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riassunto matematica generale, Sintesi del corso di Matematica Generale

Università degli Studi di Cagliari (UNICA)Matematica Generale

riassunto matematica generale

Tipologia: Sintesi del corso

2020/2021

Caricato il 17/06/2022

martinapiredda41
martinapiredda41 🇮🇹

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Riassunto libro di matematica. (Parte teorica) rivedere tutti i grafici che non sono stati riportati nel
riassunto.!
Equazioni.!
Un equazione è un uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata solo per particolari vaioli
assegnati alle variabili in essa contenuti. Il grado di una equazione è dato dall’ordine del suo
polinomio. Si parla di soluzione di un equazione per indicare quel valore che sostituito a una
variabile trasforma l’equazione in un uguaglianza. !
Equazioni di secondo grado.!
Le equazioni vengono definite di secondo grado quando l’incognita x è elevata al quadrato. !
Forma canonica di un equazione di secondo grado:!
Equazione monomia: b=0 e c=0!
Equazione pura: b=0!
Equazione spuria. c=0!
Formula risolutiva: !
Le disequazioni.!
La diseducazione è una disuguaglianza verificata per determinati valori la qui soluzione è data da
quei valori che sostituiti all’incognita rendono la diseducazione verificata. Se moltiplico o divido
per un numero negativo devo cambiare di verso la disequazione. (Vedere punto 5.2 pagina 50). !
Funzioni reali di una variabile.!
Il simbolo f indica un insieme di operazioni che si devono verificare il x per poter ottenere y. La x
viene definita dominio e variabile indipendente mentre la y viene definita codominio variabile
dipendente. Esistono delle regole relative al campo di esistenza di diverse funzioni: !
•Logaritmo: deve essere maggiore di zero e le x devono essere tali per cui la funzione diventi
maggiore di 0;!
•Il rapporto: il rapporto tra due funzioni è giustificato solo se il denominatore è diverso da 0;!
•La radice: l’argomento della radice deve essere sempre maggiore o uguale a zero.!
Simmetrie. !
Una funzione viene definita pari quando il suo grafico è simmetrico all’asse delle y ovvero quando
cambiando il segno della x la funzione rimane sempre con lo stesso segno (es. y=x^2).!
Una funzione viene definita dispari quando il suo grafico è simmetrico all’origine ovvero quando
cambiando il segno della x cambia di segno anche la funzione (vedere grafici di pagina 60/61).!
Una funzione si dice periodica quando dopo un certo intervallo, chiamato periodo, essa si ripete
(grafico pagina 62).!
Una funzione si dice iniettiva se a punti diversi del dominio corrispondo punti diversi del
codominio (es. y=x). La funzione viene definita suriettiva se ogni elemento del codominio è
immagine di almeno uno degli elementi del codominio (es. y=x^3). Una funzione si dice biiettiva
quando essa è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva (es. y=x^3). !
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Funzioni lineari. !
Funzione lineare: y= mx+q dove m è il coefficiente angolare e q rappresenta i numeri reali. Se m è
maggiore di zero la funzione è crescente, se m è minore di zero la funzione è decrescente mentre
se m è uguale a zero la funzione è parallela all’asse delle x. Per calcolare una retta passante per
due punti si utilizza la seguente funzione: !
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Scarica riassunto matematica generale e più Sintesi del corso in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!

Riassunto libro di matematica. (Parte teorica) rivedere tutti i grafici che non sono stati riportati nel riassunto. Equazioni. Un equazione è un uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata solo per particolari vaioli assegnati alle variabili in essa contenuti. Il grado di una equazione è dato dall’ordine del suo polinomio. Si parla di soluzione di un equazione per indicare quel valore che sostituito a una variabile trasforma l’equazione in un uguaglianza. Equazioni di secondo grado. Le equazioni vengono definite di secondo grado quando l’incognita x è elevata al quadrato. Forma canonica di un equazione di secondo grado: Equazione monomia: b=0 e c= Equazione pura: b= Equazione spuria. c= Formula risolutiva: Le disequazioni. La diseducazione è una disuguaglianza verificata per determinati valori la qui soluzione è data da quei valori che sostituiti all’incognita rendono la diseducazione verificata. Se moltiplico o divido per un numero negativo devo cambiare di verso la disequazione. (Vedere punto 5.2 pagina 50). Funzioni reali di una variabile. Il simbolo f indica un insieme di operazioni che si devono verificare il x per poter ottenere y. La x viene definita dominio e variabile indipendente mentre la y viene definita codominio variabile dipendente. Esistono delle regole relative al campo di esistenza di diverse funzioni:

