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ALGEBRA LINEARE – TEORIA
STRUTTURE ALGEBRICHE
Operazione Binaria: è una funzione il cui dominio è X × X e il codominio è X.
∗ ∶ 𝑋 × 𝑋 → 𝑋
Proprietà delle operazioni:
Proprietà associativa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
Proprietà commutativa: a ∗ b = b ∗ a
Esistenza del neutro: e ∗ a = a ∗ e = a
Elemento inverso: a ∗ a’ = a’ ∗ a = e
STRUTTURE ALGEBRICHE CON UNA OPERAZIONE
o Semigruppo: struttura algebrica (X, ∗) in cui vale la proprietà associativa
o Monoide: struttura algebrica (X, ∗) in cui valgono la proprietà associativa e l’esistenza del
neutro [(N, +), (Z, ×) sono monoidi commutativi, (F(x), ∘) è un monoide].
o Gruppo: struttura algebrica (X, ∗) in cui valgono la proprietà associativa, l’esistenza del neutro
e l’elemento inverso
o Gruppo Abeliano (o Commutativo): struttura algebrica (X, ∗) in cui valgono la proprietà
associativa, l’esistenza del neutro, l’elemento inverso e la proprietà commutativa [(Z, +), (Q, +),
(R,+), (C,+)].
STRUTTURE ALGEBRICHE CON DUE OPERAZIONI
o Anello: struttura algebrica (X, ⊞, ⊡) in cui (X, ⊞) è un gruppo abeliano, ⊡ è associativa, e se
ha le proprietà di distribuzione rispetto alle due operazioni
(a ⊞ b) ⊡ c = (c ⊡ a) ⊞ (b ⊡ c) ; c ⊡ (a ⊞ b) = (c ⊡ a) ⊞ (c ⊡ b).
o Anello Unitario: se è un anello e ⊡ ammette elemento neutro [l’elemento neutro della somma
non è mai invertibile rispetto al prodotto → lo 0 non è invertibile rispetto al prodotto].
o Anello Commutativo: se è un anello e ⊡ è commutativa.
o Campo: è un anello commutativo unitario in cui ogni elemento, diverso dall’elemento neutro e,
è invertibile rispetto al prodotto.
N-PLE E OPERAZIONI TRA N-PLE
1
2
𝑛
) con 𝑎
1
2
𝑛
Somma di n-ple:
a = (𝑎 1
2
𝑛
) ; b = (𝑏
1
2
𝑛
a + b = (𝑎 1
1
2
2
𝑛
𝑛
Prodotto per scalare:
α●(𝑎 1
2
𝑛
) = a = (𝛼 ● 𝑎
1
2
𝑛
MATRICI ( A COEFFICIENTI IN K)
Prodotto righe per colonne
Due matrici possono essere moltiplicate tra loro se il numero di colonne della prima matrice è uguale
al numero di righe della seconda.
𝑚𝑥ℎ
ℎ𝑥𝑛
𝑚𝑥𝑛
o (𝐴 ∙ 𝐵)
𝑡
𝑡
𝑡
o (𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝐶 = 𝐴 ∙ (𝐵 ∙ 𝐶)
o In generale, non vale 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴, vale solo se il numero di colonne della prima è uguale al
numero di righe della seconda, e se il numero di righe della prima è uguale al numero di
colonne della seconda (vale certamente nelle matrici quadrate).
Matrici invertibili
− 1
− 1
o La matrice nulla non è invertibile
o In è invertibile è l’inversa è se stessa
o (𝐴 ∙ 𝐵)
− 1
− 1
− 1
o Se la matrice è invertibile, anche la trasposta lo è
o Per le matrici diagonali, basta invertire gli elementi sulla diagonale
DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA
𝑛
(𝕂) , il determinante di A è definito da
det
𝛿
( 1
)
1
𝛿
( 2
)
2
𝛿(𝑛)
𝑛
𝛿∈∑𝑛
o det(𝐴
𝑡
) = det(𝐴)
o Nelle matrici triangolari è il prodotto degli elementi sulla diagonale
o Teorema di Binet : 𝐝𝐞𝐭
Il determinante si può calcolare:
o Riducendo la matrice a gradini e rendendola triangolare, tenendo conto dell’effetto delle
trasformazioni di riga/colonna sul determinante finale.
