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CEL
Esercitazione 1
ESERCIZIO 1
Un’azienda farmaceutica realizza 4 diversi prodotti: A, B, C e D. !
Il ciclo produttivo è costituito da tre linee a flusso, indicate come L1, L2 e L3. !
Ciascuno dei 4 tipi di prodotto deve subire la lavorazione da ciascuna delle 3 linee. !
La seguente tabella riporta le ore-uomo richieste per la lavorazione di ogni kg di prodotto su ogni
linea, ed il profitto unitario di vendita (in € per kg) di ogni prodotto.!
Devono essere realizzati almeno 1000 kg del prodotto B e non più di 500 kg del prodotto D. !
Per ogni linea di produzione l’azienda può scegliere quante ore-uomo impiegare. !
Tuttavia, vi è un limite massimo di ore-uomo disponibili per ogni linea, ed un costo unitario in €
per ore-uomo associato ad ogni linea. !
Tali valori sono rappresentati nella tabella seguente. !
Definire un modello di programmazione lineare che permetta di determinare il piano di produzione
mensile che massimizza il profitto netto. !
SVOLGIMENTO:!
1. Individuare le variabili decisionali.
Variabili decisionali:#xA = n° kg prodotto A!
###xB = n° kg prodotto B!
###xC = n° kg prodotto C!
###xD = n° kg prodotto D!
Dominio: #xA , xB , xC , xD ≥ 0#—> variabili continue non negative!
2. Individuare e formulare la funzione obiettivo.
Funzione obiettivo:#MAX Z = (14xA + 15xB + 13xC + 18xD) ## —> ricavo!
#### - 3 • (2xA + 2xB + 3xC + 3xD) ## —> n° ore-uomo linea 1!
#### - 2 • (2xA + 3xB + 1xC + 2xD)## —> n° ore-uomo linea 2!
#### - 1 • (1xA + 2xB + 2xC + 3xD)## —> n° ore-uomo linea 3!
###RICAVO - (COSTO UNITARIO • N° ORE-UOMO) = PROFITTO NETTO!
###!
A
B
C
D
L1
2
2
3
3
L2
2
3
1
2
L3
1
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2
3
Ricavi
14
15
13
18
Disponibilità
Costo unitario
L1
25.000
3
L2
19.000
2
L3
18.000
1
1
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ESERCIZIO 1

Un’azienda farmaceutica realizza 4 diversi prodotti: A, B, C e D. Il ciclo produttivo è costituito da tre linee a flusso, indicate come L1, L2 e L3. Ciascuno dei 4 tipi di prodotto deve subire la lavorazione da ciascuna delle 3 linee. La seguente tabella riporta le ore-uomo richieste per la lavorazione di ogni kg di prodotto su ogni linea, ed il profitto unitario di vendita (in € per kg) di ogni prodotto. Devono essere realizzati almeno 1000 kg del prodotto B e non più di 500 kg del prodotto D. Per ogni linea di produzione l’azienda può scegliere quante ore-uomo impiegare. Tuttavia, vi è un limite massimo di ore-uomo disponibili per ogni linea, ed un costo unitario in € per ore-uomo associato ad ogni linea. Tali valori sono rappresentati nella tabella seguente. Definire un modello di programmazione lineare che permetta di determinare il piano di produzione mensile che massimizza il profitto netto. SVOLGIMENTO :

1. Individuare le variabili decisionali. Variabili decisionali: xA = n° kg prodotto A xB = n° kg prodotto B xC = n° kg prodotto C xD = n° kg prodotto D Dominio: xA , xB , xC , xD ≥ 0 —> variabili continue non negative 2. Individuare e formulare la funzione obiettivo. Funzione obiettivo: MAX Z = (14xA + 15xB + 13xC + 18xD) —> ricavo - 3 • (2xA + 2xB + 3xC + 3xD) —> n° ore-uomo linea 1

  • 2 • (2xA + 3xB + 1xC + 2xD) —> n° ore-uomo linea 2
  • 1 • (1xA + 2xB + 2xC + 3xD) —> n° ore-uomo linea 3 RICAVO - (COSTO UNITARIO • N° ORE-UOMO) = PROFITTO NETTO A B C D L1 2 2 3 3 L2 2 3 1 2 L3 1 2 2 3 Ricavi 14 15 13 18 Disponibilità Costo unitario L1 25.000 3 L2 19.000 2 L3 18.000 1

