Studia grazie alle numerose risorse presenti su Docsity
Guadagna punti aiutando altri studenti oppure acquistali con un piano Premium
Prepara i tuoi esami
Studia grazie alle numerose risorse presenti su Docsity
Prepara i tuoi esami con i documenti condivisi da studenti come te su Docsity
Trova i documenti specifici per gli esami della tua università
Preparati con lezioni e prove svolte basate sui programmi universitari!
Rispondi a reali domande d’esame e scopri la tua preparazione
Riassumi i tuoi documenti, fagli domande, convertili in quiz e mappe concettuali
Studia con prove svolte, tesine e consigli utili
Togliti ogni dubbio leggendo le risposte alle domande fatte da altri studenti come te
Esplora i documenti più scaricati per gli argomenti di studio più popolari
Ottieni i punti per scaricare
Guadagna punti aiutando altri studenti oppure acquistali con un piano Premium
indice di correlazione, adattamento della retta
Tipologia: Slide
1 / 55
Questa pagina non è visibile nell’anteprima
Non perderti parti importanti!
Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health [email protected]
Rappresentazione seplificata, analogica e necessaria della realtà
Semplificazione della realtà: il modello di un bacino idrologico, di un aereoplano, del flusso finanziario di un Paese ottenuti riproducendo gli aspetti “essenziali” e eliminando quelli ritenuti “superficiali”.
Analogia della realtà: il modello è una riproduzione della realtà
Rappresentazione necessaria della realtà: anche se è semplificato il modello è necessario per capire la realtà tramite lo studio di relazioni semplici e di maggiore intellegibilità
In alcuni contesti la specificazione della relazione funzionale risulta immediata dalla natura del problema:
1) Se Y è il peso ed X è l’altezza di una persona adulta la prima relazione da specificare è quella proporzionale (maggiore il peso, maggiore l’altezza e viceversa) Y= ββββ X+ εεεε
2) Se Y è il peso di una mattonella rettangolare per la quale X 1 e X 2 sono rispettivamente la lunghezza e la larghezza, allora una relazione funzionale può essere specificata mediante Y= ββββ X 1 X 2 + εεεε
Entrambe le specificazioni evidenziano un parametro ββββ che deve essere determinato per poter utilizzare il modello specificato
Modelli statistici
Non lineari
Multivariati (più di una X e più di una Y)
Semplici (una X e una Y)
Multipli (più di una X ma una Y)
Lineari
Modello di regressione lineare
Il termine REGRESSIONE deriva dall’applicazione svolta dal biologo Galton che nel 1886 esaminò altezze dei figli (Y) in funzione delle altezze dei genitori (X) in Inghilterra e notò una relazione funzionale tra le due variabili: più alti i genitori, più alti i figli e viceversa.
Tuttavia ai genitori che si collocavano agli estremi (molto bassi o molto alti) non corrispondevano figli altrettanto estremi, ovvero Galton osservò che l’altezza dei figli si spostava verso la media e quindi concluse che questo costituiva una regression towards mediocrity e la relazione funzionale fu chiamata “modello di regressione”.
Oggi il termine regressione è divenuto significato di “relazione funzionale tra variabili ottenuta con metodi statistici” e la frase “regredire Y su (X 1 ,…,Xp)” significa ricercare una relazione statistica del tipo:
Y = f(X 1 , X 2 ,…,Xp) + (^) εεεε
Il modello di regressione semplice è specificato dalla relazione: yi = f(xi;ββββ) + εεεε i La funzione f(xi;ββββ) può essere di primo grado, ad esempio: yi = b 0 + b 1 xi + εεεεi
Oppure di grado superiore al primo, ad esempio di secondo grado: yi = b 0 + b 1 xi + b 2 xi^2 + εεεεi
X
Y
Che relazione c’è tra X e Y?
X
Y
X
Y
Covariano positivamente
Covariano negativamente
Non covariano
La covarianza misura l’attitudine a covariare di due caratteri
6
3
1
Y-Y
24
21
15
16
19
17
14
Y
3
1
5
0
X-X 10 20 15 0 20 5 14 2 12 9 16 3 18 18
X (X-X)(Y-Y)
Cov(X,Y) =
Σi=1(x – x )(y – y )
n
n-
x =15 y =
Cov(X,Y) = 20+0+5+2+9+3+ 7-
0
5
10
15
20
25
30
(^9 11 13) X 15 17 19 21
Y
18 24
16 21
12 15
14 16
20 19
15 17
10 14
X Y
Cov(X,Y)=9.5 > 0
ρρρρ =
Cov(X,Y)
sd(X).^ sd(Y)
Deviazione standard
Deviazione standard
E’ utile costruire una misura STANDARDIZZATA che esprima quanto I due caratteri covariano
Cov(X,Y)=0 Cov(X,Y)= NON c’è sd(X)^.^ sd(Y) correlazione PERFETTA Correlazione POSITIVA
Cov(X,Y)=
- sd(X).^ sd(Y)
PERFETTA Correlazione NEGATIVA
Per un insieme di punti possono passare infinite rette! Come scegliere la retta “migliore”?
X
Y
Metodo dei Minimi Quadrati
εˆ i
X
Y
ŷi
yi
L’idea dei minimi quadrati è quella di scegliere la retta che minimizza la somma degli scarti dalla retta di regressione
Scarti: εεεεi = yi - ŷi
RSS=Σi εεεεi^2 = Σi (yi - ŷi)^2 = Σi (yi - ββββ 0 – ββββ 1 xi)^2
Coefficiente di correlazione
? ββββ 1
ρρρρ =
Cov(X,Y)
sd(X).^ sd(Y)
ββββ 1111 =
Cov(X,Y)
Var(X)
ρρρρ = ββββ 1
sd(X)
sd(Y)
Ricavo ρρρρ da ββββ 1
Ricavo ββββ 1111 da ρρρρ
ββββ 1111 = (^) ρρρρ
sd(Y)
sd(X)
Dalla popolazione di camelie estraiamo un campione di 15 foglie della varietà cordiforme sui quali misuriamo la variabile X (peso vivo) e Y (peso secco). Otteniamo i seguenti valori:
7.910 2. 8.879 3. 11.160 4. 5.295 1. 8.421 3. 12.232 5. 5.422 2. 9.900 2. 12.441 5.
8.424 3.
10.296 4.
12.476 4.
8.459 2.
7.267 3.
9.705 3.
X Y
Trovare la retta di regressione dei minimi quadrati che spiega Y in funzione di X