o Con Laplace, sviluppando il determinante secondo una riga o una colonna:
det
𝑖 1
𝑖 1
𝑖 2
𝑖 2
𝑖𝑛
𝑖𝑛
INVERTIBILITA’ E DETERMINANTE
Una matrice quadrata, per essere invertibile, deve avere determinante diverso da 0.
L’inversa di una matrice si ottiene con questa formula:
− 1
𝒕
Dove 𝐴
𝑡
è la matrice trasposta dei complementi algebrici di A.
SISTEMI DI CRAMER
Un sistema si dice di Cramer se la matrice incompleta A è invertibile (→ quadrata con determinante
diverso da 0). Un sistema di Cramer è determinato con soluzione 𝑥 = 𝐴
− 1
La soluzione si ottiene con la formula:
1
1
2
2
𝑛
𝑛
Dove 𝐴 𝑖
è la matrice ottenuta da A sostituendo la i-esima colonna con i termini noti.
o L(X) è il più piccolo sottospazio di V che contiene X
Insieme di generatori: un insieme 𝑋 ⊆ 𝑉 si dice insieme di generatori per V se V = L(X) (o che X
genera V, ogni vettore di V è combinazione lineare di elementi di X).
o OGNI SPAZIO VETTORIALE AMMETTE ALMENO UN INSIEME DI GENERATORI (BASTA PRENDERE X=V).
o UNO SPAZIO VETTORIALE È FINITAMENTE GENERATO SE AMMETTE UN INSIEME FINITO DI GENERATORI.
o SE X GENERA V E 𝑋 ⊆ 𝑋′ allora 𝑋′ genera V ( nel caso in cui X’ sia più “grosso” di X, genera
sicuramente tutto V).
o Se X genera V e 𝑋′ ⊆ 𝑋 allora 𝑋′ genera V se e solo se 𝑋 − 𝑋′ ⊆ 𝐿(𝑋
′
o Se X genera V, allora ogni vettore di V si scrive, in maniera non necessariamente unica, come
combinazione lineare di elementi di X.
In questo caso, X’ genera V perché 𝑋 − 𝑋′ è
contenuto in L(X’), quindi basta che L(X’) sia
più “grosso” di X.
In questo caso, X’ non genera V perché non
tutto 𝑋 − 𝑋′ è contenuto in L(X’), quindi
L(X’) non può essere più piccolo di X.
Insiemi Linearmente Indipendenti: sia 𝑋 ⊆ 𝑉 si dice linearmente indipendente se
1
1
2
2
𝑛
𝑛
𝑣
1
2
𝑛
o 𝑋 ⊆ 𝑉 lin. indipendente, allora ogni 𝑣 ∈ 𝐿(𝑋) si scrive in maniera unica come combinazione
lineare di elementi di X
o Se 𝑋 ⊆ 𝑉 lin. indipendente e X’ è un sottoinsieme di X, allora X’ è lin. indipendente
o Se 𝑋 ⊆ 𝑉 lin. indipendente e 𝑋 ⊆ 𝑋′ allora X’ è lin. indipendente a seconda dei vettori che gli si
aggiungono
Insiemi Linearmente Dipendenti: sia 𝑋 ⊆ 𝑉 si dice linearmente dipendente se almeno un vettore è
combinazione lineare degli altri.
Base di uno spazio vettoriale: 𝑋 ⊆ 𝑉 è base di V se è un insieme di generatori di V (V=L(X))
linearmente indipendente.
o Ogni spazio vettoriale ammette una base
o Due basi dello stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, detta dimensione dello
spazio vettoriale V.
o Ogni insieme di generatori contiene una base.
o Ogni insieme linearmente indipendente è contenuto in una base.