3. Individuare e formulare i vincoli. Vincoli: • MIX PRODUTTIVO xB ≥ 1000 xD ≤ 500

  • LINEE PRODUTTIVE L1: 2xA + 2xB + 3xC + 3xD ≤ 25. L2: 2xA + 3xB + 1xC + 2xD ≤ 19. L3: 1xA + 2xB + 2xC + 3xD ≤ 18. N° ORE-UOMO ≤ DISPONIBILITÀ
  • DOMINIO xA , xB , xC , xD ≥ 0 —> dati nel testo —> dati nel testo n° ore-uomo ≤ disponibilità n° ore-uomo ≤ disponibilità n° ore-uomo ≤ disponibilità
  • RATING 2xA + 3xB + 1xC + 4xD + 5xE ≤ 1,

gradi di investimento ≤ valore medio dell’investimento investimento totale

ESERCIZIO PROVA TU

Una compagnia gestisce l’estrazione di petrolio greggio da 3 giacimenti. La qualità del petrolio dipende dalla profondità a cui esso viene estratto. Prima della spedizione, il petrolio estratto da ogni giacimento viene diviso in 2 qualità. La capacità di estrazione giornaliera di ogni giacimento ed il suo costo di esercizio giornaliero sono indicati nella tabella seguente. La compagnia si è impegnata a consegnare entro la fine della prossima settimana 54 barili di greggio di alta qualità e 65 barili di greggio di bassa qualità. Determinare il numero di giorni, anche frazionari (es. 1 giorno e ½), della prossima settimana in cui ciascuno giacimento dovrebbe essere in attività al fine di minimizzare il costo totale. SVOLGIMENTO : Variabili decisionali: x 1 = n° giorni giacimento 1 x 2 = n° giorni giacimento 2 x 3 = n° giorni giacimento 3 Funzione obiettivo: MIN Z = 20x 1 + 22x 2 + 18x 3 Vincoli: • SETTIMANE x 1 ≤ 7 x 2 ≤ 7 x 3 ≤ 7

  • QUANTITÀ 4x 1 + 6x 2 + 1x 3 ≥ 54 —> alta qualità estrema 4x 1 + 4x 2 + 6x 3 ≥ 65
  • DOMINIO x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 Alta qualità (barili/giorno) Bassa qualità (barili/giorno) Costo esercizio (€ 1000/giorno) Giacimento 1 4 4 20 Giacimento 2 4 22 22 Giacimento 3 6 18 18

MIN Z = αB1 • xB1 + αB2 • xB2 + αB3 • xB3 + αP1 • xP1 + αP2 • xP2 + αP3 • xP3 + αR1 • xR1 + αR2 • xR2 + αR3 • xR3 + αV1 • xV1 + αV2 • xV2 + αV3 • xV V 3 MIN Z = ∑ xij ∑ αij i = B i = 1 i = {1 , 2 , 3} xi V x 1 + x 2 + x 3 = ∑ xij i = B A = [ αij ] i = riga j = colonna i = { 1 , 2 , 3 } j = { 1 , 2 } … Vincoli: • SCORTE: B xB1 + xB2 + xB3 ≤ 120 quantità spedita da BO ≤ scorte 3 3 ∑ xBj ≤ 120 —> ∑ xBj ≤ SB i = B j = 1 j = 1 P xP1 + xP2 + xP3 ≤ 210 3 3 ∑ xPj equivalente ∑ xij j = 1 j = 1 3 3 ∑ xPj ≤ 210 —> ∑ xPj ≤ SP i = P j = 1 j = 1 R xR1 + xR2 + xR3 ≤ 195 3 3 ∑ xRj ≤ 195 —> ∑ xRj ≤ SR i = R j = 1 j = 1 V xV1 + xV2 + xV3 ≤ 350 3 3 ∑ xVj ≤ 350 —> ∑ xVj ≤ SV i = V j = 1 j = 1 3 ∑ xij ≤ Si i = B , P , R , V j = 1 2 trasporto ≤ scorte in uscita

S = Si SB = 120

  • DOMANDA: dj d 1 = 325
  • CLIENTE: C1 xB1 + xP1 + xR1 + xV1 = 325 V ∑ xi1 = d 2 i = 8 V ∑ xij = dj j = 1 i = 8 V ∑ xij = dj ∀j i = 8 C2 xB2 + xP2 + xR2 + xV2 = 215 j = 2 C3 xB3 + xP3 + xR3 + xV3 = 230 j = 3 (1) (B) 120 (P) 210 (R) 195 (V) 350 (1) (2) (3) (D) 325 215 230

