Calcoli di Correlazione e Regressione: Covarianza, Indice di Correlazione, Retta di Regres, Slide di Statistica

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• ESERCITAZIONE REGRESSIONE

Correlazione •^

Lo studio della CORRELAZIONE è lo studio del legame lineare esistente fra due variabili (problemasimmetrico), cioè come i dati tendono a disporsi lungo una retta.

-^

L’intensità e il segno della dipendenza lineare si misura con il Coefficiente di Correlazione Lineare (Bravais-Pearson) Covarianza •^

Media dei prodotti degli scarti di ogni variabile dalla propria della media aritmetica

Funzione di Regressione Dipendenza Lineare

Cov(X,Y) = M

^ 



(X

) (YX

) =Y

=^

Σi

[(xj

- μi

)(yX

- μj

)]fY

ij

Calcolare la covarianza delle variabili riportate di seguito:M(XY)=[(3013)+(3020)+(3030)….+(5011)+(5024)+ ….+(7046)]/25=163.2M(X)=54.8M(Y)=2.

Cov(X,Y)= 163.2-54.82.8= 9.*

Funzione di Regressione Esercizio 2 – Calcolo Covarianza

Y

X^

1

2

3

4

ni.

20

−

40

3

0

0

0

3

40

−

60

1

4

6

2

13

60

−

80

0

1

2

6

9

n.j

4

5

8

8

25

Cov

(X,Y)>

Cov(X,Y)<

Si consideri il prodotto degli scarti (x

−μi

)(yX

−μj

) utilizzato nel calcolo della covarianza: ho più valori positivi cheY

Funzione di Regressione Dipendenza Lineare – Interpretazione Grafica negativi nel grafico di sinistra (CORRELAZIONE POSITIVA), mentre ho più valori negativi nel grafico di destra(CORRELAZIONE NEGATIVA)

Calcolare l’indice di correlazione delle seguenti variabili:Cov(X,Y)=9.76V(Y)= 1.12V(X)=168.

=^ 0.

Funzione di Regressione Esercizio 3 – Calcolo Indice Correlazione

Y

X^

1

2

3

4

ni

.

20

−

40

3

0

0

0

3

40

−

60

1

4

6

2

13

60

−

80

0

1

2

6

9

n.j

4

5

8

8

25

La retta di regressione assume la seguente espressione matematica:La stima dei parametri viene effettuata tramite il metodo dei minimi quadrati, ottenendo le seguenti formule:

Coefficiente Angolare

Intercetta

Funzione di Regressione Retta di Regressione

a= intercetta con asse y b= coefficiente angolare/pendenza

Y*=a+bX

Funzione di Regressione Adattamento Retta di Regressione Analogamente alla funzione di regressione, dal teorema di scomposizione della varianza, si può definirel’indice di adattamento della retta come % di varianza spiegata:Varianza Spiegata =Varianza Residua = L’indice di adattamento R2 per la retta di regressione y = a+ bx coincide con il quadrato del coefficiente di correlazione

Data la seguente tabella: 1)^

Rappresentare graficamente le variabili 2)^

Calcolare la covarianza e il coefficiente di correlazione e interpretare i risultati 3)^

Calcolare i parametri a e b della retta di regressione y = a + bx 4)^

Calcolare la varianza residua e la varianza spiegata 5)^

Calcolare l’indice di adattamento della retta di regressione 6)^

Stimare un modello costante e valutarne l’adattamento, confrontandolo con quello ottenuto tramiteregressione lineare

Funzione di Regressione Esercizio 5 – Calcolo Retta di Regressione e Adattamento

Y

X^

10 -| 20

20 -| 30

30 -| 40

1

1

1

0

2

2

2

1

2

5

3

1

0

2

3

4

2

4

10