Conseguenze:
o Se X genera V, allora 𝐶𝑎𝑑(𝑋) ≥ 𝑑𝑖𝑚𝑉
o Se X è linearmente indipendente, allora 𝐶𝑎𝑑(𝑋) ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉
o Se W è sottospazio di V, allora 𝑑𝑖𝑚𝑊 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉
o Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 allora X è base se e solo se 𝐶𝑎𝑑(𝑋) = 𝑛
o Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 allora W = V se e solo se 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑉
o Se W è sottospazio di V e 𝔅
𝑤
è una base di W, allora esiste
una base di V 𝔅
𝑣
che contiene 𝔅
𝑤
RANGO DI UNA MATRICE
Sia A una matrice con m righe e n colonne. La dimensione comune tra lo spazio generato dalle righe di
A e lo spazio generato dalle colonne di A è detto “rango di A” (rk(A)).
o Il 𝒓𝒌
≤ 𝐦𝐢𝐧{𝒎, 𝒏} ed è sempre 𝑟𝑘
o Se il rango di A è 𝑟𝑘
= min
allora A è detta di rango massimo (numero massimo di
righe/colonne indipendenti che formano una base).
o Sia 𝐴 ∈ ℳ
𝑛
(𝕂) allora il rk(A) = n se e solo se det(A) ≠ 0.
o 𝑟𝑘(𝐴
𝑡
o 𝑟𝑘(𝛼𝐴) = 𝑟𝑘(𝐴) il rango non cambia
o Il rango non si comporta bene rispetto alla somma
o 𝑟𝑘(𝐴 ∙ 𝐵) ≤ min{𝑟𝑘(𝐴), 𝑟𝑘(𝐵)}
o Se A è invertibile allora 𝑟𝑘(𝐴 ∙ 𝐵) = 𝑟𝑘(𝐵) se si moltiplica a destra e a sinistra per una matrice
invertibile, il rango non cambia.
Calcolo del rango
o Riduzione a gradini: se A è una matrice a gradini, allora il rango è uguale al numero delle
righe non nulle (cioè dei pivot). Operazioni elementari di riga/colonna non cambiano lo spazio
delle righe/colonne, quindi il rango non cambia.
o Kronecker: Sia A una matrice non nulla, allora sono equivalenti:
rk(A) = h
esiste un minore di ordine h regolare (det ≠ 0) e tutti gli orlati di ordine h+1 sono
singolari (det = 0)
TEOREMA DI ROUCHE’-CAPELLI PER LA RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI
Un sistema S ammette soluzione se e solo se il vettore dei termini noti appartiene allo spazio delle
colonne di A (matrice incompleta).
Quindi un sistema ammette soluzione, se e solo se 𝒓𝒌(𝑨) = 𝒓𝒌(𝑪) cioè se il rango della matrice
incompleta è uguale al rango della matrice completa.
In tal caso, il sistema è determinato se e solo se 𝒏 = 𝒓𝒌(𝑨) = 𝒓𝒌(𝑪), cioè se il numero di incognite è
uguale al rango.
Altrimenti il sistema ammette |𝕂|
𝒏−𝒓𝒌(𝑨)
soluzioni.
SOMMA E INTERSEZIONE DI SOTTOSPAZI
Sia V uno spazio vettoriale e siano W, U due suoi sottospazi. Allora 𝑊 ∩ 𝑈 è un sottospazio di V, ma
𝑊 ∪ 𝑈 no.
Si dice somma di sottospazi W e U l’insieme
o Se X genera V, allora T(X) genera Im(T).
o Se X è indipendente e T è iniettiva, allora T(X) è indipendente.
o Se X è base di V e T è iniettiva, allora T(X) è base di Im(T). Se poi T è anche suriettiva, T(X) è
base di tutto W.
