osservati. Il numero di parametri da determinare dipende, in questo caso, dal tipo di funzione scelta e
non dal numero di punti osservati.
X
Da un punto di vista grafico , la dipendenza funzionale implica la Y
definizione di una funzione che passi per tutti i punti, e che quindi richiede
la determinazione di tanti parametri quanti sono i punti.
La Regressione
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
X Variabile indipendente
Y Variabile dipendente
X
Y
La scelta del tipo di funzione: (^) Lineare
x i
y i
ˆ i
y
0 1
b = y - b x
( )
( )
1
Cov XY
b
Var X
=
E ’ l ’ intercetta sull ’ asse delle ordinate. Può essere
interpretato come il valore di Y per X= 0 (quando ciò
ha senso).
0 1
y = b + b x
Il punto di coordinate è un punto della retta di
regressione. La retta di regressione passa, dunque,
sempre per il baricentro della nube.
( x y ; )
E ’ il coefficiente angolare della retta di regressione in
quanto funzione dell ’ angolo che la retta forma con
l ’ asse delle ascisse.
Esprime dunque la pendenza
(positiva, negativa o nulla) della retta.
Esprime anche quanto varia la variabile Y al variare
unitario della variabile X.
( x y ; )
La Regressione Y = f (^) ( X ; q)+ e
0 1
ˆ i i
y = b + b x
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
μ X
s X
μ Y
s Y
0 50 100 150 200 250 300
900000
800000
700000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
La Regressione Y = f (^) ( X ; q)+ e
App.
mq
(X)
Prezzo in €
(Y)
X-M(X) Y-M(Y) [X-M(X)][Y-M(Y)]*
1 80 212000 -51,0 -202333,3 10.319.
2 200 313000 69,0 -101333,3 -6.992.
3 185 717000 54,0 302666,7 16.344.
4 140 431000 9,0 16666,7 150.
5 95 270000 -36,0 -144333,3 5.196.
6 60 261000 -71,0 -153333,3 10.886.
7 210 431000 79,0 16666,7 1.316.
8 65 140000 -66,0 -274333,3 18.106.
9 70 282000 -61,0 -132333,3 8.072.
10 120 600000 -11,0 185666,7 -2.042.
11 100 303000 -31,0 -111333,3 3.451.
12 90 220000 -41,0 -194333,3 7.967.
13 180 749000 49,0 334666,7 16.398.
14 220 663000 89,0 248666,7 22.131.
15 150 623000 19,0 208666,7 3.964.
1.965 6.215.000 0,0 0,0 115.270.
0 1
b = y - b x
( )
( )
1
Cov XY
b
Var X
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
0 50 100 150 200 250 300
900000
800000
700000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
( )
( )
1 2
cov
XY
X
XY
b
Var X
s
s
La Regressione Y = f (^) ( X ; q)+ e
App.
mq
(X)
Prezzo in €
(Y)
X-M(X) Y-M(Y) [X-M(X)][Y-M(Y)]*
1 80 212000 -51,0 -202333,3 10.319.
2 200 313000 69,0 -101333,3 -6.992.
3 185 717000 54,0 302666,7 16.344.
4 140 431000 9,0 16666,7 150.
5 95 270000 -36,0 -144333,3 5.196.
6 60 261000 -71,0 -153333,3 10.886.
7 210 431000 79,0 16666,7 1.316.
8 65 140000 -66,0 -274333,3 18.106.
9 70 282000 -61,0 -132333,3 8.072.
10 120 600000 -11,0 185666,7 -2.042.
11 100 303000 -31,0 -111333,3 3.451.
12 90 220000 -41,0 -194333,3 7.967.
13 180 749000 49,0 334666,7 16.398.
14 220 663000 89,0 248666,7 22.131.
15 150 623000 19,0 208666,7 3.964.
1.965 6.215.000 0,0 0,0 115.270.
0 1
b = y - b x
( )
( )
1
Cov XY
b
Var X
μ X
s X
μ Y
s Y
Lezione 9 – Interpolazione e Regressione M. Marino
0 50 100 150 200 250 300
900000
800000
700000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1
b = y - b x =^ 414.333,3^ -^ 2.592, 67^ ´^131 =74.693,
La Regressione Y = f (^) ( X ; q)+ e
App.
mq
(X)
Prezzo in €
(Y)
X-M(X) Y-M(Y) [X-M(X)][Y-M(Y)]*
1 80 212000 -51,0 -202333,3 10.319.
2 200 313000 69,0 -101333,3 -6.992.
3 185 717000 54,0 302666,7 16.344.
4 140 431000 9,0 16666,7 150.
5 95 270000 -36,0 -144333,3 5.196.
6 60 261000 -71,0 -153333,3 10.886.
7 210 431000 79,0 16666,7 1.316.
8 65 140000 -66,0 -274333,3 18.106.
9 70 282000 -61,0 -132333,3 8.072.
10 120 600000 -11,0 185666,7 -2.042.
11 100 303000 -31,0 -111333,3 3.451.
12 90 220000 -41,0 -194333,3 7.967.
13 180 749000 49,0 334666,7 16.398.
14 220 663000 89,0 248666,7 22.131.
15 150 623000 19,0 208666,7 3.964.
1.965 6.215.000 0,0 0,0 115.270.
0 1
b = y - b x
( )
( )
1
Cov XY
b
Var X
μ X
s X
μ Y
s Y