  • Logaritmo: deve essere maggiore di zero e le x devono essere tali per cui la funzione diventi maggiore di 0;
  • Il rapporto: il rapporto tra due funzioni è giustificato solo se il denominatore è diverso da 0;
  • La radice: l’argomento della radice deve essere sempre maggiore o uguale a zero. Simmetrie. Una funzione viene definita pari quando il suo grafico è simmetrico all’asse delle y ovvero quando cambiando il segno della x la funzione rimane sempre con lo stesso segno (es. y=x^2). Una funzione viene definita dispari quando il suo grafico è simmetrico all’origine ovvero quando cambiando il segno della x cambia di segno anche la funzione (vedere grafici di pagina 60/61). Una funzione si dice periodica quando dopo un certo intervallo, chiamato periodo, essa si ripete (grafico pagina 62). Una funzione si dice iniettiva se a punti diversi del dominio corrispondo punti diversi del codominio (es. y=x). La funzione viene definita suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno uno degli elementi del codominio (es. y=x^3). Una funzione si dice biiettiva quando essa è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva (es. y=x^3). Funzioni lineari. Funzione lineare: y= mx+q dove m è il coefficiente angolare e q rappresenta i numeri reali. Se m è maggiore di zero la funzione è crescente, se m è minore di zero la funzione è decrescente mentre se m è uguale a zero la funzione è parallela all’asse delle x. Per calcolare una retta passante per due punti si utilizza la seguente funzione:

Funzione valore assoluto. Simbolo del valore assoluto: |x| Il valore assoluto è definito da x se x è maggiore o uguale a zero e da -x se x è minore o uguale di zero. Il grafico della funzione con valore assoluto è dato da due semirette passanti per l’origine di equazione y=x e y=-x (vedere grafico pagina 65). Funzione potenza. La funzione potenza deve essere strettamente maggiore o uguale di 0. Se l’esponente della funzione è positivo il dominio è dato da tutti i numeri reali; se l’esponente è dispari il dominio è finito per i valori reali diversi da 0. Se il codominio è pari esso assume i valori compresi da zero a

  • infinito e la funzione sta sopra l’asse delle x; se è dispari il codominio coincide con i numeri reali e la funzione sta sotto l’asse delle x. Crescenza e decrescenza di una funzioni. La funzione si dice crescente se la funzione f (x1) è inferiore a f (x2) e se conserva le diseguaglianze tra valori di x contenuti nell’intervallo. La funzione si dice decrescente se rovescia le diseguaglianze tra valori di x contenuti nell’intervallo. Concavità e convessità. Si dice che una funzione è convessa quando dati due punti si ha che la retta congiungente i due punti sta al di sopra della funzione. La funzione si dice concava se dati due punti si ha che la retta secante congiungente i due punti sta al di sotto della funzione. Funzione esponenziale. a^b -> a è la base; b è l’esponente. Se varia la base e l’esponente è fisso si parla di funzione potenza. Se varia l’esponente e la base è fissa si parla di funzione esponenziale. La funzione esponenziale y=a^x con a numero reale positivo, è una funzione positiva strettamente crescente se a >1 e strettamente decrescente se a<1. Quando la base è uguale al numero di Nepero allora la funzione diventa y=e^x e in questo caso la funzione sarà crescente. Funzione logaritmo. La funzione logaritmo rappresenta la funzione inversa della funzione potenza. Se la base del logaritmo viene omessa allora essa è pari al numero di Nepero. Se la base è maggiore di 1, il logaritmo è una funzione strettamente crescente, mentre se essa è compresa tra 0 e 1 allora la funzione è strettamente decrescente. Studio intuitivo di funzioni. ( da vedere direttamente sul libro). Continuità di una funzione. Una funzione è continua in un punto x0 se accade che considerato un interno piccolo a piacere sull’asse delle ordinate del valore f (x0) ad esso corrisponde un intorno altrettanto piccolo sull’asse delle ascisse del punto x0, tale che per ogni x che appartiene all’intorno di x0 il valore corrispondente appartiene all’intorno di f (x0). Se restringiamo l’intorno sull’asse delle ordinate si riduce anche il corrispondente intorno sull’asse delle ascisse. Teoremi sulle funzioni continue:
  • Teorema degli zeri -> se f è continua in un intervallo (a ; b), ed ha segni discordi in x=a e x=b allora esiste almeno un x0 appartenente a (a ; b) in cui si ha che f (x0)=0.
  • Teorema di Weierstrass -> afferma che esistono sicuramente due punti interni all’intervallo (a ; b) in cui la funzione assume un valore massimo e un valore minimo.
  • Teorema dei valori intermedi -> se una funzione f è continua in un intervallo chiuso e limitato (a ; b) assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b).