Equazione dimensionale di una trasformazione lineare:
Teorema di rigidità delle trasformazioni lineari:
Siano V, W spazi vettoriali su K, sia B una base di V e sia Φ: 𝐵 → 𝑊. Allora esiste unica una
trasformazione lineare 𝑇: 𝑉 → 𝑊 che estende Φ. Cioè che 𝑇
𝐵
= 𝛷, e cioè che 𝑇(𝑏) = 𝛷(𝑏) ∀𝑏 ∈ 𝐵.
Conseguenze:
- Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 > 𝑑𝑖𝑚𝑊 allora dim(𝐾𝑒𝑟𝑇) > 0 la trasformazione non è iniettiva
- Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 < 𝑑𝑖𝑚𝑊 allora dim(𝐼𝑚𝑇) < 𝑑𝑖𝑚𝑊 quindi la trasformazione non è suriettiva
- Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 ≠ 𝑑𝑖𝑚𝑊 allora T non è isomorfismo
Teorema di isomorfismo:
Due spazi vettoriali V e W sono isomorfi se e solo se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑊.
TRASFORMAZIONI ASSOCIATE AD UNA MATRICE
Sia 𝐴 ∈ ℳ 𝑚𝑥𝑛
(𝕂). Definisco 𝑇
𝐴
𝑛
𝑚
mediante 𝑇
𝐴
(𝑥) = 𝐴𝑥 con 𝑥 ∈ 𝕂
𝑛
o dim(𝐾𝑒𝑟𝑇
𝐴
o dim(𝐼𝑚𝑇
𝐴
Sia 𝑇: 𝕂
𝑛
𝑚
una t.l. allora esiste unica 𝐴 ∈ ℳ
𝑚𝑥𝑛
(𝕂) tale che 𝑇 = 𝑇
𝐴
DILATAZIONI
SI DICE DILATAZIONE DI COEFFICIENTI 𝛼 ∈ 𝕂 SU UNO SPAZIO VETTORIALE V, L’ENDOMORFISMO
𝛼
𝛼
MATRICI ASSOCIATE AD UNA BASE
SI DICE MATRICE ASSOCIATA A T RISPETTO ALLE BASI ORDINATE ℬ E 𝒞 LA MATRICE ℳ
ℬ,𝒞
𝑚𝑥𝑛
(𝕂) che ha
per colonne le coordinate rispetto a 𝒞 delle immagini tramite T degli elementi di ℬ.
MATRICE DEL CAMBIAMENTO DI BASE
V SPAZIO VETTORIALE CON DIMV=N. ℬ e ℬ
′
basi ordinate di V. si dice matrice del cambiamento di base da ℬ
a ℬ
′
la matrice ℳ
ℬ→ℬ
𝑛
(𝕂) invertibile che ha per colonne le coordinate dei vettori dI ℬ
rispetto a ℬ
′
Proprietà:
ℬ→ℬ
𝑛
ℬ′→ℬ
ℬ→ ℬ′
− 1
MATRICI SIMILI
ℬ,𝒞
ℬ′,𝒞′
A è simile ad A’ se
𝒞→ 𝒞′
− 1
ℬ→ℬ
′
Dove
𝒞→𝒞
ℬ→ ℬ′
− 1
Caso degli endomorfismi
𝑇: 𝑉 → 𝑉 𝑒𝑛𝑑𝑜𝑚𝑜𝑟𝑓𝑖𝑠𝑚𝑜 con dimV = n. ℬ e ℬ′ basi ordinate di V.
ℬ
(𝑇) e 𝐴′ = ℳ
ℬ′
(𝑇) allora:
ℬ→ℬ
′ ∙ 𝐴 ∙ ℳ
ℬ→ ℬ′
− 1
Dove le due matrici sono una l’inversa dell’altra.