Vincoli: Cliente 1 1,2x 1 + 1,1x 2 + 0,90x 3 + 1,30x 4 + 0,95x 5 = 1692 H 5 ∑ hji xi = dj ∀j i = 1 Dominio: xi ≥ 0

ESERCIZIO 3 - Modello di ottimizzazione di portafoglio Un investitore privato ha a disposizione un capitale di 25.000 € che desidera investire nel mercato azionario durante il prossimo anno. L’investitore sta valutando l’investimento nei 6 seguenti titoli azionari. Tra parentesi è riportato il rendimento atteso per il prossimo anno:

  • tecnologici : Apple (8%), Inter (6%), Samsung (5%);
  • bancari : Intesa (7%); Santander (4%);
  • petroliferi : Eni (2%). L’investitore desidera che almeno il 25% del capitale investito nei titoli tecnologici sia investito in Apple. Inoltre, vuole che sia investito nei titoli bancari almeno tanto quanto è investito nei titoli tecnologici, e che non più del 20% del captale disponibile sia investito in titoli il cui rendimento atteso sia inferiore o uguale al 5%. Determinare il portafoglio di investimenti in azioni che massimizzano il rendimento atteso dell’investimento. SVOLGIMENTO : Indici: i = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Variabili decisionali: xi = € investiti nel titoli i Dati: R = budget = 25.000 € Funzione Obiettivo: MAX Z = 0,08x 1 + 0,06x 2 + 0,05x 3 + 0,07x 4 + 0,04x 5 + 0,02x 6 6 MAX Z = ∑ ri xi i = 1 3 Vincoli: • Apple x 1 ≥ 0,25 ∑ xi i = 1 5 3
    • Titoli bancari ∑ xi ≥ ∑ xi i = 4 i = 1
    • Composizione rischio Titoli ≤ 5 Samsung (3) Santander (5) Eni (6) 5 x 3 + x 5 + x 6 ≤ 0,20 ∑ xi i = 1 0,08 0,06 0,05 0,07 0,04 0, quantità investita in titoli tecnologici

Come risolvere un problema in 2 dimensioni con il metodo grafico.

  1. Disegnare ogni vincolo del problema.
  2. Individuare la regione ammissibile e i suoi vertici.
  3. a) Disegnare le curve di livello corrispondenti alla funzione obiettivo spostandosi nella direzione della stessa. b) Spostarsi il più possibile mantenendo le curve di livello all’interno (intersezione non vuota) della regione ammissibile.
  4. Determinare le coordinate del vertice ottimo e il valore corrispondente della funzione obiettivo. ESERCIZIO 1 - Metodo grafico Risolvere il seguente problema di Programmazione Lineare (PL) attraverso il metodo grafico. MAX z = 120x 1 + 40x 2 s.t. 40x 1 + 20x 2 ≤ 2. 8x 1 + 2x 2 ≤ 320 x 1 + x 2 ≤ 100 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 SVOLGIMENTO :
  5. Disegnare ogni vincolo del problema. 1° VINCOLO: 40x 1 + 20x 2 = 2. x 1 = 0 x 2 = 110 x 2 = 0 x 1 = 55 2° VINCOLO: 8x 1 + 2x 2 = 320 x 1 = 0 x 2 = 160 x 2 = 0 x 1 = 40 3° VINCOLO: x 1 + x 2 = x 1 = 0 x 2 = 100 x 2 = 0 x 1 = 100
  6. Individuare la regione ammissibile e i suoi vertici. 1.200 = 120x 1 + 40x 2 x 1 = 0 x 2 = 30 x 2 = 0 x 1 = 10 Tutte le rette blu sono alternative alla mia funzione obiettivo, spostandomi verso destra tutte le soluzioni che incontro ammissibili sono migliori delle precedenti. Il vertice D è l’incrocio del 1° e del 2° vincolo. 40x 1 + 20x 2 = 2.200 x 1 = 320 - 2x 2 = 40 - 1 x 2 8 4 8x 1 + 2x 2 = 320 x 2 =60 x 1 = 25