Limite per x che tende a infinito : Limite finito per x -> - infinito : Limite tra i concetti di continuità e limite di una funzione. Limite finito per x -> x0 Limite infinito per x-> infinito

Limiti fondamentali (da vedere direttamente dal libro pagina 90). Casi di discontinuità.

  • Se esistono sia il limite destro che il limite sinistro per x che tende a x0 ma i due limiti non coincidono;
  • Se o il limite destro o il limite sinistro o entrambi non esistono o sono infinito;
  • Se esistono sia il limite destro che quello sinistro, coincidono ma o la funzione non è definita in quel punto o il valore di f (x0) è diverso dal valore del limite. Forme indeterminate. Limite del tipo 0\0 -> in questo caso è sufficiente togliere la causa dell’indeterminazione scomponendo il numeratore; Limite del tipo infinito\infinito si può risolvere in diversi modi :
  • Metodo polinomiale -> metto in evidenza il fattore comune (x) che assume valore infinito e che quindi diventa uguale a zero;
  • Metodo di confronto fra infiniti -> se sostituiamo al posto della x un numero molto grande, il suo quadrato x^2 sarà ancora più grande. x^2 corre all’infinito più veloce rispetto a x. In questi limiti basta considerare solo la x a potenza più grande. In generale possiamo dire che dati due polinomi:
  • Il limite per x -> infinito sarà pari a infinito se il grado del polinomio al numeratore è maggiore del grado del polinomio al denominatore;
  • Il limite per x -> infinito sarà pari a zero se il grado del polinomio al numeratore è minore del grado del polinomio al denominatore;
  • Il limite per x -> infinito sarà pari al rapporto fra i coefficienti di grado massimo dei due polinomi se il grado del numeratore è minore del grado del polinomio al denominatore. Polinomi e logaritmi -> il logaritmo corre all’infinito meno veloce di tutti. Polinomi ed esponenziali -> l’esponenziale corre all’infinito più veloce di tutti. Limite del tipo 0 per infinito e infinito - infinito da vedere sul libro a pagina 94| Prolungamento di funzioni. Per prolungare funzioni che presentano una forma indeterminata del tipo 0\0 oppure del tipo infinto\infinito si utilizza il confronto tra infinitesimi o tra infiniti. Asintoti. Un asintoto è una retta tale per cui la distanza tra essa e una generica funzione tende a 0 per x -> infinito tale per cui si parla di asintoti orizzontali o obliqui , o per x che tende ad un punto dove la funzione non è definita per 0 è discontinua e si parla in questo caso di asintoti verticali. La funzione si avvicina quindi all’asintoto senza mai toccarlo. Asintoti verticali -> abbiamo un asintoto verticale quando se la x si avvicina ad un valore finito a, la funzione tende all’infinito avvicinandosi ad una retta verticale. Se la funzione è fratta, l’asintoto verticale è dato dal punto in cui il denominatore si annulla. Per capire in che modo la funzione corre all’infinito, è opportuno calcolare sia il vinte destro (+) che il limite sinistro (-) per trovare il segno dell’infinito a destra e a sinistra dell’asintoto. Asintoti orizzontali -> abbiamo un asintoto orizzontale quando, se la x tende a infinito, la funzione

f tende ad un valore finito a. L’asintoto sarà dato dalla retta orizzontale y=a

Asintoti obliqui -> una funzione presenta un asintoto obliquo di equazione y = ax+b se rispetta le seguenti condizioni:

  1. Al tendere di x all’infinito la funzione deve tendere a infinito;
  2. Deve esistere il coefficiente angolare a dell’asintoto;
  3. Può esistere il termine noto b dell’asintoto.

