Marco Gherghi!
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Statistica (A-K)!
Anno accademico 2015-’16!
www.docenti.unina.it/marco.gherghi!
Corso di laurea in Economia e Commercio (CLEC)!
Lezione:!Argomento:!Interpolazione e Regressione!L11!
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L11 interpolazione e regressione, Appunti di Probabilità e Statistica
Slides professor Gherghi
Tipologia: Appunti
2014/2015
1 / 61
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Marco Gherghi!
Corso di!
Statistica (A-K)!
Anno accademico 2015-’16!
www.docenti.unina.it/marco.gherghi!
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Corso di laurea in Economia e Commercio ( CLEC )!
Lezione:! Argomento:!
L11! Interpolazione e Regressione!
2222
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
Lo studio dell’associazione!
Approccio!
Caratteri!
Simmetrico
(Interdipendenza)!
Asimmetrico
(Dipendenza)!
2
mutabili!
2
variabili!
1 variabile
1 mutabile!
?!
?!
χ
2
; V
λ
Cov (^) ( XY )
r
XY
η
2
4444
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
Lo studio dell’associazione!
Approccio!
Caratteri!
Simmetrico
(Interdipendenza)!
Asimmetrico
(Dipendenza)!
2
mutabili!
2
variabili!
1 variabile
1 mutabile!
?!
χ
2
; V
λ
Cov (^) ( XY )
r
XY
η
2
χ
2
; V
5555
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
Lo studio dell’associazione!
Approccio!
Caratteri!
Simmetrico
(Interdipendenza)!
Asimmetrico
(Dipendenza)!
2
mutabili!
2
variabili!
1 variabile
1 mutabile!
χ
2
; V
λ
Cov (^) ( XY )
r
XY
η
2
χ
2
; V
?!
7777
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
Interpolazione matematica
Data una successione di n coppie di numeri x
i
, y
i
, che nel piano corrispondono ad altrettanti
punti P
1
, P
2
, …, P
n
, e scelta una funzione di X contenente n parametri a
0
, a
1
, …, a
n-
l’interpolazione matematica consiste nel determinare il valore di questi parametri in modo che
la funzione passi per i punti dati.!
Avendo tanti punti quanti sono i parametri, è
possibile scrivere un sistema di n equazioni
con n incognite (i parametri, appunto) che, in
generale, ammette una e una sola soluzione
che individua in modo univoco l’interpolante.!
L’interpolazione!
Interpolazione matematica!
5000 10000 15000 20000 25000 30000
2000
1500
1000
500
AV
AT
AR
AQ
AP
AO
AN
AL
AG
Prezzo casa al mq
(in €)
Reddito p.c.
(in €)
8888
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
Interpolazione matematica
L’interpolazione!
Interpolazione statistica!
5000 10000 15000 20000 25000 30000
2000
1500
1000
500
AV
AT
AR
AQ
AP
AO
AN
AL
AG
Prezzo casa al mq
(in €)
Reddito p.c.
(in €)
L’ interpolazione statistica abbandona il vincolo che la funzione passi per i punti, a favore di
una condizione, più realistica soprattutto quando si osservino molte unità, di passare fra i punti.!
D’altra parte, mentre nell’ interpolazione matematica
si ha un’ unica soluzione, nell’ interpolazione
statistica esistono infinite funzioni (non
necessariamente di tipo lineare) che possono passare
fra i punti.!
E’ quindi necessario stabilire delle condizioni cui
la funzione interpolante deve soddisfare per far sì
che il problema sia definito in modo univoco.!
A differenza di quanto accade nell’interpolazione
matematica, nell’ interpolazione statistica non c’è
una relazione fissa tra il numero dei parametri
dell’interpolante e il numero dei punti , risultando
sufficiente che i secondi superino i primi.!
10101010
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
ˆ Y = b
- b
X
L’interpolazione lineare!
Metodo dei minimi quadrati (Gauss, 1795; Legendre, 1805)!
S b
0
, b
1
( ) =^ Y i
− b
0
− b
1
X
i
( )
2
i = 1
n
∑
= min
∂ S b
0
, b
1
( )
∂ b
0
∂ S b
0
, b
1
( )
∂ b
1
X!
Y!
11111111
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
ˆ Y = b
- b
X
L’interpolazione lineare!
Metodo dei minimi quadrati (Gauss, 1795; Legendre, 1805)!
Richiamo del corso di Metodi matematici…!
S b
0
, b
1
( ) =^ Y i
− b
0
− b
1
X
i
( )
2
i = 1
n
∑
= min
∂ S b
0
, b
1
( )
∂ b
0
∂ S b
0
, b
1
( )
∂ b
1
La derivata di una funzione quadratica è uguale a due volte la funzione non derivata moltiplicato la
derivata della funzione:!
D f
2
( x ) ( )
= 2 f (^) ( x ) ⋅ f (^) ′( x )
Calcoliamo, quindi, le derivate, rispetto a b
0
e a b
1
dell’espressione:!