A

E

D

B

C

ESERCIZIO 2 - Metodo grafico

  • MAX z = 2x 1 - 3x Risolvere il seguente problema di PL attraverso il metodo grafico.
  • s.t. x 1 + x 2 ≤
    • x 1 - x 2 ≥
    • x 1 + x 2 ≥
    • x 1 + 3x 2 ≤
    • x 1 , x 2 ≥
  • 1° VINCOLO x 1 + x 2 = S VOGLIMENTO: - x 1 = 0 x 2 = - x 2 = 0 x 1 =
  • 2° VINCOLO x 1 - x 2 = - x 1 = 0 x 2 = - - x 2 = 0 x 1 =
  • 3° VINCOLO x 1 + x 2 = - x 1 = 0 x 2 = - x 2 = 0 x 1 =
  • 4° VINCOLO x 1 + 3x 2 = - x 1 = 0 x 2 = - x 2 = 0 x 1 =
  • z = 2x 1 + 3x
  • 6 = 2x 1 - 3x
  • x 1 = 0 x 2 = -
  • x 2 = 0 x 1 =
  • 12 = 2x 1 - 3x
  • x 1 = 0 x 2 = -
  • x 2 = 0 x 1 =
    • x 1 = Più mi sposto verso destra più la mia funzione obiettivo cresce in quella direzione.
    • x 1 + x 2 =
  • z = 2x 1 - 3x
  • x 1 = 10 x 2 =

FORMA STANDARD

FORMA STANDARD: min cTx Ax = b x ≥ 0 Funzione obiettivo: MAX z = MIN -z Vincoli: 1. =

  1. ≤
  2. ≥ Variabili: 1. ≥
  3. libere

Strategia generale dell’algoritmo del simplesso:

  1. Trasformare il problema in forma standard, se necessario.
  2. Costruire il tableau iniziale.
  3. Eseguire iterativamente i seguenti passi: a. Verificare la condizione di ottimalità (cj ≥ 0 ∀j). b. Se la soluzione non è ottima, eseguire il pivoting: sostituire una variabile (colonna) attualmente in base con una al momento fuori base, oppure stabilire che il problema è illimitato.

Forma standard

min cTx

  • Forma standard:^ Ax = b x ≥ 0
  • max cTx = -min - cTx
  • aiTx^ ≤^ bi —> aTx+s con s^ ≥^ 0 (variabile di slack)
  • aTx Z^ ≥^ bi —> aTx+si con si ≥^ 0 (variabile di surplus)
  • Una variabile libera 𝑥j può essere sostituita dall’espressione xj = xj+ -^ xj-^ , con xj+^ ≥ 0 e xj-^ ≥ 0

Tableau iniziale:

Regole generali dell’algoritmo del simplesso

  • Entra in base la variabile col^ 𝑐j^ più^ negativo^ (regola di Dantzig). Scegliere in maniera casuale in caso di parità.
  • Esce dalla base la variabile col^ yi0 minimo (yi0 = colonna yij
  • termini noti; yij^ = colonna^ 𝑗^ matrice dei vincoli). N.B.: solo yij> 0
  • L’ "incrocio" tra la colonna j (variabile entrante) e la riga i (variabile uscente) individua l’elemento pivot yij.
  • Dividere la riga i-esima per yij.
  • Ad ogni riga r^ ≠^ i sottrarre la i-esima riga moltiplicata per yrj.
  • Condizione di ottimalità: Se c^ ≥^0 ∀j, STOP.

Riga 0 nuova = riga 0 vecchia - (-1 • riga 2 nuova) 0 -1 -1 0 0 1 • 7 1 • 1 1 •½ 1 • 0 1 •½ = = = = = 7 0 - ½ 0 ½ Primo nuovo tableau: La funzione obiettivo non è ottima perché c’è un coefficiente negativo. Entra in base x 2 min ( 9 ; 7 ) = min ( 6 ; 14 ) = 6 3/2 ½ Esce di base x 3 Riga 1 nuova = riga 1 vecchia / pivot 9 ⅔ 0 3/2• ⅔ 1 • ⅔ - ½•⅔ = = = = = 6 0 1 ⅔ - ⅓ Riga 2 nuova = riga 2 vecchia - (½ • riga 1 nuova) Riga 0 nuova = riga 0 vecchia - (-½ • riga 1 nuova) Secondo nuovo tableau: La funzione obiettivo è ottima perché non c’è nessun coefficiente negativo. x 1 x 2 x 3 x 4 7 0 - ½ 0 ½ 9 0 3/2 1 - ½ 7 1 ½ 0 ½ x 1 x 2 x 3 x 4 7 0 - ½ 0 ½ x 1 x 2 x 3 x 4 6 0 1 ⅔ - ⅓ x 1 x 2 x 3 x 4 4 1 0 - ⅓ ⅔ x 1 x 2 x 3 x 4 10 0 0 ⅓ ⅓ x 1 x 2 x 3 x 4 10 0 0 ⅓ ⅓ 6 0 1 ⅔ - ⅓ 4 1 0 - ⅓ ⅔

Grafico: 14 1° 2°^716 3°