Se 𝑃 = ℳ ℬ→ℬ
′ la formula può essere riscritta come
′
− 1
COSÌ, A E A’ SONO SIMILI. LA SIMILITUDINE È UNA RELAZIONE DI EQUIVALENZA (RIFLESSIVA, SIMMETRICA E
TRANSITORIA). L’INSIEME DELLE MATRICI QUADRATE È RIPARTITO IN CLASSI DI SIMILITUDINE: [𝐴]
~
𝐴~𝐴′ SE E SOLO SE A E A’ SONO MATRICI ASSOCIATE ALLO STESSO ENDOMORFISMO RISPETTO A BASI DIVERSE.
AUTOVALORI, AUTOVETTORI E AUTOSPAZI DI UN ENDOMORFISMO
SIA 𝑇: 𝑉 → 𝑉 un endomorfismo. Uno scalare 𝜆 ∈ 𝕂 si dice autovalore di T se esiste un vettore 𝑣 ≠ 0
𝑣
tale che 𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣.
In tal caso v è detto autovettore relativo all’autovalore 𝜆. L’autospazio relativo a 𝜆 è l’insieme 𝑉
𝜆
dei
vettori di V.
o Se 𝜆 è autovalore di T, allora 𝑉
𝜆
è sottospazio di V non banale.
o L’insieme degli autovalori di T si dice “spettro di T” ed è un sottoinsieme di K.
o Se 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝑇) con 𝜆 ≠ 𝜇 allora 𝑉
𝜆
e 𝑉
𝜇
sono indipendenti (la loro intersezione è banale).
o In generale, autospazi relativi ad autovalori distinti sono indipendenti.
o Se 𝜆
1
2
𝑛
∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝑇) sono autovalori distinti allora:
𝜆 1
𝜆 2
𝜆𝑛
sono sottospazi indipendenti
se 𝑣
1
2
𝑛
sono autovettori non nulli relativi a 𝜆
1
2
𝑛
alora essi sono l.i.
o |𝑆𝑝𝑒𝑐
o 𝜆 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝑇) ↔ |𝐴 − 𝜆𝐼𝑛| = 0. IN TAL CASO 𝑉
𝜆
: (𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)𝑥 = 0. Da cui 𝑑𝑖𝑚 𝑉
𝜆
POLINOMIO CARATTERISTICO DI UNA MATRICE
SE 𝐴 ∈ ℳ
𝑛
(𝕂) si dice polinomio caratteristico di A il polinomio 𝑃
𝐴
(𝑇) ∈ 𝕂[𝑡] definito da
𝐴
↔ 𝜆 è radice del polinomio 𝑃
𝐴
dove 𝐴 = ℳ
ℬ
o PER N = 2 → 𝑝
𝐴
2
o PER N = 3 → 𝑝
𝐴
3
2
11
22
33
o Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico (NON VALE IL CONTRARIO!)
o Se 𝑋 ∈ 𝒮(𝕂) e 𝐴 ∈ ℳ
𝑛
(𝕂), allora 𝐶
𝐴
𝑡
∙ 𝑋 ∙ 𝐴 è simmetrica.
AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI DI UNA MATRICE QUADRATA
Sia 𝐴 ∈ ℳ 𝑛
(𝕂) si dicono autovalori, autovettori e autospazi di A gli autovalori, autovettori e autospazi
di 𝑇 𝐴
MOLTEPLICITA’ GEOMETRICA E ALGEBRICA DEGLI AUTOVALORI
Sia 𝑇: 𝑉 → 𝑉 un endomorfismo e sia 𝜆 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝑇). Si dice moltiplicità geometrica di 𝜆 la dimensione del
suo autospazio.
𝜆
Dove n è la dimensione di V.
La molteplicità algebrica di 𝜆 è la molteplicità di 𝜆 come radice del polinomio caratteristico di ℳ ℬ
o In generale, vale 1 ≤ 𝑀𝑔
o
o
𝜆∈𝑆𝑝𝑒𝑐(𝑇)
𝜆∈𝑆𝑝𝑒𝑐(𝑇)
≤ 𝑛 = 𝑑𝑖𝑚𝑉 (nota che in campo
complesso, è = n). La somma delle molteplicità delle radici è minore del grado del polinomio.