Y
i
− b
0
− b
1
X
i
( )
2
i = 1
n
∑
∂
∂ b
0
Y
i
− b
0
− b
1
X
i
( )
2
i = 1
n
∑
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 2 Y
i
− b
0
− b
1
X
i
( )
i
∑
⋅ − 1 ( )
= − 2 Y
i
− b
0
− b
1
X
i
( )
i
∑
∂
∂ b
1
Y
i
− b
0
− b
1
X
i
( )
2
i = 1
n
∑
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 2 Y
i
− b
0
− b
1
X
i
( )
i
∑
⋅ − X
i
( )
= − 2 X
i
Y
i
− b
0
− b
1
X
i
( )
i
∑
13131313
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
ˆ Y = b
- b
X
L’interpolazione lineare!
Metodo dei minimi quadrati (Gauss, 1795; Legendre, 1805)!
S b
0
, b
1
( ) =^ Y i
− b
0
− b
1
X
i
( )
2
i = 1
n
∑
= min
∂ S b
0
, b
1
( )
∂ b
0
∂ S b
0
, b
1
( )
∂ b
1
− 2 Y i
− b 0
− b 1
X i
( )
i
∑
= 0
− 2 X i
Y i
− b 0
− b 1
X i
( )
i
∑
= 0
− 2 Y i
− nb 0
− b 1
X i
i
∑
i
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= 0
− 2 X i
Y i
− b 0
X i
i
∑
− b 1
X i
2
i
∑
i
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= 0
Y i
− nb 0
− b 1
X i
i
∑
i
∑
= 0
X i
Y i
− b 0
X i
i
∑
− b 1
X i
2
i
∑
i
∑
= 0
nY − nb 0
− b 1
nX = 0
X i
Y i
− b 0
nX − b 1
X i
2
i
∑
i
∑
= 0
b 0
= Y − b 1
X
b 0
= Y − b 1
X
X i
Y i
− Y − b 1
X ( ) nX − b 1
X i
2
i
∑
i
∑
= 0
b 0
= Y − b 1
X
X i
Y i
− nXY + b 1
n X ( )
2
− b 1
X i
2
i
∑
i
∑
= 0
continua!
14141414
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
ˆ Y = b
- b
X
L’interpolazione lineare!
Metodo dei minimi quadrati (Gauss, 1795; Legendre, 1805)!
S b
0
, b
1
( ) =^ Y i
− b
0
− b
1
X
i
( )
2
i = 1
n
∑
= min
∂ S b
0
, b
1
( )
∂ b
0
∂ S b
0
, b
1
( )
∂ b
1
b 0
= Y − b 1
X
X i
Y i
i
∑
n
− XY + b 1
X ( )
2
− b 1
X i
2
i
∑
n
= 0
b 0
= Y − b 1
X
X i
Y i
i
∑
n
− XY − b 1
X i
2
i
∑
n
− X ( )
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= 0
Cov(XY)! Var(X)!
b 1
=
Cov ( XY )
Var ( X )
b 0
= Y − b 1
X
X i
Y i
− nXY + b 1
n X ( )
2
− b 1
X i
2
i
∑
i
∑
= 0
dividiamo per n!
Mettiamo in evidenza –b
1!
16161616
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
ˆ Y = b
- b
X
L’interpolazione lineare!
Metodo dei minimi quadrati (Gauss, 1795; Legendre, 1805)!
Soluzioni:!
b 0
= Y − b 1
X b 1
Cov (^) ( XY )
Var (^) ( X )
La retta costruita con i valori di b
0
e b
1
ottenuti dalla risoluzione del sistema, sarà dunque
quella più “vicina” ai punti, ossia quella che rende minima la somma dei quadrati delle
distanze tra valori osservati e valori teorici della variabile dipendente Y.!
17171717
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
Dipendenza funzionale (o deterministica):!
( ) Y = f X ; θ
Da un punto di vista analitico , i valori della Y possono essere determinati senza errore a partire dai soli
valori della X ;!
Dipendenza statistica:!
( )
Y = f X ; θ + e
Il valore della variabile dipendente non è univocamente
determinato a partire dal solo valore della variabile esplicativa ,
potendosi osservare, per ciascun di X , più valori di Y ;!
Da un punto di vista grafico , la dipendenza statistica implica una funzione che passi fra i punti
osservati. Il numero di parametri da determinare dipende, in questo caso, dal tipo di funzione scelta e
non dal numero di punti osservati.!
X!
Y! Da un punto di vista grafico , la dipendenza funzionale implica
la definizione di una funzione che passi per tutti i punti, e che
quindi richiede la determinazione di tanti parametri quanti sono i
punti.!
La Regressione!
X: variabile indipendente (data)!
Y: variabile dipendente!
19191919
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
( ) Y = f X ; θ + e
La Regressione!
X: variabile indipendente (data)!
Y: variabile dipendente!
b 0
= Y − b 1
X
X!
Y!
E’ l ’ intercetta sull’asse delle ordinate.
Può essere interpretato come il valore di Y quando è X=0 (se ha
senso).!
20202020
Lezione L11 – Interpolazione e Regressione! m. gherghi!
( ) Y = f X ; θ + e
La Regressione!
X: variabile indipendente (data)!
Y: variabile dipendente!
b 0
= Y − b 1
X
X!
Y!
E’ l ’ intercetta sull’asse delle ordinate.
Può essere interpretato come il valore di Y quando è X=0 (se ha
senso).!
Da questa espressione deriva, inoltre la seguente:!
Y = b 0
- b 1
X
che assicura che la retta di regressione passa sempre per il
punto di coordinate X medio
;Y medio
. ( baricentro della nube ).!
X
Y