Il differenziale. Sia data la f definita in un intervallo (a ; b): se esiste un numero reale a tale che per ogni h per cui x+h appartiene all’intervallo (a ; b) si abbia f ( x+h) - f. (x) = ah+oh per h che tende a zero, f si dice differenziale e il prodotto ah si dice differenziale di f in x e si indica con il simbolo d f (x). Utilità della derivata prima. La derivata fornisce informazioni sulla crescenza/decrescenza di una funzione, e quindi sui possibili punti di massimo, minimo o di flesso. Abbiamo tre casi distinti:

  1. Se la derivata prima di una funzione è maggiore di zero è crescente;
  2. Se la derivata prima di una funzione è minore di zero la funzione è decrescente;
  3. Se la derivata prima di una funzione è uguale a zero allora è piatta. In questo caso il punto in cui la tangente è orizzontale prende il nome di punto stazionario. Condizioni di primo ordine. Sia la funzione definita in un intervallo (a ; b), derogabili in (a ; b), se ha un estremo relativo in x0, e se in tale punto essa è derivabile, allora la derivata prima di una funzione uguale a zero è nulla. Massimi e minimi direttamente dal libro a pagina 119. Utilità della derivata seconda. La derivata seconda fornisce informazioni sulla concavità\ convessità di una funzione. Se la derivata seconda di una funzione è maggiore di zero essa è convessa. Se la derivata seconda di una funzione è minore di zero essa è concava. Se la derivata seconda di una funzione è uguale a zero allora c’è un cambio di concavità e diventa un flesso. Condizioni di secondo ordine. Se la derivata prima di una funzione è uguale a zero era derivata seconda è invece diversa da zero allora x0 è un estremante più nello specifico:
  • Se la derivata seconda è maggiore di zero in x0 si ha un punto di minimo;
  • Se la derivata seconda è minore di zero in x0 si ha un punto di massimo. Formula di Taylor: da vedere sul libro a pagina 121. Funzioni derivabili. Se la funzione è derivabile allora possiede la tangente in ogni suo punto e si dice convessa se la tangente sta tutta al di sopra della tangente e concava se la tangente sta tutta al di sotto. Flessi: se la derivata prima della funzione è uguale a zero, la derivata seconda uguale a zero e la derivata terza maggiore di zero allora si ha un flesso ascendente; se la derivata prima è uguale a zero, la derivata seconda uguale a zero e la derivata terza minore di zero allora ho un flesso discendente. Caso generale:

Teoremi relativi al calcolo differenziale. Teorema di Rolle. Afferma che: se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato e derivabile all’interno dello stesso (estremi esclusi) e se inoltre agli estremi dell’intervallo assume lo stesso valore: f (a) = f (b), allora esisterà un punto c, appartenete all’intervallo stesso, in cui la derivata della funzione è pari a zero. Teorema di Lagrange. Secondo questo teorema esiste un punto c in cui la tangente alla funzione è parallela al segmento che congiunge gli estremi all’intervallo considerato. Esiste, quindi, un punto in cui la derivata ha la stessa inclinazione del segmento che unisce a con b. Teorema di Lagrange e crescenza\ decrescenza di una funzione: Teorema di Cauchy. In questo teorema viene introdotta una seconda funzione g(x) che non deve mai avere valore zero nell’intervallo considerato. Teorema di De Hospital. Regole di derivazione da vedere sul libro a pagina 125. Gli integrali. Gli integrali definiti servono per calcolare l’area sottesa di una funzione. Dove F rappresenta la derivata prima di f (x). Se F (x) è una funzione definita in un intervallo (a ; b) ed in ogni suo punto ha una derivata di di funzione f (x) allora si dice che F (x) è una funzione primitiva di f (x). Teorema fondamentale del calcolo integrale. Data una funzione integranda f (x) su (a ; b), scegliendo un quassia punto c che appartiene all’intervallo è possibile definire la funzione integrale:

  • La somma di due matrici viene eseguita sommando i corrispondenti termini. La matrice risultante sarà c.
  • La differenza fra due matrici si ottiene sottraendo i corrispondenti termini. Sia per la somma che per la differenza vale la proprietà commutativa. La somma e la differenza di due o più matrici è possibile se le matrici hanno la stessa dimensione.
  • La moltiplicazione di una matrice per uno scalare k avviene moltiplicando semplicemente ogni elemento della matrice per lo scalare stesso.
  • Il prodotto fra matrici di diversa dimensione purché il numero di colonne in una sia uguale al numero di righe dell’altra. Date due matrici A di dimensione m x k e B di dimensione k x n, il loro prodotto sarà pari a A x B = C dove c di dimensione (m x n). Determinante di una matrice. Il determinante di una matrice è pari al prodotto dei coefficienti sulla diagonale principale meno il prodotto dei coefficienti sulla diagonale secondaria. È importante ricordarsi di mettere il segno positivo se la somma degli indici dell’elenco è pari ed il segno negativo se la somma degli indici dell’evento è dispari. Dobbiamo moltiplica il primo elemento della riga per il suo complemento algebrico. Il complemento algebrico è il determinante della matrice che rimane escludendo la riga e la colonna su cui si trova l’elemento considerato; calcoliamo poi gli altri determinanti per il proprio complemento algebrico e infine sommo algebricamente i risultati tenendo conto dei segni. Rango di una matrice. Definiamo come minori i determinanti della sottomatrici quadrate che possiamo estrarre da una generica matrice A di dimensioni m x n, con m ed n non necessariamente uguali. Il rango di una matrice A è il massimo ordine dei minori non nulli estraibili da A. Il rango è redato dalla dimensione della sottomatrice quadrata più grande possibile che possiamo estrarre dalla matrice e che abbia determinante diverso da zero. Sistemi di equazioni lineari con parametro. Con l’utilizzo delle matrici è possibile risolvere i sistemi lineari e studiarli al variare di un determinato parametro. Forma vettoriale: a1x1 + a2x2+…+ amxm = b Teorema di Cramer. Il teorema di Cramer afferma che condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema di n equazioni lineari in n incognite abbia una e una sola soluzione è che il determinante della matrice dei coefficienti del sistema sia diversa da zero. Se invece il determinante è uguale a zero il sistema ammette infinite soluzioni oppure nessuna. Teorema di Rouché-Capelli. Il teorema di Rouché- Capelli permette di calcolare il numero di soluzioni di un sistema di equazioni lineari in funzione del rango di alcune matrici. Il teorema afferma che condizioni necessaria e sufficiente affinché un sistema di un n equazioni lineari in m incognite abbia soluzioni è che la sua matrice incompleta e la corrispondente matrice completa abbiano la stessa caratteristica o lo stesso rango. Indicando con p la caratteristica comune alle due matrici si ha:
  1. Se p=m la soluzione è unica;
  2. Se p < m ci sono infinite soluzioni e il sistema dato è equivalente ad un sistema di p equazioni di p incognite Se il rango della matrice completa è maggiore del rango della matrice incompleta, allora il sistema lineare è impossibile e non ammette soluzioni; Se il rango della matrice completa coincide con il rango della matrice incompleta, allora il sistema è compatibile ( ammette cioè una o infinite soluzioni). Le derivate parziali. Le direzioni che risultano più comode per la derivata sono quelle parallele agli assi coordinati Ox e Oy. Per calcolare la derivata parziale della f (x,y) in P0 rispetto a x: si fissa una retta che passa per P0 e parallela all’asse Ox. Calcolando il valori della funzione su tale retta la y non cambia per cui possiamo considerare la f (x,y) come funzione della sola x.

Massimi e minimi liberi. Per studiare i massimi e minimi liberi, occorre calcolare il gradiente che è una matrice formata da una colonna e tante righe quante sono le variabili della funzione che stiamo considerando. Il granfiante è particolarmente utile quante sono le variabili della funzione che stiamo considerando. Il gradiente è particolarmente utile perché ci indica quali sono i punti candidati a essere massimi o minimi. Gli eventuali punti di massimo o di minimo sono infatti soluzione del sistema dato dalle derivate parziali eguagliate a zero ( condizione di primo ordine); in seguito viene calcolato l’Hessiano per scoprire quali, tra i punti candidati e quindi quali tenere e quali scartare (condizione di secondo ordine). A questo punto prendiamo i punti candidati e li sostituiamo al determinante. Se H(x0,xy) è maggiore di zero lo teniamo, perché potrebbe essere un massimo o un minimo relativo; se H(x0,xy) è minore di zero lo scartiamo. Per capire se i punti sono massimo o minimi dobbiamo studiare il segno della derivata parziale f xx. Se f xx è maggiore di zero la concavità è verso l’alto, è un punto di minimo relativo. Se f xx è minore di zero la concavità è verso il basso e quindi è un punto di massimo relativo.